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| Aufgabe | Bestimmen sie eine Lösung der Differentialgleichung
[mm] u''=u(u-\bruch{1}{2})(u-1) [/mm]
welche den Randbedingungen
[mm] \limes_{x\rightarrow-\infty}u(x)=1 [/mm] und [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}u(x)=0 [/mm] genügt. |
Hi!
Ich habe leider im Moment keine Ahnung wie ich das angehen könnte. Hat vielleicht jemand ein Idee?
lg Martin
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo rammstein,
> Bestimmen sie eine Lösung der Differentialgleichung
> [mm]u''=u(u-\bruch{1}{2})(u-1)[/mm]
> welche den Randbedingungen
> [mm]\limes_{x\rightarrow-\infty}u(x)=1[/mm] und
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}u(x)=0[/mm] genügt.
> Hi!
>
> Ich habe leider im Moment keine Ahnung wie ich das angehen
> könnte. Hat vielleicht jemand ein Idee?
>
Probiere zunächst konstante Lösungen u zu finden.
Daraus kann eine Lösung zusammengebastelt werden,
die den Randbedingungen genügt.
> lg Martin
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>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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Hallo,
Vielen Dank für deine Antwort!
Die konstanten Lösungen sind 0, 1/2 und 1. Aber ich sehe jetzt nicht wie mir das weiterhilft. Was meinst du mit "zusammenbasteln"?
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Hallo rammstein,
> Hallo,
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> Vielen Dank für deine Antwort!
> Die konstanten Lösungen sind 0, 1/2 und 1. Aber ich sehe
> jetzt nicht wie mir das weiterhilft. Was meinst du mit
> "zusammenbasteln"?
Eine Lösung der DGL ist zum Beispiel:
[mm]u\left(x\right)=\left\{\begin{matrix}1 & x < 0 \\ 0 & x \ge0\end{matrix}\right[/mm]
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:47 Fr 06.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo rammstein,
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> > Hallo,
> >
> > Vielen Dank für deine Antwort!
> > Die konstanten Lösungen sind 0, 1/2 und 1. Aber ich
> sehe
> > jetzt nicht wie mir das weiterhilft. Was meinst du mit
> > "zusammenbasteln"?
>
>
> Eine Lösung der DGL ist zum Beispiel:
>
> [mm]u\left(x\right)=\left\{\begin{matrix}1 & x < 0 \\ 0 & x \ge0\end{matrix}\right[/mm]
???? Diese Funktion ist nicht differenzierbar !!
FRED
>
>
> Gruss
> MathePower
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Wenn man die Differentialgleichung mit [mm]u'[/mm] multipliziert und integriert, erhält man
[mm]2u'^{\, 2} = u^2 \cdot (1-u)^2[/mm]
Daraus schließt man
[mm]\sqrt{2} \cdot u' = \pm u \cdot (1-u)[/mm]
Aus den Randbedingungen kann man zwar nicht schließen, daß eine Lösungsfunktion streng monoton fallen muß, aber vielleicht gibt es ja streng monoton fallende Lösungen. Dann wäre das Produkt [mm]u \cdot (1-u)[/mm] wegen [mm]u \in (0,1)[/mm] immer positiv. Damit [mm]u'[/mm] negativ ausfiele, hätte man also das negative Vorzeichen zu wählen:
[mm]\sqrt{2} \cdot u' = - u \cdot (1-u)[/mm]
Das ist die Differentialgleichung für eine streng monoton fallende Lösungsfunktion, die den Randbedingungen genügt. Sie kann durch Trennung der Veränderlichen auf klassische Weise gelöst werden. Schneller geht es, wenn man
[mm]u = \frac{1}{1+v}[/mm]
substituiert. Die Differentialgleichung geht damit in den Klassiker
[mm]\sqrt{2} \cdot v' = v[/mm]
über. (Diese Substitution fällt übrigens nicht vom Himmel. Ich habe die Differentialgleichung erst durch Trennen der Veränderlichen gelöst und die Substitution hinterher vom Ergebnis aus erschlossen.)
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