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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:13 Fr 27.05.2011 | | Autor: | muminek |
| Aufgabe | Sei V=[mm] \left\{ (x_1,x_2,...)\in\IR^{\IN}\left| \sum_{i=1}^{} \left| x_i\right|^2\le\infty\right\} [/mm] .( es soll "kleiner" und nicht "kleiner-gleich" sein )
...
c) Sei [mm] B=(v_i)_{i\in I} [/mm] eine ONB von V. Zeige, dass für alle v aus V gilt:
[mm] =0 [/mm] für fast alle [mm]v_i[/mm] |
Also ich wollte die Aufgabe so angehen, dass ich sage, dass jedes v eine lin. komb. der [mm]v_i[/mm] ist. Somit kann ich sagen: [mm] ==a_1+a_2+... [/mm] und dass ist für alle "Teilstücke" [mm] a_j =0 [/mm] falls j ist ungleich i. Wenn ich jetzt aber sage, dass v eine lin. komb. aller [mm]v_i[/mm] ist dann ist doch [mm] [/mm] ungleich 0 für alle [mm]v_i[/mm] da es ein Stück von der Form [mm] a_i =a_i*1=a_i [/mm] gibt. Das ist aber ein Wiederspruch zu der Aufgabe. Wo liegt mein Fehler?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:28 Fr 27.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Sei V=[mm] \left\{ (x_1,x_2,...)\in\IR^{\IN}\left| \sum_{i=1}^{} \left| x_i\right|^2\le\infty\right\}[/mm]
> .( es soll "kleiner" und nicht "kleiner-gleich" sein )
Also ist V der Raum [mm] l^2(\IR) [/mm] mit dem üblichen Skalarprodukt
>
> ...
>
> c) Sei [mm]B=(v_i)_{i\in I}[/mm] eine ONB von V. Zeige, dass für
> alle v aus V gilt:
> [mm] =0[/mm] für fast alle [mm]v_i[/mm]
Das ist doch Quatsch ! Das gilt nicht. Setzt man
[mm] $v_i=(0,...,0,1,0,.....)$, [/mm] wobei die 1 an der i-ten Stelle steht,
so ist [mm] $\{ v_i \}_{i \in \IN} [/mm] eine tadellose ONB von V.. Weiter ist
$v:=(1,1/2,1/3,...) [mm] \in [/mm] V$
aber
[mm] $=1/i \ne [/mm] 0$ für jedes [mm] v_i.
[/mm]
Wie lautet die Aufgabe wirklich ?
FRED
> Also ich wollte die Aufgabe so angehen, dass ich sage,
> dass jedes v eine lin. komb. der [mm]v_i[/mm] ist. Somit kann ich
> sagen: [mm] ==a_1+a_2+...[/mm]
> und dass ist für alle "Teilstücke" [mm]a_j =0[/mm] falls
> j ist ungleich i. Wenn ich jetzt aber sage, dass v eine
> lin. komb. aller [mm]v_i[/mm] ist dann ist doch [mm][/mm] ungleich 0
> für alle [mm]v_i[/mm] da es ein Stück von der Form [mm]a_i =a_i*1=a_i[/mm]
> gibt. Das ist aber ein Wiederspruch zu der Aufgabe. Wo
> liegt mein Fehler?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:55 Fr 27.05.2011 | | Autor: | muminek |
| Aufgabe | Sei V={...} der Vektorraum der Folgen für die die Reihe [mm] \sum_{i=1}^{\infty} |x_i|^2 [/mm] konvergiert. Sei < , >: [mm] V \times V \to\IR; ((x_i),(y_i))\to\sum_{i=1}^{\infty} x_iy_i [/mm]
a)Zeigen Sie, dass durch < , > eine sym., pos. def. BLF auf V definiert wird.
b)Sei [mm]U \subset V [/mm]der Untervektorraum der abbrechenden Folgen. Bestimme das orthogonale komplement von U.
c)Sei B=[mm] (v_i)_{i \in I} [/mm] eine Orthonormalbasis von V. Zeigen Sie, dass für alle [mm] v \in V[/mm] gilt: [mm] =0[/mm] für fast alle [mm] v_i[/mm] |
ok, a) und b) sind jetzt leicht abgekürtzt aber alles andere ist jetzt wortwörtlich abgeschrieben
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:01 Fr 27.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Sei V={...} der Vektorraum der Folgen für die die Reihe
> [mm]\sum_{i=1}^{\infty} |x_i|^2[/mm] konvergiert. Sei < , >: [mm]V \times V \to\IR; ((x_i),(y_i))\to\sum_{i=1}^{\infty} x_iy_i[/mm]
>
> a)Zeigen Sie, dass durch < , > eine sym., pos. def. BLF auf
> V definiert wird.
