ONB und selbstadjungierte Abb. < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:38 So 26.09.2010 | | Autor: | m0ppel |
| Aufgabe | Betrachte auf dem [mm]\IR-VR [/mm] den [mm] \IR^3 [/mm] die Bilinearform [mm] \* [/mm] definiert durch [mm](x_{1},x_{2},x_{3}) \* (y_{1},y_{2},y_{3})= 3x_{1}y_{1}+ x_{1}y_{3}+2x_{2}y_{2}+x_{3}y_{1}+3x_{3}y_{3}[/mm]
1) Bestimmen Sie die Strukturmatrix von [mm] \* [/mm] !
2) Zeige, dass [mm] \* [/mm] ein Skalarprodukt ist.
3) Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis des von [mm](1,0,0)[/mm] und [mm](0,1,0)[/mm] erzeugten Unterraum.
4) Ist der Endomorphismus [mm] \phi [/mm] definiert durch die Matrix A zur Basis B: A= [mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 } [/mm] |
1) Nach meinen Berechnungen lautet die Strukturmatrix S = [mm] \pmat{ 3 & 0 & 1\\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 3 }
[/mm]
2) Wenn die Strukturmatrix positiv definit und hermitisch ist, dann ist [mm] \* [/mm] ein Skalarprodukt:
a) hermitisch
[mm] \overline{S}^T [/mm] = S , da alle Einträge von S aus [mm] \IR [/mm] stammen, reicht zu zeigen: [mm] S^T [/mm] = S
Dies gilt.
b) positiv definit heißt alle Eigenwert sind positiv: Eigenwerte sind 2 und 4
3)
ich nehme mir hier den ersten Vektor und Normiere ihn, wobei ich das vorgegebene Skalarprodukt benutzen muss:
das heißt: [mm] |\vektor{1 \\ 0 \\ 0}| [/mm] = [mm] \wurzel{\vektor{1 \\ 0 \\ 0}\* \vektor{1 \\ 0 \\ 0}} [/mm] = [mm] \wurzel{3}
[/mm]
dann wäre mein erster Basisvektor: [mm] \vektor{\bruch{1}{\wurzel{3}} \\ 0 \\ 0}
[/mm]
und der zweite: [mm] \vektor{0 \\ \bruch{1}{\wurzel{2}} \\ 0}
[/mm]
ist das so richtig?
4) muss ich das so zeigen?
selbstadjungiert: [mm] \phi(\overrightarrow{x})\* \overrightarrow{y}= \overrightarrow{x} \* \phi(\overrightarrow{y})
[/mm]
Liebe Grüße
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> Betrachte auf dem [mm]\IR-VR[/mm] den [mm]\IR^3[/mm] die Bilinearform [mm]\*[/mm]
> definiert durch [mm](x_{1},x_{2},x_{3}) \* (y_{1},y_{2},y_{3})= 3x_{1}y_{1}+ x_{1}y_{3}+2x_{2}y_{2}+x_{3}y_{1}+3x_{3}y_{3}[/mm]
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> 1) Bestimmen Sie die Strukturmatrix von [mm]\*[/mm] !
> 2) Zeige, dass [mm]\*[/mm] ein Skalarprodukt ist.
> 3) Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis des von [mm](1,0,0)[/mm] und
> [mm](0,1,0)[/mm] erzeugten Unterraum.
> 4) Ist der Endomorphismus [mm]\phi[/mm] definiert durch die Matrix
> A zur Basis B: A= [mm]\pmat{ 1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 2 }[/mm]
>
> 1) Nach meinen Berechnungen lautet die Strukturmatrix S =
> [mm]\pmat{ 3 & 0 & 1\\
0 & 2 & 0 \\
1 & 0 & 3 }[/mm]
>
> 2) Wenn die Strukturmatrix positiv definit und hermitisch
> ist, dann ist [mm]\*[/mm] ein Skalarprodukt:
> a) hermitisch
> [mm]\overline{S}^T[/mm] = S , da alle Einträge von S aus [mm]\IR[/mm]
> stammen, reicht zu zeigen: [mm]S^T[/mm] = S
> Dies gilt.
> b) positiv definit heißt alle Eigenwert sind positiv:
> Eigenwerte sind 2 und 4
> 3)
> ich nehme mir hier den ersten Vektor und Normiere ihn,
> wobei ich das vorgegebene Skalarprodukt benutzen muss:
> das heißt: [mm]|\vektor{1 \\
0 \\
0}|[/mm] = [mm]\wurzel{\vektor{1 \\
0 \\
0}\* \vektor{1 \\
0 \\
0}}[/mm]
> = [mm]\wurzel{3}[/mm]
> dann wäre mein erster Basisvektor:
> [mm]\vektor{\bruch{1}{\wurzel{3}} \\
0 \\
0}[/mm]
> und der
> zweite: [mm]\vektor{0 \\
\bruch{1}{\wurzel{2}} \\
0}[/mm]
> ist das
> so richtig?
