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Nutzung von Dualbasen ?: Frage
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 14:08 So 12.12.2004
Autor: Faenol

Hi Forum !

Ich hab nen Problem, bei dieser Aufgabe hier:

V ist ein endlicher VR über K und T [mm] \in [/mm] L(V).
zu zeigen ist, dass es dann ein N [mm] \in \IN [/mm] und [mm] a_{N-1},...,a_{1},a_{0} \in [/mm] K gibt mit:

[mm] T^{N}+a_{N-1}T^{N-1}+...+a_{1}T+a_{0}Id_{V}=0 \in [/mm] L(V).

Ich weiß hier überhaupt nicht, wo ich anfangen soll.
Mir sieht das alles recht nach einem Polynom aus, wobei doch eigentlich
[mm] T^{N} [/mm] eine Verkettung ist, also ist ja z.B.
[mm] T^{2}=T(T()) [/mm] bzw. da T [mm] \in [/mm] L(V): [mm] T^{2}=L(L(V)) [/mm]

V ist ein Vektoraum wird also eine Basis haben....  *grübel*

Aber das bringt mich hier alles nicht weiter.
Muss ich das mit Dualbasen machen ?

Ich hab das ganze Mal als Summe formuliert:

[mm] \summe_{i=0}^{N} a_{i} T^{i}; [/mm] mit [mm] a_{N}=1 [/mm]

aber kommt dann auch net weiter...

Hat jemand 'ne Idee ?


Danke

Faenôl

        
Bezug
Nutzung von Dualbasen ?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:33 Sa 18.12.2004
Autor: Stefan

Hallo Faenol!

Eine triviale Lösung wäre natürlich das charakteristische Polynom von $T$, denn wenn man $T$ in sein charakteristisches Polynom einsetzt, kommt ja die Nullabbildung raus (Satz von Cayley-Hamilton). Hattet ihr denn das charakteristische Polynom schon? Sonst wird die Argumentation sehr mühselig, fürchte ich. :-(

Liebe Grüße
Stefan

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Bezug
Nutzung von Dualbasen ?: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:24 So 19.12.2004
Autor: Faenol

Hi !

HMM, ich weiß gerade nicht, was du mit "Charakteristisches Polynom" meinst, hab im Script nachgeschaut, aber nicht gefunden !
Vielleicht unter einem anderen Namen ?
Kannst du das vielleicht erklären, dann find ich's  bestimmt !
Ich glaub net, dass die Aufgabe schwer sein soll.... *g*

Danke

Faenôl





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Bezug
Nutzung von Dualbasen ?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:14 So 19.12.2004
Autor: Stefan

Hallo Faenol!

Du kennst den Satz von Cayley-Hamilton also nicht (wäre dann ja auch zu einfach gewesen :-)).

Wie man die Aufgabe ohne den Satz von Cayley-Hamiltopn lösen kann, hat Lars hier sehr schön angedeutet. Gefällt mir wirklich, dieser Beweis!

Wenn du damit nicht zurechtkommst, kannst du dich ja wieder melden.

Liebe Grüße
Stefan

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