matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenLineare Algebra - SkalarprodukteONB & Fourrierreihe in L²
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Lineare Algebra - Skalarprodukte" - ONB & Fourrierreihe in L²
ONB & Fourrierreihe in L² < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Skalarprodukte"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

ONB & Fourrierreihe in L²: Korrektur & Tipp
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 14:28 Sa 25.05.2013
Autor: Approximus

Aufgabe
Die Funktionen [mm] C_{0}, C_{n}, S_{n} \in L^{2}((-\pi,\pi),\IR),n\in\IN, [/mm] seien definiert durch [mm] C_{0}=\bruch{1}{2\pi},C_{n}=\bruch{1}{\pi}cos(nx),S_{n}=\bruch{1}{\pi}sin(nx) [/mm]

a) Zeigen Sie, dass das Funktionensystem [mm] {C_{0}, C_{n}, S_{n}:n\in\IN} [/mm] eine ONB in [mm] L^{2}((-\pi,\pi),\IR) [/mm] bildet
b) Folgern Sie, dass sich jedes [mm] f\in L^{2}((-\pi,\pi),\IR) [/mm] in [mm] L^{2}((-\pi,\pi),\IR) [/mm] darstellen lässt als reelle Fourierreihe [mm] f=\bruch{a_{0}}{2}+\summe_{n=1}^{\infty}(a_{n}cos(n*)+b_{n}sin(n*)). [/mm] Geben Sie die Formeln für die Koeffizienten [mm] a_{0},a_{n},b_{n},n\in\IN, [/mm] an.


Hallo, bei der Teilaufgabe a) müsste ich eigentlich alles haben und zur Teilaufgabe b) kann ich einen Tipp gebrauchen.



Aufgabe a) Hier muss ich die Orthogonalität paarweise und die Normierung bestimmen.

Skalarprdukt in [mm] L^{2}((-\pi,\pi),\IR): =\integral_{-\pi}^{\pi}{f(x)g(x) dx} [/mm]

Orthogonalität:

[mm] =\bruch{1}{\wurzel{2}*\pi}\integral_{-\pi}^{\pi}{cos(nx) dx}=\bruch{1}{\wurzel{2}*\pi}[\bruch{1}{n}sin(nx)]^{\pi}_{-\pi}=0 [/mm]

( Nullstellen von sin(x) sind auch Nullstellen von sin(nx) [mm] \forall n\in\IN [/mm] )

[mm] =\bruch{1}{\wurzel{2}*\pi}\integral_{-\pi}^{\pi}{sin(nx) dx}=\bruch{1}{\wurzel{2}*\pi}[\bruch{1}{n}(-)cos(nx)]^{\pi}_{-\pi}=0 [/mm]

( -cos(nx) ist eine gerade Funktion, also -cos(nx)=-cos(-nx) [mm] \forall n\in\IN [/mm] )

[mm] =\bruch{1}{\pi}\integral_{-\pi}^{\pi}{sin(nx)cos(nx) dx}=\bruch{1}{\pi}(\bruch{1}{n}[sin^{2}(nx)]^{\pi}_{-\pi}-\integral_{-\pi}^{\pi}{sin(nx)\bruch{1}{n}cos(nx)n dx} [/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{2}{\pi}\integral_{-\pi}^{\pi}{sin(nx)cos(nx) dx}=\bruch{1}{n\pi}[sin^{2}(nx)]^{\pi}_{-\pi} [/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{1}{\pi}\integral_{-\pi}^{\pi}{sin(nx)cos(nx) dx}=\bruch{1}{2n\pi}[sin^{2}(nx)]^{\pi}_{-\pi}=0 [/mm]

(erste Schritt mit partieller Integration, Nullstellen von sin(x) sind auch Nullstellen von sin(nx) gilt logischerweise auch für [mm] sin^{2}(x) [/mm] und [mm] sin^{2}(nx) \forall n\in\IN [/mm] )

Normierung:

durch Skalarprodukt induzierte Norm: [mm] \parallel f(x)\parallel=\integral_{-\pi}^{\pi}{(f(x))^{2} dx} [/mm]

[mm] \parallel C_{0}\parallel=\integral_{-\pi}^{\pi}{\bruch{1}{2\pi} dx}=\bruch{1}{2}-(-)\bruch{1}{2}=1 [/mm]

[mm] \parallel C_{n}\parallel=\bruch{1}{\pi}\integral_{-\pi}^{\pi}{cos^{2}(nx) dx}=\bruch{1}{\pi}\integral_{-\pi}^{\pi}{cos(nx)*cos(nx) dx} [/mm]
partielle Integration [mm] \Rightarrow \bruch{1}{\pi}(\bruch{1}{n}*[sin(nx)*cos(nx)]^{\pi}_{-\pi}-\integral_{-\pi}^{\pi}{\bruch{1}{n}*sin(nx)*(-)sin(nx)*n dx})=\bruch{1}{\pi}(\bruch{1}{n}*[sin(nx)*cos(nx)]^{\pi}_{-\pi}+\integral_{-\pi}^{\pi}{1-cos^{2}(nx) dx})=\bruch{1}{\pi}(\bruch{1}{n}*[sin(nx)*cos(nx)]^{\pi}_{-\pi}+2\pi-\integral_{-\pi}^{\pi}{cos^{2}(nx) dx}) [/mm]
[mm] \Rightarrow 2*\integral_{-\pi}^{\pi}{\bruch{1}{\pi}cos^{2}}=\bruch{1}{\pi}(\bruch{1}{n}*[sin(nx)*cos(nx)]^{\pi}_{-\pi}+2\pi) [/mm]
[mm] \Rightarrow \integral_{-\pi}^{\pi}{\bruch{1}{\pi}cos^{2}}=\bruch{1}{\pi}(\bruch{1}{2n}*[sin(nx)*cos(nx)]^{\pi}_{-\pi}+\pi) [/mm]
[mm] sin(nx)*cos(nx)=\bruch{sin(2nx)}{2}\Rightarrow \bruch{1}{\pi}(\bruch{1}{4n}*\underbrace{[sin(2nx)]^{\pi}_{-\pi}}_{=0}+\pi)=\bruch{\pi}{\pi}=1 [/mm]

Analog [mm] \parallel S_{n}\parallel=1 [/mm]

Damit bildet das Funktionensystem [mm] {C_{0}, C_{n}, S_{n}:n\in\IN} [/mm] ein ONS in [mm] L^{2}((-\pi,\pi),\IR) [/mm]

Aufgabe b)
Jetzt muss ich zeigen, dass die 3 Funktion [mm] C_{0}, C_{n}, S_{n} [/mm] ein vollständiges ONS in [mm] L^{2}((-\pi,\pi),\IR) [/mm] bilden, also eine ONB. Wie kann ich das zeigen? Wenn ich das gezeigt habe, kann man alle Funktionen aus [mm] L^{2}((-\pi,\pi),\IR) [/mm] mit abzählbar unendlich vielen Funktionen der ONB darstellen. Die Fourrierreihe bezüglich der ONB ist dann gerade die Reihendarstellung einer Funktion aus [mm] L^{2}((-\pi,\pi),\IR) [/mm] und die Koeffizienten sind gerade [mm] , [/mm] und [mm] [/mm]

Vielen Dank für eure Mühe im voraus!
Mfg

Diese Frage habe ich in keinem anderen Forum gestellt!

        
Bezug
ONB & Fourrierreihe in L²: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:20 Fr 31.05.2013
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Skalarprodukte"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]