Nullstellenform ablesen < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Geben Sie (ohne Rechnung) die Nullstellen und den Grad der folgenden Funktionen an. Skizzieren Sie auch jeweils einen ungefähren Funktionsverlauf.
a) f(x)=x(x-4)(x+3)
b) [mm] f(x)=\bruch{2}{3} (x+1)^{2} (x^{2}+9) [/mm] |
Hallo,
zu beiden generell. Das Ablesen des Grades ist ja relativ einfach (ausmultiplizieren).
zu a)
Das Ablesen der Nullstellen war hier kein Problem. Das einsam stehende x am Anfang kann man ja auch (x+0) schreiben, daher ist die Nullstelle (0;0). Die anderen beiden Nullstellen sind (4;0) und (-3;0). Die Funktion ist 3. Grades.
Wie kann ich denn jetzt aber aus der Nullstellenform Rückschlüsse auf den Funktionsverlauf ziehen, damit ich den Graphen zeichnen kann? Nullstellen einzeichnen, ok. Aber woran erkenne ich, wie der Graph verläuft?
zu b)
Die doppelte Nullstelle bei (-1;0) habe ich erkannt. Warum ist [mm] (x^{2}+9) [/mm] aber keine Nullstelle für (-3;0) und (3;0)?
4. Grades ist klar.
Aber auch hier, habe ich das Problem, dass ich nicht weiß, wie der Funktionsgraph ausschauen könnte. Gibts da ein paar Tricks an was man das erkennen kann?
|
|
| |
|
Hallo!
> zu beiden generell. Das Ablesen des Grades ist ja relativ
> einfach (ausmultiplizieren).
Naja, so ganz ist das nicht notwendig. Du siehst hier, daß im Laufe des Ausmultiplizierens drei x'e miteinander multipliziert werden, also ist das 3. Grades. Du mußt die Funktion dafür nicht weiter ausmultiplizieren, wenn du das siehst.
>
> Wie kann ich denn jetzt aber aus der Nullstellenform
> Rückschlüsse auf den Funktionsverlauf ziehen, damit ich
> den Graphen zeichnen kann? Nullstellen einzeichnen, ok.
> Aber woran erkenne ich, wie der Graph verläuft?
Schau dir auch hier das x mit dem höchsten Grad an, vor allem das Vorzeichen. Das ist positiv! Deshalb kommt die Funktion aus dem negativ unendlichen und geht ins negativ unendliche (wie alle Funktionen ungraden Grades, also mit [mm] x^3, x^5, x^7 [/mm] ... am Anfang)
Bei negativem Vorzeichen ists genau umgekehrt!
Da du auch 3 Nullstellen hast, weißt du grob, wie die Funktion verläuft.
Aber Achtung, es kann auch weniger Nullstellen geben, dann kannst du kaum noch ne Aussage machen, wie das aussieht.
>
> zu b)
>
> Die doppelte Nullstelle bei (-1;0) habe ich erkannt. Warum
> ist [mm](x^{2}+9)[/mm] aber keine Nullstelle für (-3;0) und (3;0)?
Naja, du suchst ja nach der Bedingung [mm] $(x^{2}+9)=0$ [/mm] . Setze doch mal -3 oder +3 ein, erfüllen die diese Bedingung? Und dann versuche mal, das ganz konkret auszurechnen, für welche x das gilt. Na?
>
> 4. Grades ist klar.
>
> Aber auch hier, habe ich das Problem, dass ich nicht weiß,
> wie der Funktionsgraph ausschauen könnte. Gibts da ein
> paar Tricks an was man das erkennen kann?
>
>
Funktionen graden Grades wie diese hier kommen aus dem positiv unendlichen und gehen auch ins positiv unendliche. 4. Grades könnte 4 Nullstellen haben, hat hier aber nur eine (doppelte)
Doppelt heißt, daß die Funktion dort ein Minimum/maximum hat, also die x-Achse berührt, und dann umkehrt, ohne sie zu überschreiten.
