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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:56 Fr 21.11.2014 | | Autor: | Aladdin |
| Aufgabe | $ [mm] I_1 [/mm] = [mm] \int_0^1 \! x^{3}e^{x} \, [/mm] dx $
$ [mm] I_2 [/mm] = [mm] \int_0^1 \! e^{-x^2} \, [/mm] dx $
ich soll die numerisch Integrieren, mit der Simpsonsche Formel, Gaußsche Formel (3-Punkt-) und der Hermitesche Formel.
Bestimmen Sie zunächst den exakten Wert der für Sie relevanten Integrale auf möglichst 15 Dezimalstellen.
Zur näherungsweisen Berechnung von $ I = [mm] \int_0^b \! [/mm] f(x) [mm] \, [/mm] dx $ sei
$ N = [mm] 2^{n}; [/mm] $
$ h = [mm] \bruch{b-a}{N}; [/mm] $
$ [mm] x_j [/mm] = a + jh, j [mm] \in \IR [/mm] $
Berechnen Sie Näherungen der obigen Integrale durch die folgenden summierten Quadraturformeln für $ n= 1,2,...,6. $ Drucken Sie für jedes Integral den exakten Wert I sowie die Näherungen in der Form
n Q I-Q (als Tabelle)
Sie können auch alle 3 Quadraturformeln zu einem Integral in einer Tabelle drucken. Alle Rechnungen sind in doppeltgenauer Arithmetik auszuführen. |
Hallo,
ich würde gerne fragen, ob jemand Lust hätte mit mir die Aufgabe durchzugehen.
Ich bin leider nicht gut beim Programmieren und um ehrlich zu sein habe ich nicht mal die Aufgabenstellung richtig verstanden. Besser gesagt, dass mit [mm] N,h,x_j. [/mm] Was meinten die damit?
ich habe zwar online einige Matlab-Programmierungen von den Formeln gesehen, aber da ich nicht verstehe was dort in bestimmen Schritten gemeint wurde, wollte ich die nicht kopieren.
LG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:26 Sa 22.11.2014 | | Autor: | meili |
Hallo Aladdin,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> [mm]I_1 = \int_0^1 \! x^{3}e^{x} \, dx[/mm]
> [mm]I_2 = \int_0^1 \! e^{-x^2} \, dx[/mm]
>
> ich soll die numerisch Integrieren, mit der Simpsonsche
> Formel, Gaußsche Formel (3-Punkt-) und der Hermitesche
> Formel.
>
> Bestimmen Sie zunächst den exakten Wert der für Sie
> relevanten Integrale auf möglichst 15 Dezimalstellen.
>
> Zur näherungsweisen Berechnung von [mm]I = \int_0^b \! f(x) \, dx[/mm]
> sei
>
> [mm]N = 2^{n};[/mm]
>
> [mm]h = \bruch{b-a}{N};[/mm]
>
> [mm]x_j = a + jh, j \in \IR[/mm]
Sinnvoller $j [mm] \in \IN_0$.
[/mm]
>
> Berechnen Sie Näherungen der obigen Integrale durch die
> folgenden summierten Quadraturformeln für [mm]n= 1,2,...,6.[/mm]
> Drucken Sie für jedes Integral den exakten Wert I sowie
> die Näherungen in der Form
>
> n Q I-Q (als Tabelle)
>
>
> Sie können auch alle 3 Quadraturformeln zu einem Integral
> in einer Tabelle drucken. Alle Rechnungen sind in
> doppeltgenauer Arithmetik auszuführen.
> Hallo,
>
> ich würde gerne fragen, ob jemand Lust hätte mit mir die
> Aufgabe durchzugehen.
> Ich bin leider nicht gut beim Programmieren und um ehrlich
> zu sein habe ich nicht mal die Aufgabenstellung richtig
> verstanden. Besser gesagt, dass mit [mm]N,h,x_j.[/mm] Was meinten
> die damit?
Zuerst solltest du dir die 3 numerische Integrationsverfahren
(![[]](/images/popup.gif) Simpsonsche Formel, Gaußsche Formel und Hermitesche Formel) ansehen.
Du sollst dann jeweils die summierten Quadraturformeln benutzen.
Also jeweils das Intervall [0;1] in N gleiche Teile teilen,
auf jedem Teilintervall die Quadraturformel anwenden, und dann addieren
um auf den numerischen Wert des Integrals über das ganze Intervall [0;1]
zu kommen.
Diese N sollen Potenzen von 2 sein mit $N = [mm] 2^n$ [/mm] und $n [mm] \in \{1;2;3;4;5;6\}$.
[/mm]
h heißt die Schrittweite und ist die Länge der Teilintervalle,
deshalb auch $h = [mm] \bruch{b-a}{N}$, [/mm] speziell für diese Aufgabe $h = [mm] \bruch{1-0}{N}$ [/mm] und N ist z.B. [mm] $2^3 [/mm] = 8$.
Mit [mm] $x_j [/mm] = a +jh$ bekommst du die Stützstellen; die Werte für die Teilintervalle [mm] $[x_j;x_{j+1}]$.
[/mm]
[mm] $x_0 [/mm] = a$, bei dieser Aufgabe [mm] $x_0 [/mm] = 0$, das nächste [mm] $x_1 [/mm] = 0 + 1*h$,
[mm] $x_2 [/mm] = 2*h$ u.s.w.
Für die Simpsonsche Formel gibt es für das summierte Verfahren
schon eine zusammengefasste Formel:
[mm] $S^{(N)}(f) [/mm] = [mm] \bruch{h}{6}*\left( f(x_0)+2*\summe_{k=1}^{N-1}f(x_k) + f(x_N) + 4*\summe_{k=1}^{N}f\left(\bruch{x_{k-1}+x_k}{2}\right) \right)$
[/mm]
Kannst du aus so einer Formel ein Programm schreiben?
>
> ich habe zwar online einige Matlab-Programmierungen von den
> Formeln gesehen, aber da ich nicht verstehe was dort in
> bestimmen Schritten gemeint wurde, wollte ich die nicht
> kopieren.
>
> LG
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
meili
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:36 So 23.11.2014 | | Autor: | Aladdin |
Hallo Meili,
danke für deine Antwort.
für die Simpsonsformel
| 1: | % Simpsonsche Regel:
| | 2: | xS = a : h/2 : b ;
| | 3: | yS = F(xS);
| | 4: | nS = 2*n + 1;
| | 5: | I = (yS(1)+yS(nS)) ; % Erster und letzer Wert der Formel
| | 6: | faktor = 4 ;
| | 7: | for i = 2 : nS-1
| | 8: | I = I + yS(i)*faktor ;
| | 9: | if (faktor == 4) faktor = 2 ;
| | 10: | else faktor = 4 ;
| | 11: | end
| | 12: | end
| | 13: | Simpson = I*h/6. |
bin mir nicht sicher ob es hier passt. Die habe ich zwar nicht alleine gemacht aber ich hoffe es scheint gut auszusehen. Alleine fällt mir sowas noch sehr schwer.
Wie kann ich dieses Programm denn testen? Bei mir funktioniert das testen irgendwie nicht :S
Wie sehen denn die anderen zusammengefassten Formeln aus?
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Di 25.11.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:56 Do 27.11.2014 | | Autor: | Aladdin |
Guten abend,
hat keiner eine Idee?
Ich würde mich sehr freuen, wenn man es irgendwie hinkriegen könnte.
LG
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