Nullteiler formale Potenzreihe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:12 Mo 11.06.2012 | | Autor: | r2d2 |
| Aufgabe | | Zu zeigen: Ist R ein Integritätsbereich, so auch [mm]R[[x]][/mm] (Ring der formalen Potenzreihen) |
Hallo,
ich bin gerade dabei die Nullteilerfreiheit zu zeigen (dass [mm]R[[x]][/mm] ein komm. RIng mit Einselement ist, habe ich bereits hinter mir).
Mir erscheint es auch schlüssig, dass das Produkt von [mm]f(x)\not=0, g(x)\not=0; f,g\in R[[x]][/mm] ungleich Null sein muss, aber richtig sauber finde ich meine Argumentation nicht...
Das Produkt sieht folgendermaßen aus:
[mm]f(x):= \summe_{n=0}^{\infty} a_n *x^n [/mm] mit [mm] \exists a_s \not= 0[/mm]
[mm]g(x):= \summe_{n=0}^{\infty} b_n *x^n [/mm] mit [mm] \exists b_t \not= 0[/mm]
[mm]f(x)*g(x)=\summe_{n=0}^{\infty} (\summe_{k=0}^{n} a_k * b_{n-k} ) x^n [/mm]
In dieser Summe kommen alle Kombinationen von [mm] a_k , b_l k,l \in \IN [/mm] vor, also auch [mm] a_s * b_t \not=0 [/mm]
Ich habe (nachdem ich obigen Beweis formuliert habe) entdeckt, dass dieser für R[x] (den Polynomring in x über R), also für endliche Summen, gilt.
Was muss ich bei einer unendlichen Summe noch beachten?
Ich denke mal, dass die unendlichen Summen nicht so einfach handhabbar sind, weil ich ja nicht aus endlich viele Summanden einen herausgreifen kann..
Ruft das nach dem Auswahlaxiom?
Liebe Grüße
PS: Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:23 Di 12.06.2012 | | Autor: | hippias |
Hallo R2,
mein Tip sei $s$ der kleinste Index mit [mm] $a_{s}\neq [/mm] 0$ und $t$ der kleinste Index mit [mm] $b_{t}\neq [/mm] 0$. Betrachte im Produkt $fg$ nun den Koeffizienten bei [mm] $x^{s+t}$.
[/mm]
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