In deinem Fall muß das ein Minimum sein, also von oben kommen, denn wenn die Funktion die x-Achse von unten berührt, müßte sie, da sie aus dem positiv unendlichen kommt und auch dahin geht, an anderer Stelle die x-Achse überschreiten und demnach Nullstellen haben. Hat sie aber nicht!
Viel mehr kannst du nicht sagen.
|
|
|
| |
|
Funktionen geraden Grades kommen aus dem positiv unendlichen und gehen ins positiv unendliche.
Funktionen ungeraden Grades kommen aus dem negativ unendlichen und gehen ins negativ unendliche.
Das ist eine Regel? Gilt das immer? Welche Rolle spielt dabei das Vorzeichen des höchsten Grades?
Was ist denn bei einer Funktion z.B. [mm] -x^{4} [/mm] (gerader Grad, aber negatives VZ) Geht diese Funktion dann trotzdem vom positiven unendlich ins positive unendlich?
Und weil Du sagtest: Schau dir das VZ des höchsten Grades an.
Bei f(x)=x(x-4)(x+3)
multipliziere ich das nach [mm] x^{3}-x^{2}-12x [/mm] aus und HIER schaue ich mir das VZ an!? VZ ist positiv, aber ungerader Grad, d.h. von negativ unendlich nach negativ unendlich. Richtig?
|
|
|
| |
|
Hallo Andi,
> Funktionen geraden Grades kommen aus dem positiv
> unendlichen und gehen ins positiv unendliche.
>
> Funktionen ungeraden Grades kommen aus dem negativ
> unendlichen und gehen ins negativ unendliche.
>
> Das ist eine Regel? Gilt das immer? Welche Rolle spielt
> dabei das Vorzeichen des höchsten Grades?
Das ist das richtige Bedenken. Die Regeln oben gelten nur, wenn das Vorzeichen des höchsten Grades (+) ist.
> Was ist denn bei einer Funktion z.B. [mm]-x^{4}[/mm] (gerader Grad,
> aber negatives VZ) Geht diese Funktion dann trotzdem vom
> positiven unendlich ins positive unendlich?
Nein, natürlich nicht. Probiers aus. 
> Und weil Du sagtest: Schau dir das VZ des höchsten Grades
> an.
>
> Bei f(x)=x(x-4)(x+3)
>
> multipliziere ich das nach [mm]x^{3}-x^{2}-12x[/mm] aus und HIER
> schaue ich mir das VZ an!?
Ja. Mit ein bisschen Übung kann man sich das Ausmultiplizieren sogar schenken. Der erste Faktor hat als höchste Potenz ein x, die beiden andern auch, das Produkt wird also als höchste Potenz [mm] x*x*x=x^3 [/mm] haben.
> VZ ist positiv, aber ungerader
> Grad, d.h. von negativ unendlich nach negativ unendlich.
> Richtig?
Ja, richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
Ok das hab ich verstanden.
Ich habe nun die Funktionsgleichung f(x)=x(x-4)(x+3) vor mir.
Ich sehe nun, 3. Grad mit positivem VZ, Nullstellen bei (0;0), (4;0) und (-3;0).
Ok, ich zeichne mir die Nullstellen ein. Nun kommt die Funktion aus dem negativ unendlichen zur ersten Nullstelle. Dann hat sie irgendwo ein Maximum und fällt wieder Richtung negativ unendlich zur zweiten Nullstelle, wo die irgendwo ein Minimum hat. Dann steigt sie wieder aus dem negativ unendlichen zur dritten Nullstelle, usw.
Kann man das so als richtige Vorgehensweise stehen lassen, wenns um eine grobe Abschätzung des Kurvenverlaufs geht?
(Ich bin ja eher ein Fan von Wertetabellen, wenn ich schon nicht rechnen darf.)
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Ich habe nun die Funktionsgleichung f(x)=x(x-4)(x+3) vor
> mir.
