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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Nullvektor und Matrix
Nullvektor und Matrix < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Nullvektor und Matrix: Aufgabe 1
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:37 Sa 01.12.2012
Autor: ohlala

Aufgabe
Sei [mm][mm] \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \in \IR^3[/mm]  [mm] ein vom Nullvektor verschiedener Vektor und  [mm] A:= [mm] \begin{pmatrix} a & c & b \\ b & a & c \\ c & b & a \end{pmatrix}[/mm]   [mm].
a) Zeige: Ist a+b+c =0, so ist A nicht invertierbar.
b) Zeige: Ist A nicht invertierbar und a=0, so gilt a+b+c=0.
c) Kann man in b) auf die Voraussetzung a=0 verzichten?

Hallo zusammen,

also ich habe mir darüber schon ein paar Gedanken gemacht, weiß aber nicht ob diese so ok bzw. zielführend sind.

Vorweg habe ich det A "berechnet": [mm] det A= [mm] a^3+b^3+c^3-3abc[/mm]   [mm]

a)Sei a+b+c=0 dann kann ich drei Fälle unterscheiden, nämlich:
Fall1: Sei c=0
Fall2: Sei b=0
Fall3: Sei a=0

In allen 3 Fällen läuft es dann analog wie folgt ab:
z.B. Fall1: Sei c=0. Dann folgt daraus a+b=0, woraus b= -a folgt.
Eingesetzt in det A folgt:  [mm] det A= [mm] a^3-a^3 [/mm] =0 [mm]
Woraus folgt, dass A nicht invertierbar ist.

b) Da det A=0 ist, folgt:
[mm] [mm] a^3+b^3+c^3-3abc [/mm] = 0 und mit a=0: [mm] b^3+c^3=0[/mm]  [mm]
Dann ist [mm] [mm] b^3= -c^3[/mm]  [mm].

Folgt dann daraus, dass wir uns in [mm] [mm] \IR[/mm]  [mm], dass b=0 ist???

Stimmen die Ansätze? Und wie mache ich in b) weiter?

        
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Nullvektor und Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:53 Sa 01.12.2012
Autor: Walde

Hi ohlala,

bei der Fallunterscheidung ist das Problem, dass du damit nicht alle möglichen Fälle abgedeckt hast. Es könnte zB a=b=1 c=-2 sein, dieser Fall ist bei keinem der drei dabei. Man kommt aber denke ich ohne Fallunterscheidung aus. Betrachte einfach [mm] a+b+c=0\Rightarrow [/mm] a=-b-c und setze das in det A ein. Dann solltest du auf det A=0 kommen.

Bei der b) hast du es fast schon da stehen. Aus [mm] b^3=-c^3 [/mm] folgt b=-c

LG walde

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Nullvektor und Matrix: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:55 Sa 01.12.2012
Autor: ohlala

Danke, bei der a) hatte ich ja mal total ein Brett vor dem Kopf ;-)

Zur b) hab ich noch die Frage, wie du die Aufgabe nun weiter auf das Papier bringen würdest, damit es schlüssig ist.
Also wir haben jetzt:
det A=0, a=0 und b=-c
Setze ich dass nun hier ein?:
[mm] [mm] b^3+c^3=0, [/mm] dann ist mit b=-c: [mm] (-c)^3+c^3=0=0+0[/mm]  [mm]
[mm] 0=0+0= a+0 = a+(-c+c)=a+(-c)+c [mm]
Mit b=-c folgt dann: [mm] 0= a+b+c [mm]

c) Man kann nicht auf die Vorraussetzung a=0 verzichten.

Vielen Dank für die schon geleistete Hilfe.
LG ohlala

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Nullvektor und Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:16 Sa 01.12.2012
Autor: Walde


> Danke, bei der a) hatte ich ja mal total ein Brett vor dem
> Kopf ;-)

Kommt vor ;-)

>  
> Zur b) hab ich noch die Frage, wie du die Aufgabe nun
> weiter auf das Papier bringen würdest, damit es schlüssig
> ist.
>  Also wir haben jetzt:
>  det A=0, a=0 und b=-c

Ja, ok.


>  Setze ich dass nun hier ein?:
>  [mm]b^3+c^3=0,[/mm] dann ist mit b=-c: [mm](-c)^3+c^3=0=0+0[/mm]

Nein, hier nicht, von da kommt es ja.

> [mm]0=0+0= a+0 = a+(-c+c)=a+(-c)+c[/mm]
> Mit b=-c folgt dann: [mm]0= a+b+c[/mm]

Das ginge wohl, aber du fängst quasi von hinten an. Schöner fände ich es andersrum: Du hast a=0 und b=-c und zu zeigen: a+b+c=0. Also einfach hier einsetzen: a+b+c=0+(-c)+c=0 fertig.

>  c) Man kann nicht auf die Vorraussetzung a=0 verzichten.

Das stimmt, aber für eine saubere Lösung solltest du eine Begründung hinschreiben. Am besten ein Beispiel, bei dem det A=0 aber [mm] a+b+c\not=0. [/mm]

> Vielen Dank für die schon geleistete Hilfe.

Gern geschehen.

> LG ohlala

LG walde

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Nullvektor und Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:03 Sa 01.12.2012
Autor: ullim

Hi,

noch ein anderer Lösungsweg. Weil man die Determinante auch schreiben kann als

[mm] det(A)=(a+b+c)\left(a^2-ab-ac+b^2-bc+c^2\right) [/mm] sieht man

a) wenn a+b+c=0 gilt ist det(A)=0

b) wenn a=0 gilt is [mm] det(A)=(b+c)\left(b^2-bc+c^2\right) [/mm] und weil [mm] b^2-bc+c^2>0 [/mm] für [mm] bc\ne0 [/mm] gilt, muss a+b+c=0 gelten.

c) für a=b=c=1 ist [mm] a^2-ab-ac+b^2-bc+c^2=0 [/mm] und deshalb det(A)=0 aber [mm] a+b+c\ne0 [/mm]

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