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Numerisch gelöst, wie?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:27 Sa 22.05.2010
Autor: kushkush

Aufgabe
Ein Spielzeugauto mit der Masse m = 0.2kg wird durch einen Aufziehmechanismus in Bewegung versetzt. Zur Zeit t=0 startet das Auto aus der Ruhe mit der beschleunigenden Kraft [mm] $F_{0}=0.1 [/mm] N$. Die Antriebskraft nimmt exponentiell ab und ist nach 4 Sekunden auf den e-ten Teil abgefallen. Für den Weg y(t) gilt die Differenzialgleichung [mm] $my''(t)=F_{0}e^{-bt}$ [/mm] mit $b= 0.25 [mm] s^{-1}$ [/mm] und den Anfangsbedingungen $y(0)=0$ und $ y'(0)=0 $.

a) Die Schrittweite sei $h=0.1$ Berechnen Sie die drei ersten Schritte mit dem Euler-Verfahren!

Hallo,

Ich habe vergessen wie ich diese Aufgabe gelöst habe... Zuerst habe ich die Gleichung nach y''(t) umgestellt: [mm] $y''(t)=0.5e^{-0.25t}$. [/mm]

Danach habe ich mir folgende Tabelle aufgezeichnet:

[mm] \begin{tabular}{ l | c | r | r } t & y(t) & y'(t) & y''(t) \\ \hline 0 & 0 & 0 &0.5 \\ 0.1 & 0.005 & 0.05 & 0.488 \\ 0.2 & 0.0149 & 0.099 & 0.476 \end{tabular} [/mm]

Kann mir jemand sagen wie ich auf diese Zahlen gekommen bin?




Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt und bin für jede Antwort dankbar.

        
Bezug
Numerisch gelöst, wie?: Antwort (fehlerhaft)
Status: (Antwort) fehlerhaft Status 
Datum: 14:49 Sa 22.05.2010
Autor: Blech

Hi,

Du hast mit

[mm] $y'(t_1)=y'(t_0)+y''(t_0)(t_1-t_0)$ [/mm]

y' und dann daraus analog y berechnet. Nur ist Deine "Differentialgleichung" nur eine zweite Ableitung. Wenn Du y'' einfach integrierst, wirst Du feststellen, daß weder y'(0)=0, noch y(0)=0. Da brauchst Du schon die passenden Anfangswerte.

ciao
Stefan

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Numerisch gelöst, wie?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:15 Sa 22.05.2010
Autor: kushkush

Hallo,


Ich verstehe nicht was du meinst mit $ [mm] y'(t_1)=y'(t_0)+y''(t_0)(t_1-t_0) [/mm] $, wie kommst du denn auf diese Gleichung? Durch die Differentialgleichung?


Ich habe übrigens die gesamte Aufgabe eingegeben, und dort stehen aber die beiden Anfangswerte $y(0)=0$ und $y'(0)=0$.


Danke.

Bezug
                        
Bezug
Numerisch gelöst, wie?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:24 Sa 22.05.2010
Autor: leduart

Hallo
[mm] y''(0)\approx [/mm] (y'(0.1)-y'(0))/0.1
damit [mm] y'(0.1)\approx [/mm] y''(0)*0.1+y'(0)
entsprechend für die nächsten Schritte, man hat also [mm] f''=\Delta f')/\Delta [/mm] t  statt df'/dt
entsprechend [mm] f'=\Delta f)/\Delta [/mm] t   statt df/dt
jetzt wieder klar?
Gruss leduart

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Bezug
Numerisch gelöst, wie?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:35 Sa 22.05.2010
Autor: kushkush

nein...

die erste Zeile ist mir relativ klar, wenn die Startwerte für y und y' 0 sind dann setze ich einfach 0 ein und erhalte dementsprechend y''= 0.5 .

Nur, wie erhalte ich in der zweiten Zeile das y? und das y'?