>
> Ich sehe nun, 3. Grad mit positivem VZ, Nullstellen bei
> (0;0), (4;0) und (-3;0).
Richtig.
> Ok, ich zeichne mir die Nullstellen ein. Nun kommt die
> Funktion aus dem negativ unendlichen zur ersten Nullstelle.
> Dann hat sie irgendwo ein Maximum...
Bis dahin: auch richtig.
> und fällt wieder
> Richtung negativ unendlich zur zweiten Nullstelle,
das ist schlechterdings unmöglich. Sie fällt, aber nicht richung minus unendlich. Es genügt zu sagen, dass sie fällt.
> wo die
> irgendwo ein Minimum hat. Dann steigt sie wieder aus dem
> negativ unendlichen
Auch hier wieder das mit dem Unendlichen, wie kommst du darauf? Eine ganzrationale Funktion ist stetig auf [mm] \IR, [/mm] sie nimmt dort überall endliche Werte an. Gegen [mm] \infty [/mm] bzw. [mm] -\infty [/mm] stebt sie nur an den Rändern ihres Definitionsbereichs, also für [mm] |x|->\infty.
[/mm]
> zur dritten Nullstelle, usw.
Jetzt fehlt aber, dass sie nach dieser dritten Nullstelle immer weiter steigt und gegen Unendlich strebt.
> Kann man das so als richtige Vorgehensweise stehen lassen,
> wenns um eine grobe Abschätzung des Kurvenverlaufs geht?
Nein, da stecken zu viele völlig falsche Formulierungen drin. Mag sein, dass du das in deiner Vorstellung alles richtig angedacht hast, aber so kann man es nicht formulieren.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:05 Do 21.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Funktionen geraden Grades kommen aus dem positiv
> unendlichen und gehen ins positiv unendliche.
wie bereits angemerkt: Das gilt so nur, wenn der Koeffizient vor der höchsten Potenz $> [mm] 0\,$ [/mm] ist. Bei [mm] $<0\,$ [/mm] hast Du die gleiche Aussage mit "Minus unendlich".
Kurz könnte man sowas so formulieren: Solche Funktionen laufen "in das "vorzeichengleiche unendlich", wenn [mm] $x\,$ [/mm] einmal gegen [mm] $+\infty$ [/mm] und einmal gegen [mm] $-\infty$ [/mm] laufen gelassen wird.
> Funktionen ungeraden Grades kommen aus dem negativ
> unendlichen und gehen ins negativ unendliche.
Da denke nochmal drüber nach - das ist einfach immer falsch! Wenn $x [mm] \to -\infty$ [/mm] läuft, läuft die Funktion gegen "das mit anderem Vorzeichen versehene [mm] $\infty$" [/mm] wie, wenn $x [mm] \to \infty$ [/mm] laufen gelassen wird.
Ich hoffe, es ist klar, was ich meine. Wenn nicht, dann mache Dir das ganze an dem einfachsten Fall [mm] $f(x):=x\,$ [/mm] klar.
P.S.
Du kannst Dir übrigens immer anhand einfacher Polynome klar machen, "ob eine Polynomfunktion aus [mm] $-\infty$ [/mm] kommt und nach [mm] $\infty$ [/mm] strebt" oder ob sie aus [mm] $\infty$ [/mm] kommt und nach [mm] $\infty$ [/mm] strebt - bzw. die beiden anderen analogen Fälle.
Betrachte bei [mm] $f(x):=\sum_{k=0}^n a_k x^k$ [/mm] mit [mm] $a_n \not=0$ [/mm] einfach [mm] $g(x)=a_n x^n\,.$ [/mm] Bei $x [mm] \to -\infty$ [/mm] bzw. $x [mm] \to \infty$ [/mm] haben [mm] $f\,$ [/mm] und [mm] $g\,$ [/mm] "das gleiche Bestreben/Verhalten". Im Prinzip kann man sogar das reduzieren und weiß, dass $f(x)$ bei $x [mm] \to \pm \infty$ [/mm] sich so verhält, wie [mm] $g(x)=a_n x^2\,,$ [/mm] wenn [mm] $n\,$ [/mm] gerade ist und wie [mm] $g(x)=a_n x\,,$ [/mm] wenn [mm] $n\,$ [/mm] ungerade.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:33 Do 21.06.2012 | | Autor: | abakus |
> Geben Sie (ohne Rechnung) die Nullstellen und den Grad der
> folgenden Funktionen an. Skizzieren Sie auch jeweils einen
> ungefähren Funktionsverlauf.
