Nullstellengrenzen (reell) < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:02 Di 02.11.2010 | | Autor: | MatMax |
Hallo liebe Forumsgemeinschaft,
ich bin bei der Suche nach Begrenzungen/Intervallen von Nullstellen von Polynomen mit ausschließlich reellen Nullstellen unter Anderem auf eine Formel bei Wikipedia [1] gestoßen:
[mm] x_{1,2}=-\bruch{a_{n-1}}{n}\pm\bruch{n-1}{n}\wurzel{a_{n-1}^{2}-\bruch{2n}{n-1}a_{n-2}}
[/mm]
wobei alle Nullstellen von [mm] x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\cdots+a_{0} [/mm] in dem Intervall [mm] x_{1}\cdots x_{2} [/mm] liegen sollen.
Mein Problem: auch nach ausführlicher Recherche finde ich dafür keine Quelle.
Kennt einer
a) den Namen des Satzes,
b) die Quelle,
c) einen Beweis oder
d) einen Gegenbeweis, falls sich Wikipedia irrt?
Allerbesten Dank im Voraus,
Max
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Edit:
[1] http://de.wikipedia.org/wiki/Nullstelle#Polynome_mit_reellen_Koeffizienten
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Hallo Max,
ich finde es ja etwas sonderbar, dass diese Formel in Wikipedia
ohne jeglichen Hinweis auf eine Quelle angegeben wird. Zum
mathematischen "Allgemeingut" gehört sie ja nun bestimmt
nicht.
Ich habe mich sofort gefragt, ob diese Formel überhaupt stimmen
könne, wenn darin nicht einmal das konstante Glied [mm] a_0 [/mm] vorkommt.
Gleich dachte ich ein Gegenbeispiel zu haben mit dem Polynom
[mm] x^3-1000 [/mm] mit $\ n=3$ , [mm] a_{n-1}=0 [/mm] und [mm] a_{n-2}=0 [/mm] .
Die Formel liefert dann [mm] x_1=0 [/mm] und [mm] x_2=0 [/mm] , das Polynom hat aber
die Nullstelle 10 . Aber halt - das Polynom hat natürlich
nebst dieser reellen auch noch zwei komplexe Nullstellen, sodass
der Satz gar nicht angewendet werden kann ...
Nehmen wir aber dann das Polynom $\ [mm] (x-c)^3\ [/mm] =\ [mm] x^3-3\,c^2x+3\,c\,x^2-c^3$ (c\in\IR) [/mm]
mit der einzigen (und reellen) Nullstelle $c$ , so ergibt sich
[mm] x_1=x_2=c [/mm] , was natürlich gar nicht besser passen könnte.
Also: jedenfalls eine interessante Formel !
LG Al-Chw.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:03 Di 02.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Max!
> ich bin bei der Suche nach Begrenzungen/Intervallen von
> Nullstellen von Polynomen mit ausschließlich reellen
> Nullstellen unter Anderem auf eine Formel bei Wikipedia [1]
> gestoßen:
>
> [mm]x_{1,2}=-\bruch{a_{n-1}}{n}\pm\bruch{n-1}{n}\wurzel{a_{n-1}^{2}-\bruch{2n}{n-1}a_{n-2}}[/mm]
>
> wobei alle Nullstellen von
> [mm]x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\cdots+a_{0}[/mm] in dem
> Intervall [mm]x_{1}\cdots x_{2}[/mm] liegen sollen.
>
> Mein Problem: auch nach ausführlicher Recherche finde ich
> dafür keine Quelle.
>
> Kennt einer
> a) den Namen des Satzes,
> b) die Quelle,
> c) einen Beweis oder
> d) einen Gegenbeweis, falls sich Wikipedia irrt?
In der Wikipedia sind solche Angaben ohne Referenz eigentlich unerwuenscht. Deswegen habe ich in die Diskussion zum Artikel geschaut, und siehe da, jemand hat das auch angemerkt. Eine Quelle wurde nicht genannt, jedoch ein Beweis/eine Beweisskizze geliefert; siehe ![[]](/images/popup.gif) hier.
LG Felix
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:03 Di 02.11.2010 | | Autor: | MatMax |
Also ich danke euch beiden schon mal fuer die fixe Antwort!
Da ich den Satz gerne benutzen wuerde, moechte ich ungerne Wikipedia als Quelle angeben. Vor Allem ist es doch recht unwarscheinlich, dass der Satz in keinerlei Fachtexten zu finden ist, der Beweis aber in einem Wiki-Subforum einzusehen ist, oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:07 Di 02.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Da ich den Satz gerne benutzen wuerde, moechte ich ungerne
> Wikipedia als Quelle angeben. Vor Allem ist es doch recht
> unwarscheinlich, dass der Satz in keinerlei Fachtexten zu
> finden ist, der Beweis aber in einem Wiki-Subforum
> einzusehen ist, oder?
Er findet sich vermutlich schon irgendwo, die Frage ist halt wo...
Vielleicht ist es sinnvoller, z.B. auf mathoverflow ein reference request einzustellen; dort lesen mehr Berufsmathematiker mit und die Chance ist groesser, dass jemand die Formel besser kennt.
LG Felix
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> Vielleicht ist es sinnvoller, z.B. auf
> mathoverflow ein reference request
> einzustellen; dort lesen mehr Berufsmathematiker mit und
> die Chance ist groesser, dass jemand die Formel besser
> kennt.
Hallo Felix,
diesen Ratschlag habe ich soeben befolgt und dort eine
Frage unter
"Bounds for zeros of polynomials with only real zeros"
eingegeben.
Gruß Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Mi 10.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:24 Mi 08.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Ein Beweis findet man hier:
http://ecx.images-amazon.com/images/I/41jTiPW%2BR7L._BO2,204,203,200_PIsitb-sticker-arrow-click,TopRight,35,-76_AA300_SH20_OU03_.jpg
§ 17
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:59 Mi 08.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Fred!
> Ein Beweis findet man hier:
>
> http://ecx.images-amazon.com/images/I/41jTiPW%2BR7L._BO2,204,203,200_PIsitb-sticker-arrow-click,TopRight,35,-76_AA300_SH20_OU03_.jpg
>
> § 17
Ah, das ist schoen :) Das sollte auch jemand bei Wikipedia als Quelle reinschreiben. (Ich wuerde es tun wenn ich das Buch zur Hand haette, mein Exemplar liegt leider ein paar tausend Kilometer weit weg...)
LG Felix
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