> b)Sei [mm]U \subset V [/mm]der Untervektorraum der abbrechenden
> Folgen. Bestimme das orthogonale komplement von U.
> c)Sei B=[mm] (v_i)_{i \in I}[/mm] eine Orthonormalbasis von V.
> Zeigen Sie, dass für alle [mm]v \in V[/mm] gilt: [mm]=0[/mm] für
> fast alle [mm]v_i[/mm]
>
> ok, a) und b) sind jetzt leicht abgekürtzt aber alles
> andere ist jetzt wortwörtlich abgeschrieben
Es hilft nichts. c) ist und bleibt falsch.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:03 Fr 27.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Sei V={...} der Vektorraum der Folgen für die die Reihe
> [mm]\sum_{i=1}^{\infty} |x_i|^2[/mm] konvergiert. Sei < , >: [mm]V \times V \to\IR; ((x_i),(y_i))\to\sum_{i=1}^{\infty} x_iy_i[/mm]
>
> a)Zeigen Sie, dass durch < , > eine sym., pos. def. BLF auf
> V definiert wird.
> b)Sei [mm]U \subset V [/mm]der Untervektorraum der abbrechenden
> Folgen. Bestimme das orthogonale komplement von U.
> c)Sei B=[mm] (v_i)_{i \in I}[/mm] eine Orthonormalbasis von V.
> Zeigen Sie, dass für alle [mm]v \in V[/mm] gilt: [mm]=0[/mm] für
> fast alle [mm]v_i[/mm]
>
> ok, a) und b) sind jetzt leicht abgekürtzt aber alles
> andere ist jetzt wortwörtlich abgeschrieben
Was soll eigentlich die Indexmenge I in
B= [mm] (v_i)_{i \in I} [/mm] ?
Jede ONB von V ist abzählbar unendlich
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:16 Fr 27.05.2011 | | Autor: | muminek |
Was genau das sein soll kann ich nicht sagen da es an keiner Stelle definiert ist. Es soll wohl einfach nur das [mm]\IN[/mm] sein. Aber wenn die Aufgabe falsch ist, könnte ich es so begründen wie ich es anfangs versucht hab zu zeigen? An welcher stelle müsste die Aufgabe anders lauten damit sie stimmt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:23 So 29.05.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:25 Fr 27.05.2011 | | Autor: | muminek |
Kurze Frage zu deiner Basis von vorhin. Ist es wirklich eine? Wenn ich nicht komplett falsch liege dann ist jede lin. komb. deiner Basisvektoren ein Vektor aus V. Wenn ich sie aber wie folgt kombiniere: [mm]v_1+v_2+...+v_ \infty =v[/mm] erhalte ich ein Vektor v desen Folge als (oben definierte) Reihe überhaupt nicht konvergiert, das wir eine unendlich Folge von konstanten Gliedern ( hier die 1 ) haben.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:30 Fr 27.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Kurze Frage zu deiner Basis von vorhin. Ist es wirklich
> eine?
Ja, glaub mir, es ist eine ONB
> Wenn ich nicht komplett falsch liege dann ist jede
> lin. komb. deiner Basisvektoren ein Vektor aus V. Wenn ich
> sie aber wie folgt kombiniere: [mm]v_1+v_2+...+v_ \infty =v[/mm]
[mm]v_1+v_2+...+v_ \infty =v[/mm]
Das ist keine Linearkombination !
Ich vermute, Dir ist folgendes nicht klar:
eine ONB von V ist keine algebraische Basis von V
FRED
> erhalte ich ein Vektor v desen Folge als (oben definierte)
> Reihe überhaupt nicht konvergiert, das wir eine unendlich
> Folge von konstanten Gliedern ( hier die 1 ) haben.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:37 Fr 27.05.2011 | | Autor: | muminek |
nagut, dann versuche ich mal den gegenteil zu begründen
Gruß
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