>
> a) f(x)=x(x-4)(x+3)
>
> b) [mm]f(x)=\bruch{2}{3} (x+1)^{2} (x^{2}+9)[/mm]
> Hallo,
>
> zu beiden generell. Das Ablesen des Grades ist ja relativ
> einfach (ausmultiplizieren).
>
> zu a)
>
> Das Ablesen der Nullstellen war hier kein Problem. Das
> einsam stehende x am Anfang kann man ja auch (x+0)
> schreiben, daher ist die Nullstelle (0;0). Die anderen
> beiden Nullstellen sind (4;0) und (-3;0).
Hallo,
das ist alles prinzipiell falsch.
Was du hier nennst, sind Schnittpunkte mit der x-Achse.
Nullstellen sind einfach nur die Zahlen 0, 4 und -3.
Du riskierst hier massive Punktabzüge.
Gruß Abakus
> Die Funktion ist
> 3. Grades.
>
> Wie kann ich denn jetzt aber aus der Nullstellenform
> Rückschlüsse auf den Funktionsverlauf ziehen, damit ich
> den Graphen zeichnen kann? Nullstellen einzeichnen, ok.
> Aber woran erkenne ich, wie der Graph verläuft?
>
> zu b)
>
> Die doppelte Nullstelle bei (-1;0) habe ich erkannt. Warum
> ist [mm](x^{2}+9)[/mm] aber keine Nullstelle für (-3;0) und (3;0)?
>
> 4. Grades ist klar.
>
> Aber auch hier, habe ich das Problem, dass ich nicht weiß,
> wie der Funktionsgraph ausschauen könnte. Gibts da ein
> paar Tricks an was man das erkennen kann?
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:09 Do 21.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
>
> > Geben Sie (ohne Rechnung) die Nullstellen und den Grad der
> > folgenden Funktionen an. Skizzieren Sie auch jeweils einen
> > ungefähren Funktionsverlauf.
> >
> > a) f(x)=x(x-4)(x+3)
> >
> > b) [mm]f(x)=\bruch{2}{3} (x+1)^{2} (x^{2}+9)[/mm]
> > Hallo,
> >
> > zu beiden generell. Das Ablesen des Grades ist ja relativ
> > einfach (ausmultiplizieren).
> >
> > zu a)
> >
> > Das Ablesen der Nullstellen war hier kein Problem. Das
> > einsam stehende x am Anfang kann man ja auch (x+0)
> > schreiben, daher ist die Nullstelle (0;0). Die anderen
> > beiden Nullstellen sind (4;0) und (-3;0).
> Hallo,
> das ist alles prinzipiell falsch.
> Was du hier nennst, sind Schnittpunkte mit der x-Achse.
> Nullstellen sind einfach nur die Zahlen 0, 4 und -3.
> Du riskierst hier massive Punktabzüge.
