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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:59 Mo 28.07.2008 | | Autor: | mathe-lk |
| Aufgabe | Man nennt [mm] x_{a} [/mm] einen Fixpunkt einer Funktion f, wenn [mm] f(x_{a})=x_{a} [/mm] gilt.
Beweisen Sie: Jede auf einem Intervall [a:b] stetige Funktion f, deren Wertemenge f([a;b]) enthalten ist in dem Intervall [a;b], d.h. f([a;b]) [mm] \subset [/mm] [a;b], hat mindestens einen Fixpunkt.
Anleitung: Wenden Sie den Nullstellensatz auf eine geeignete Funktion g an. |
Hi,
ich hab hier eine schwierige Augabe, deren Fragenstellung ich nicht einmal richtig verstehe =)!
Ich hab schon mal einen Lösungsversuch unternommen und zwar hab ich mir eine Funktion ausgedacht, wie es gefordert ist:
[mm] g(x)=\bruch{1}{2}x^{2}-5x+4
[/mm]
und habe ein von mir gewähltes Intervall [7;10] betrachtet.
Ich habe die Randwerte des Intervalls in die die Funktion g(x) eingesetzt und für g(7) =-6,5 und für g(10)=4 erhalten.
Dies beweist, dass die Funktion g(x) mindestens eine Nullstelle besitzt!
Ist meine Aufgabe damit gelöst?Oder muss ich noch etwas berechnen?
Vielen Dank für die Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hey
> Man nennt [mm]x_{a}[/mm] einen Fixpunkt einer Funktion f, wenn
> [mm]f(x_{a})=x_{a}[/mm] gilt.
> Beweisen Sie: Jede auf einem Intervall [a:b] stetige
> Funktion f, deren Wertemenge f([a;b]) enthalten ist in dem
> Intervall [a;b], d.h. f([a;b]) [mm]\subset[/mm] [a;b], hat
> mindestens einen Fixpunkt.
> Anleitung: Wenden Sie den Nullstellensatz auf eine
> geeignete Funktion g an.
> Hi,
> ich hab hier eine schwierige Augabe, deren Fragenstellung
> ich nicht einmal richtig verstehe =)!
> Ich hab schon mal einen Lösungsversuch unternommen und
> zwar hab ich mir eine Funktion ausgedacht, wie es gefordert
> ist:
>
> [mm]g(x)=\bruch{1}{2}x^{2}-5x+4[/mm]
>
Du sollst dir aber keine explizite Funktion ausdenken, sondern eine allgemeine!
> und habe ein von mir gewähltes Intervall [7;10]
> betrachtet.
>
Hier ebenso, du kannst dir nicht einfach ein Intervall aussuchen. Es soll ja für alle Intervalle [a,b] gelten!
> Ich habe die Randwerte des Intervalls in die die Funktion
> g(x) eingesetzt und für g(7) =-6,5 und für g(10)=4
> erhalten.
> Dies beweist, dass die Funktion g(x) mindestens eine
> Nullstelle besitzt!
Der Ansatz ist so ok, allerdings bringt er dich bei deiner Funktion nicht weiter.
> Ist meine Aufgabe damit gelöst?Oder muss ich noch etwas
> berechnen?
>
> Vielen Dank für die Hilfe!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Also leider ist die Aufgabe so komplett falsch. Ich will dir hier mal ein paar Tipps geben:
Betrachte g(x)=f(x)-x
Zeige g(a)<0 und g(b)>0 (oder umgekehrt)
Nach dem Nullstellensatz ex. ein [mm] x_0 [/mm] mit [mm] g(x_0)=0
[/mm]
was folgt dann für f? kommst du damit weiter?
Grüße Patrick
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:52 Mo 28.07.2008 | | Autor: | abakus |
> Hey
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> > Man nennt [mm]x_{a}[/mm] einen Fixpunkt einer Funktion f, wenn
> > [mm]f(x_{a})=x_{a}[/mm] gilt.