Bezug
                                        
Bezug
Numerisch gelöst, wie?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:49 Sa 22.05.2010
Autor: Blech

Hi,

> Nur, wie erhalte ich in der zweiten Zeile das y? und das
> y'?  

das steht doch da:

$y'(0.1)=y'(0)+y''(0)(0.1-0)$

Die zweite Ableitung ist die Steigung der Tangente an die erste Ableitung. Jetzt kannst Du die Tangente als Näherung an die Funktion verwenden. Siehe Taylorentwicklung.

ciao
Stefan


Bezug
                                                
Bezug
Numerisch gelöst, wie?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:15 Sa 22.05.2010
Autor: kushkush

und das y finde ich dann über die Beziehung

$y=y(0)+y'(0)(h)$ ?

gilt diese Beziehung immer?

Bezug
                                                        
Bezug
Numerisch gelöst, wie?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:29 Sa 22.05.2010
Autor: leduart

Hallo
da gibts 4 Möglichkeiten:
1.deine,
2. [mm] y(0.1)=y(0)+1/2*y''(0)*0.1^2 [/mm]
3. y(0.1)=y(0)+y'(0.1)*0.1 die scheint mit deiner Tabelle zu stimmen
4. y(0.1)=y(0)+1/2(y'(0)+y'(0.1))*0.1
welche genau man nach Euler nennt ist etwas verschieden.
Gruss leduart

Bezug
                                                                
Bezug
Numerisch gelöst, wie?: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 17:31 Sa 22.05.2010
Autor: kushkush

habe gerade folgendes in meinen Notizen gefunden:

er schreibt:

a) Die Gleichung entspricht der Grundgleichung $ma = F$ der Mechanik. $y''(t)$ ist die Beschleunigung. Für $t=4s$ ergibt sich [mm] $F=F_{0}e^{-1}$ [/mm]

Dann rechnet er

[mm] $y'(t_{n})=y'(t_{n-1} [/mm] + h [mm] \cdot \frac{F_{0} e^{-bt_{n-1}}}{m}$ [/mm]
[mm] $y(t_{n})= y(t_{n-1})+h\cdot y'(t_{n}) [/mm] ODER als "zweit Variante" für die zweite Gleichung:
[mm] $y(t_{n})= y(t_{n-1})+h\cdot y'(t_{n-1})$ [/mm]


Jetzt bin ich irgendwie verwirrt... ich weiss zwar, dass die Beschleunigung die zweite Ableitung von der Position ist, nur WIESO hat der Prof. eine Tabelle, die so aussieht?

[mm] \begin{tabular}{ |l |l | c | r | r } n& t_{n} & y'(t_{n}) & y(t_{n}) & y_{exakt} \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0.1 & 0.05 &0.005 & 0.0024793 \\ 2 & 0.2 & 0.0987655 & 0.0148765 & 0.0098354 \\ 3 & 0.3 & 0.146327 & 0.0295092 & 0.0219479\\ \end{tabular} [/mm]


Für die Spalte mit den exakten Lösungen hat er wohl die DFG gelöst, das gehört also eigentlich nicht dazu.


Gibt es etwa noch mehr Formen des Eulers als du geschrieben hast, leduart??

Bezug
                                                                        
Bezug
Numerisch gelöst, wie?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:41 So 23.05.2010
Autor: kushkush

Danke, Mathepower, leduart und Blech, habe das Eulerverfahren hinbekommen!

Bezug
                
Bezug
Numerisch gelöst, wie?: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) fundamentaler Fehler Status 
Datum: 15:28 Sa 22.05.2010
Autor: MathePower

Hallo Blech,

> Hi,
>  
> Du hast mit
>
> [mm]y'(t_1)=y'(t_0)+y''(t_0)(t_1-t_0)[/mm]
>  
> y' und dann daraus analog y berechnet. Nur ist Deine
> "Differentialgleichung" nur eine zweite Ableitung. Wenn Du
> y'' einfach integrierst, wirst Du feststellen, daß weder
> y'(0)=0, noch y(0)=0. Da brauchst Du schon die passenden
> Anfangswerte.


Die Funktion

[mm]y\left(t\right)=2*t-8+8*e^{-0.25*t}[/mm]

erfüllt die Anfangsbedingungen

[mm]y\left(0\right)=y'\left(0\right)=0[/mm]


>  
> ciao
>  Stefan


Gruss
MathePower

Bezug
                        
Bezug
Numerisch gelöst, wie?: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) richtig (detailiert geprüft) Status 
Datum: 15:50 Sa 22.05.2010
Autor: Blech

Hi,

da hast Du absolut recht.

ciao
Stefan


Bezug
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