>
> Gruß Abakus
gut, dass Du das ansprichst. Vielleicht mal zur Klärung:
Ist $f: M [mm] \to \IR$ [/mm] ($M [mm] \subseteq \IR$) [/mm] eine Funktion, so sagt man, dass [mm] $f\,$ [/mm] an der STELLE [mm] $x_0 \in [/mm] M$ den FunktionsWERT [mm] $f(x_0)$ [/mm] hat/annimmt. Der Punkt [mm] $(x_0,\;f(x_0))$ [/mm] ist ein Element des Graphen von [mm] $f\,.$ [/mm] Der Graph von [mm] $f\,$ [/mm] - nennen wir ihn [mm] $\text{graph}(f)$ [/mm] - wird definiert als
[mm] $$\text{graph}(f):=\{(x_0,f(x_0)): x_0 \in M\}$$
[/mm]
und ist in obigem Fall dann eine Teilmenge des [mm] $\IR^2\,.$ [/mm] Das, was man zeichnet/skizziert, wenn man "eine obige Funktion [mm] $f\,$ [/mm] zeichnet/skizziert", ist eigentlich die obige Teilmenge [mm] $\text{graph}(f) \subseteq \IR^2\,.$ [/mm]
Natürlich kann der ein oder andere hier berechtigterweise auch sagen "Eine Funktion kann man auch definieren/identifizieren mit einer Relation mit gewissen Eigenschaften...." Klar, dennoch passt die obige Definition des Graphen dann "zu dem, was man sieht/andeutet, zu sehen". Und es ist daher nicht verkehrt, zu sagen, dass man den Graphen einer Funktion zeichnen will.
An dem Graphen erkennt man, wo [mm] $f\,$ [/mm] Nullstellen hat. Denn die zweite Komponente eines Punktes des Graphen hat dann den Wert [mm] $0\,,$ [/mm] und in der ersten steht die entsprechende Nullstelle. Kurz:
Wenn wir die Stellen [mm] $m_0 \in [/mm] M$ "auf der [mm] $x\,$-Achse [/mm] auftragen" und mit den zugehörigen Funktionswerte [mm] $f(m_0)$ [/mm] dann die Punkte [mm] $(m_0,f(m_0))$ [/mm] (hier: [mm] $\in \IR^2$) [/mm] markieren, dann "schneidet" der Graph der Funktion [mm] $f\,$ [/mm] genau an den Nullstellen (welche in [mm] $M\,$ [/mm] liegen (müssen und auch nur können!)) die [mm] $x\,$-Achse.
[/mm]
P.S.
Sicher ist das noch nicht perfekt formuliert, aber hoffentlich verständlich. Bei Nachfragen kann man es ja gegebenenfalls mal "ausbauen", verfeinern und am besten auch mal an einem Beispiel verdeutlichen, was die einzelnen Begriffe eigentlich bedeuten. So besteht nämlich auch etwa ein Extrempunkt einer Funktion aus einer Extremstelle und einem Extremwert (das ist der Funktionswert, der an der entsprechenden Extremstelle angenommen wird).
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
Ist das jetzt so richtig?
Die Regeln:
Ist der höchste Exponent (positiv) gerade [mm] (x^{2}, x^{4} [/mm] usw.) und ist a positiv, so gilt für den Funktionsverlauf: Die Funktion verläuft aus dem positiv unendlich nach positiv unendlich.
Ist (...) und ist a negativ, so gilt für den Funktionsverlauf: Die Funktion verläuft aus dem negativ unendlich nach negativ unendlich
Bei ungeraden (positiven) Exponenten verhält es sich so:
Ist a positiv dann kommt die Potenzfunktion aus dem negativen Unendlichem und geht dann ins positive Unendliche.
Ist a negativ dann kommt die Potenzfunktion aus dem positiven Unendlichem und geht dann ins negative Unendliche.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:12 Fr 22.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
das ist alles richtig! Du kannst es dir also so merken, aber im abi kommt dann die frage warum, oder in der aufregung verdreeht man die Regel,
dieser haufen von regeln ist überflüssig: man sieht sich den Term mit dem höchsten Exponenten an, für große positive und negative x beherrscht der alles . und dann sieht man wohin er für x riesig also gegen + und [mm] -\unendlich [/mm] geht.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:39 Fr 22.06.2012 | | Autor: | Mathe-Andi |
Jetzt habe ich es verstanden. Das Verständnis dafür musste erstmal da sein, dann ist alles auch ganz logisch.
Danke!
|
|
|
|