Mach dir das anschaulich klar. Wenn [mm]f(x_{a})=x_{a}[/mm] gilt, muss der Punkt [mm] P(x_{a};f(x_{a})) [/mm] auf der Winkelhalbierenden des ersten Quadranten liegen. Da x zwischen a und b liegt und die y-Werte auch zwischen a und b liegen, spielt sich der ganze Spaß in einem kleinen Quadrat der Seitenlänge b-a ab, in dem die Gerade y=x die Diagonale ist. Jeder Funktionsgraph, der vom linken zum rechten Rand dieses Quadrats verläuft, muss zwangsläufig die Diagonale schneiden.
Gruß Abakus
> > Beweisen Sie: Jede auf einem Intervall [a:b] stetige
> > Funktion f, deren Wertemenge f([a;b]) enthalten ist in dem
> > Intervall [a;b], d.h. f([a;b]) [mm]\subset[/mm] [a;b], hat
> > mindestens einen Fixpunkt.
> > Anleitung: Wenden Sie den Nullstellensatz auf eine
> > geeignete Funktion g an.
> > Hi,
> > ich hab hier eine schwierige Augabe, deren
> Fragenstellung
> > ich nicht einmal richtig verstehe =)!
> > Ich hab schon mal einen Lösungsversuch unternommen und
> > zwar hab ich mir eine Funktion ausgedacht, wie es gefordert
> > ist:
> >
> > [mm]g(x)=\bruch{1}{2}x^{2}-5x+4[/mm]
> >
> Du sollst dir aber keine explizite Funktion ausdenken,
> sondern eine allgemeine!
>
> > und habe ein von mir gewähltes Intervall [7;10]
> > betrachtet.
> >
> Hier ebenso, du kannst dir nicht einfach ein Intervall
> aussuchen. Es soll ja für alle Intervalle [a,b] gelten!
>
> > Ich habe die Randwerte des Intervalls in die die Funktion
> > g(x) eingesetzt und für g(7) =-6,5 und für g(10)=4
> > erhalten.
> > Dies beweist, dass die Funktion g(x) mindestens eine
> > Nullstelle besitzt!
>
> Der Ansatz ist so ok, allerdings bringt er dich bei deiner
> Funktion nicht weiter.
>
> > Ist meine Aufgabe damit gelöst?Oder muss ich noch etwas
> > berechnen?
> >
> > Vielen Dank für die Hilfe!
> >
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
> >
>
> Also leider ist die Aufgabe so komplett falsch. Ich will
> dir hier mal ein paar Tipps geben:
>
> Betrachte g(x)=f(x)-x
> Zeige g(a)<0 und g(b)>0 (oder umgekehrt)
> Nach dem Nullstellensatz ex. ein [mm]x_0[/mm] mit [mm]g(x_0)=0[/mm]
> was folgt dann für f? kommst du damit weiter?
>
> Grüße Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:11 Di 29.07.2008 | | Autor: | mathe-lk |
Hey
Soll ich dann
[mm] g(x)=ax^{2}+bx+c [/mm] - x als allgemeine Funktion nehmen?aber wie berechne ich dann die Nullstellen, weil um den Nullstellensatz zu beweisen, muss ja eine Nst. positiv und eine negativ sein, aber mit nur Variablen, kann ich das ja nicht beweisen oder?
sorry, ich steh voll aufm schlauch =)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:31 Di 29.07.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Berechne doch mal die Lösungen von g(x)=0
Also:
g(x)=ax²+bx+c-x
=ax²+(b-1)x+c
Und jetzt:
0=ax²+(b-1)x+c
[mm] \gdw x²+\bruch{b-1}{a}x+\bruch{c}{a}=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow x_{1;2}=\bruch{b-1}{2a}\pm\wurzel{\bruch{(b-1)²}{4a²}-\bruch{c}{a}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow x_{1;2}=\bruch{b-1}{2a}\pm\wurzel{\bruch{(b-1)²+4ac}{4a²}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow x_{1;2}=\bruch{b-1\pm\wurzel{(b-1)²+4ac}}{2a}
[/mm]
Jetzt bleibt zu zeigen, dass eine der Lösungen negativ ist, und die andere positiv.
