Numerische Differentiation < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Schönen guten abend.
Ich habe ein Problem. Die Numerische Differentiation als solches verstehe ich ganz gut. Allerdings habe ich nun eine Aufgabe, bei der es heißt:,, Bestimmen Sie die Ableitung von f(x)=sinx; in [mm] (\bruch{\pi}{2}/1) [/mm] unter Verwendung folgender Stützpunkte: (0/0); [mm] (\bruch{\pi}{6}/0,5); (\bruch{\pi}{2}/1); (\pi/0).
[/mm]
Ich weiß nicht, wie ich an diese Aufgabe rangehen soll. Kann mir bitte irgendjmd. einen Ansatz bzw. ein Tipp geben???
Ich rechne die Aufgabe dann auch alleine weiter.
Danke schonmal im Vorraus.
|
|
| |
|
Hallo DominicVandrey,
> Bestimmen Sie die Ableitung
> von f(x)=sinx; in [mm](\bruch{\pi}{2}/1)[/mm] unter Verwendung
> folgender Stützpunkte: (0/0); [mm](\bruch{\pi}{6}/0,5); (\bruch{\pi}{2}/1); (\pi/0).[/mm]
>
> Ich weiß nicht, wie ich an diese Aufgabe rangehen soll.
Ich denke, du mußt hier eine Variante des Neville-Aitken-Schemas verwenden, nämlich ![[]](/images/popup.gif) die dividierten Differenzen. Hier findest du schonmal ein Beispiel, wie man das Neville-Schema benutzt. Ein Beispiel zu den dividierten Differenzen habe ich jetzt zwar nicht, aber es funktioniert so ähnlich.
Viele Grüße
Karl
|
|
|
| |
|
Wie ich bisher rausfinden konnte, kann man die 3 Varianten
[mm] y'(x_i)=\bruch{y(x_i_+_1)-y(x_i)}{x_i_+_1-x_i}
[/mm]
[mm] y'(x_i)=\bruch{y(x_i)-y(x_i_-_1)}{x_i-x_i_-_1}
[/mm]
[mm] y'(x_i)=\bruch{y(x_i_+_1)-y(x_i_-_1)}{x_i_+_1-x_i_-_1}
[/mm]
Verwenden.
Demnach wäre [mm] x_i= \bruch{\pi}{2}
[/mm]
Also erhalte ich für die erste Ableitung also für cos(x)=0 als Echtheitswert.
Aber was genau ist jetzt [mm] x_i_+_1 [/mm] bzw. [mm] x_i_-_1???
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:52 Mi 19.09.2007 | | Autor: | Blech |
> Wie ich bisher rausfinden konnte, kann man die 3 Varianten
> [mm]y'(x_i)=\bruch{y(x_i_+_1)-y(x_i)}{x_i_+_1-x_i}[/mm]
> [mm]y'(x_i)=\bruch{y(x_i)-y(x_i_-_1)}{x_i-x_i_-_1}[/mm]
> [mm]y'(x_i)=\bruch{y(x_i_+_1)-y(x_i_-_1)}{x_i_+_1-x_i_-_1}[/mm]
> Verwenden.
Warum liest Du dann nicht einfach die Antwort auf die Du geantwortet hast, dann hättest Du schon wesentlich mehr herausgefunden.
> Demnach wäre [mm]x_i= \bruch{\pi}{2}[/mm]
> Also erhalte ich für die
> erste Ableitung also für cos(x)=0 als Echtheitswert.
>
> Aber was genau ist jetzt [mm]x_i_+_1[/mm] bzw. [mm]x_i_-_1???[/mm]
Die i sind Indizes. Du hast die Werte [mm] $x_0=0,\ x_1=\frac{\pi}{6},\ x_2=\frac{\pi}{2},\ x_3=\pi$ [/mm] vorgegeben.
Deine drei Formeln sind nichts anderes als die Steigungen der Geraden durch die Funktionswerte bei den Indizes i und i+1 bzw. i und i-1 bzw. i+1 und i-1.
Mit anderen Stützstellen könnte man auf leidlich genaue Ergebnisse kommen, aber wegen Auslöschung ist die maximale Genauigkeit begrenzt.
Deswegen nimmt man gerne einen Schwung Stützstellen, approximiert ein Polynom durch diese Stellen durch Interpolation und nimmt dann die Ableitung dieses Polynoms. Oder man benutzt (kubische) Splines.
Die erste Antwort enthielt einen Link für das eine, hier ist einer für die Methode mit Splines. Gib Deine Werte einfach mal in den Rechner ein [mm] ($\pi \approx [/mm] 25/8$) und vergleich das Ergebnis dann mit denen von oben.
|
|
|
| |
|
Ich habe mittlerweile das Ergebnis berechnen können. Dankeschön für die Hilfreiche Antwort. Werde mir den Link zu den Splines angucken auch dafür danke.
Gruß Dominic
|
|
|
|
