Numerisch gelöst, wie? < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:27 Sa 22.05.2010 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Ein Spielzeugauto mit der Masse m = 0.2kg wird durch einen Aufziehmechanismus in Bewegung versetzt. Zur Zeit t=0 startet das Auto aus der Ruhe mit der beschleunigenden Kraft [mm] $F_{0}=0.1 [/mm] N$. Die Antriebskraft nimmt exponentiell ab und ist nach 4 Sekunden auf den e-ten Teil abgefallen. Für den Weg y(t) gilt die Differenzialgleichung [mm] $my''(t)=F_{0}e^{-bt}$ [/mm] mit $b= 0.25 [mm] s^{-1}$ [/mm] und den Anfangsbedingungen $y(0)=0$ und $ y'(0)=0 $.
a) Die Schrittweite sei $h=0.1$ Berechnen Sie die drei ersten Schritte mit dem Euler-Verfahren! |
Hallo,
Ich habe vergessen wie ich diese Aufgabe gelöst habe... Zuerst habe ich die Gleichung nach y''(t) umgestellt: [mm] $y''(t)=0.5e^{-0.25t}$. [/mm]
Danach habe ich mir folgende Tabelle aufgezeichnet:
[mm] \begin{tabular}{ l | c | r | r }
t & y(t) & y'(t) & y''(t) \\ \hline
0 & 0 & 0 &0.5 \\
0.1 & 0.005 & 0.05 & 0.488 \\
0.2 & 0.0149 & 0.099 & 0.476
\end{tabular}
[/mm]
Kann mir jemand sagen wie ich auf diese Zahlen gekommen bin?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt und bin für jede Antwort dankbar.
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 14:49 Sa 22.05.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
Du hast mit
[mm] $y'(t_1)=y'(t_0)+y''(t_0)(t_1-t_0)$
[/mm]
y' und dann daraus analog y berechnet. Nur ist Deine "Differentialgleichung" nur eine zweite Ableitung. Wenn Du y'' einfach integrierst, wirst Du feststellen, daß weder y'(0)=0, noch y(0)=0. Da brauchst Du schon die passenden Anfangswerte.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:15 Sa 22.05.2010 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
Ich verstehe nicht was du meinst mit $ [mm] y'(t_1)=y'(t_0)+y''(t_0)(t_1-t_0) [/mm] $, wie kommst du denn auf diese Gleichung? Durch die Differentialgleichung?
Ich habe übrigens die gesamte Aufgabe eingegeben, und dort stehen aber die beiden Anfangswerte $y(0)=0$ und $y'(0)=0$.
Danke.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:24 Sa 22.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] y''(0)\approx [/mm] (y'(0.1)-y'(0))/0.1
damit [mm] y'(0.1)\approx [/mm] y''(0)*0.1+y'(0)
entsprechend für die nächsten Schritte, man hat also [mm] f''=\Delta f')/\Delta [/mm] t statt df'/dt
entsprechend [mm] f'=\Delta f)/\Delta [/mm] t statt df/dt
jetzt wieder klar?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:35 Sa 22.05.2010 | | Autor: | kushkush |
nein...
die erste Zeile ist mir relativ klar, wenn die Startwerte für y und y' 0 sind dann setze ich einfach 0 ein und erhalte dementsprechend y''= 0.5 .
Nur, wie erhalte ich in der zweiten Zeile das y? und das y'?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:49 Sa 22.05.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Nur, wie erhalte ich in der zweiten Zeile das y? und das
> y'?
das steht doch da:
$y'(0.1)=y'(0)+y''(0)(0.1-0)$
Die zweite Ableitung ist die Steigung der Tangente an die erste Ableitung. Jetzt kannst Du die Tangente als Näherung an die Funktion verwenden. Siehe Taylorentwicklung.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:15 Sa 22.05.2010 | | Autor: | kushkush |
und das y finde ich dann über die Beziehung
$y=y(0)+y'(0)(h)$ ?
gilt diese Beziehung immer?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:29 Sa 22.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
da gibts 4 Möglichkeiten:
1.deine,
2. [mm] y(0.1)=y(0)+1/2*y''(0)*0.1^2
[/mm]
3. y(0.1)=y(0)+y'(0.1)*0.1 die scheint mit deiner Tabelle zu stimmen
4. y(0.1)=y(0)+1/2(y'(0)+y'(0.1))*0.1
welche genau man nach Euler nennt ist etwas verschieden.
Gruss leduart
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:31 Sa 22.05.2010 | | Autor: | kushkush |
habe gerade folgendes in meinen Notizen gefunden:
er schreibt:
a) Die Gleichung entspricht der Grundgleichung $ma = F$ der Mechanik. $y''(t)$ ist die Beschleunigung. Für $t=4s$ ergibt sich [mm] $F=F_{0}e^{-1}$
[/mm]
Dann rechnet er
[mm] $y'(t_{n})=y'(t_{n-1} [/mm] + h [mm] \cdot \frac{F_{0} e^{-bt_{n-1}}}{m}$
[/mm]
[mm] $y(t_{n})= y(t_{n-1})+h\cdot y'(t_{n}) [/mm] ODER als "zweit Variante" für die zweite Gleichung:
[mm] $y(t_{n})= y(t_{n-1})+h\cdot y'(t_{n-1})$
[/mm]
Jetzt bin ich irgendwie verwirrt... ich weiss zwar, dass die Beschleunigung die zweite Ableitung von der Position ist, nur WIESO hat der Prof. eine Tabelle, die so aussieht?
[mm] \begin{tabular}{ |l |l | c | r | r }
n& t_{n} & y'(t_{n}) & y(t_{n}) & y_{exakt} \\ \hline
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0.1 & 0.05 &0.005 & 0.0024793 \\
2 & 0.2 & 0.0987655 & 0.0148765 & 0.0098354 \\
3 & 0.3 & 0.146327 & 0.0295092 & 0.0219479\\
\end{tabular} [/mm]
Für die Spalte mit den exakten Lösungen hat er wohl die DFG gelöst, das gehört also eigentlich nicht dazu.
Gibt es etwa noch mehr Formen des Eulers als du geschrieben hast, leduart??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:41 So 23.05.2010 | | Autor: | kushkush |
Danke, Mathepower, leduart und Blech, habe das Eulerverfahren hinbekommen!
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 15:28 Sa 22.05.2010 | | Autor: | MathePower |
Hallo Blech,
> Hi,
>
> Du hast mit
>
> [mm]y'(t_1)=y'(t_0)+y''(t_0)(t_1-t_0)[/mm]
>
> y' und dann daraus analog y berechnet. Nur ist Deine
> "Differentialgleichung" nur eine zweite Ableitung. Wenn Du
> y'' einfach integrierst, wirst Du feststellen, daß weder
> y'(0)=0, noch y(0)=0. Da brauchst Du schon die passenden
> Anfangswerte.
Die Funktion
[mm]y\left(t\right)=2*t-8+8*e^{-0.25*t}[/mm]
erfüllt die Anfangsbedingungen
[mm]y\left(0\right)=y'\left(0\right)=0[/mm]
>
> ciao
> Stefan
Gruss
MathePower
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 15:50 Sa 22.05.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
da hast Du absolut recht.
ciao
Stefan
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