Marius
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Das ist so falsch! Denn es geht nicht um eine Funktion f vom Grad 2, sondern um eine beliebige stetige Funktion f. Diese könnte auch so aussehen: [mm] f(x)=a_1x^{28}+a_2x^{27}+a_3x^{26}+....
[/mm]
Wie ich oben schon sagte betrachte g(x)=f(x)-x
Dann folgt:
g(a)=f(a)-a
g(b)=f(b)-b
Da [mm] f([a,b])\subset [/mm] [a,b] ist eine dieser Gleichungen positiv und eine negativ.(Warum?)
Also ex. ein [mm] x_0 [/mm] mit [mm] g(x_0)=0, [/mm] also: [mm] 0=g(x_0)=f(x_0)-x_0 \gdw f(x_0)=x_0.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:40 Mi 30.07.2008 | | Autor: | mathe-lk |
hi
ist dann eine negativ und eine positiv weil a<b ist?
oder warum ist eine negativ und die andere positiv?
Danke für die Hilfe und Geduld =)
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> hi
> ist dann eine negativ und eine positiv weil a<b ist?
> oder warum ist eine negativ und die andere positiv?
> Danke für die Hilfe und Geduld =)
Hallo,
schau Dir nochmal an, was über die Funktion f vorausgesetzt wurde.
Das ist nämlich nicht irgendeine Funktion, sondern eine mit einer ganz bestimmten Eigenschaft, nämlich f([a;b]) $ [mm] \subset [/mm] $ [a;b].
as bedeutet: alle Funktionswerte, die über [a,b] angenommen werden, liegen auch in diesem Intervall.
Also ist a<f(a)<b und a<f(b)<b, und nun solltest Du Deine eigene Frage beantworten können. (Daß a<b, spielt natürlich auch eine Rolle.)
Zu einer andern Sache:
ich hoffe, es ist klargewordn, daß diese Aufgabe in großer Allgemeinheit zu behandeln ist, also für eine völlig beliebige Funktion f, die die Voraussetzung erfüllt.
Trotzdem finde ich Deinen Ansatz, die Aussage zunächst einmal an einer konkreten Funktion zu prüfen ( zu prüfen(!) - beweisen kann man es so nicht), gar nicht so übel.
Allerdings haben Deine dortige Funktion g und das angeführte Intervall [7, 10] einen entsetzlichen "Schönheitsfehler": es liegen ja die Funktionswerte über [7,10] gar nicht in diesem Intervall.
Somit erfüllt die Funktion nicht die Voraussetzungen und ist zum Sinnieren über den zu beweisenden Satz komplett wertlos.
Aber Du kannst ja mal versuchen, Dir auf Schmierpapier so eine Funktion auszudenken, die z.B. das Intervall [2, 7] auf dieses Intervall abbildet. (Einfach frei Hand skizziert, ohne über die Funktionsvorschrift nachzudenken.)
Und wenn Du das hast - Du solltest das unbedingt tun - dann lies nochmal abakus Post durch. Dann verstehst Du nämlich den Sachverhalt und auch, was später getan wird, wo die Hilfsfunktion herkommt.
Ich finde, daß dies schon eine anspruchsvolle Schulaufgabe ist, normalerweise löst man sie im 1. Analysissemester an der Uni nochmal.
Gruß v. Angela
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> Du sollst dir aber keine explizite Funktion ausdenken,
> sondern eine allgemeine!
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> > und habe ein von mir gewähltes Intervall [7;10]
> > betrachtet.
> >
> Hier ebenso, du kannst dir nicht einfach ein Intervall
> aussuchen. Es soll ja für alle Intervalle [a,b] gelten!
Hallo,
nein. (Das würde die Auswahl an Funktionen ja auch sehr einschränken.
Es soll für ein festes, aber beliebiges Intervall gelten.
Gruß v. Angela
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