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Forum "Differentialgleichungen" - Numerische Lösung PDE
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Numerische Lösung PDE: Aufgabe
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 10:46 Di 16.06.2009
Autor: uniklu

Aufgabe
Man löse die Wave equation numerisch, damit sie mittels Matlab gelöst werden kann (also PDE in First Order ODEs umwandeln).
[mm] \bruch{\partial^2 u}{\partial t^2} [/mm] = [mm] a^2 \bruch{\partial^2 u}{\partial x^2} [/mm]
a ist konstant.
Border conditions: u(0,t) = u(L,t) = 0
Anfangsposition: u(x,0) = f(x)
Anfangsgeschwindigkeit: [mm] \bruch{\partial^2 u}{\partial t^2} [/mm] (x,0) = g(x)
f(x) beschreibt die Position
g(x) beschreibt die Geschwindigkeit.

Die Saite hat eine Länge von L und ist an beiden Enden fixiert.

Hallo!

Das bedeutet im Grunde, dass ich die PDE in eine Reihe von ODEs umwandeln muss.
Ich habe also mit der rechten Seite angefangen

[mm] \bruch{\partial^2 u}{\partial x^2} [/mm] = [mm] \bruch{\partial}{\partial x} [/mm] * [mm] [\bruch{\partial u}{\partial x}] [/mm]
=> [mm] \bruch{\partial u}{\partial x} [/mm] = u' = [mm] \bruch{u(x+h)-u(x)}{h} [/mm] forward difference

[mm] \bruch{\partial^2 u}{\partial x^2} [/mm] = [mm] \bruch{\partial u}{\partial x} [\bruch{u(x+h)-u(x)}{h}] [/mm]
= [mm] \bruch{1}{h}[\bruch{\partial u(x+h)}{\partial x}] [/mm] - [mm] \bruch{1}{h}[\bruch{\partial u(x)}{\partial x}] [/mm] backward difference anwenden
= [mm] \bruch{1}{h}[\bruch{u(x+h) - u(x)}{h}] [/mm] - [mm] \bruch{1}{h}[\bruch{u(x) - u(x-h)}{h}] [/mm]
nun habe ich drei aufeinanderfolgende Punkte womit ich eigentlich gut approximieren kann

das ganze forme ich noch etwas um:
[mm] \bruch{\partial^2 u}{\partial x^2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{h^2}[u(x+h) [/mm] - 2u(x) + u(x-h)]
indexierung mit i
i = x + 0h
i + 1 = x + h
i + 2 = x + 2h etc

[mm] \bruch{\partial^2 u}{\partial x^2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{h^2}[u_{i+1} [/mm] - [mm] 2u_{i} [/mm] + [mm] u_{i-1}] [/mm]

Nun stehe ich aber etwas auf der leitung, da ich auf der linke seite immer noch eine ableitung 2ten grades habe - ich brauche eine "first order ode". Was mache ich nun?

also:

[mm] \bruch{\partial^2 u}{\partial t^2} [/mm]  = [mm] \bruch{a^2}{h^2}[u_{i+1} [/mm] - [mm] 2u_{i} [/mm] + [mm] u_{i-1}] [/mm]


Was mache ich nun mit der linken Seite?
Vielen dank für jede hilfe! - ist leider schon etwas dringend :(

lg

        
Bezug
Numerische Lösung PDE: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:20 Fr 19.06.2009
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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