Hallo,
bisher noch. Nun bräuchte man noch den dritten Vektor der ONB.
>
> 4) muss ich das so zeigen?
> selbstadjungiert: [mm]\phi(\overrightarrow{x})\* \overrightarrow{y}= \overrightarrow{x} \* \phi(\overrightarrow{y})[/mm]
Ja.
Gruß v. Angela
>
> Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:51 So 26.09.2010 | | Autor: | m0ppel |
> > 3)
> > ich nehme mir hier den ersten Vektor und Normiere ihn,
> > wobei ich das vorgegebene Skalarprodukt benutzen muss:
> > das heißt: [mm]|\vektor{1 \\
0 \\
0}|[/mm] = [mm]\wurzel{\vektor{1 \\
0 \\
0}\* \vektor{1 \\
0 \\
0}}[/mm]
> > = [mm]\wurzel{3}[/mm]
> > dann wäre mein erster Basisvektor:
> > [mm]\vektor{\bruch{1}{\wurzel{3}} \\
0 \\
0}[/mm]
> > und der
> > zweite: [mm]\vektor{0 \\
\bruch{1}{\wurzel{2}} \\
0}[/mm]
> >
> ist das
> > so richtig?
>
> Hallo,
>
> bisher noch. Nun bräuchte man noch den dritten Vektor der
> ONB.
In der Aufgabenstellung steht doch, dass der Unterraum nur durch zwei Vektoren aufgespannt wird. Daher muss er doch die Dimension 2 haben, oder? Also warum brauche ich dann hier noch ein dritten Vektor?
Liebe Grüße
m0ppel
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> > > 3)
> > > ich nehme mir hier den ersten Vektor und Normiere ihn,
> > > wobei ich das vorgegebene Skalarprodukt benutzen muss:
> > > das heißt: [mm]|\vektor{1 \\
0 \\
0}|[/mm] =
> [mm]\wurzel{\vektor{1 \\
0 \\
0}\* \vektor{1 \\
0 \\
0}}[/mm]
> > > = [mm]\wurzel{3}[/mm]
> > > dann wäre mein erster Basisvektor:
> > > [mm]\vektor{\bruch{1}{\wurzel{3}} \\
0 \\
0}[/mm]
> > >
> und der
> > > zweite: [mm]\vektor{0 \\
\bruch{1}{\wurzel{2}} \\
0}[/mm]
> >
> >
> > ist das
> > > so richtig?
> >
> > Hallo,
> >
> > bisher noch. Nun bräuchte man noch den dritten Vektor der
> > ONB.
>
>
> In der Aufgabenstellung steht doch, dass der Unterraum nur
> durch zwei Vektoren aufgespannt wird. Daher muss er doch
> die Dimension 2 haben, oder? Also warum brauche ich dann
> hier noch ein dritten Vektor?
Hallo,
für nichts.
Ich hatte die Aufgabe offensichtlich nicht durchgelesen und wollte, daß Du eine ONB des [mm] \IR^3 [/mm] suchst.
Gruß v. Angela
>
> Liebe Grüße
> m0ppel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:42 Mo 27.09.2010 | | Autor: | m0ppel |
Zur Aufgabe 4)
Aufgabe: Ist der Endomorphismus [mm]\phi[/mm] definiert durch die Matrix A zur Basis B: A= [mm]\pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 }[/mm] selbstadjungiert bzgl. des definierten Skalarprodukt?
Wie ich schon sagte, kann ich das so zeigen:
selbstadjungiert: [mm]\phi(\overrightarrow{x})\* \overrightarrow{y}= \overrightarrow{x} \* \phi(\overrightarrow{y})[/mm]
Allerdings weiß ich, dass ich eine selbstadjungierte Abbildung auch nachweisen kann, indem ich folgenden Satz anwende:
Sei X ein Prähilbertraum endlicher Dimension, B Orthonormalbasis und [mm]\phi: X \to X[/mm] Endomorphismus mit [mm] \phi [/mm] zur Basis B ist A. Dann gilt [mm] \phi [/mm] selbstadjungiert [mm] \gdw [/mm] A hermitische Matrix
Ich denke, dass in meinem Fall ein Prähilbertraum vorhanden ist, weil wir im [mm] \IR^3 [/mm] agieren und ein Skalarprodukt zugrunde liegt. (welches in den vorigen Aufgaben gezeigt wurde)
Des weiteren wurde erwähnt, dass B eine kanonische Basis ist. jedoch denke ich hier, dass bei dem vorliegendem Skalarprodukt die kanonische Basis keine ONB ist, richtig?
Kann ich daher dieses Satz hier nicht anwenden? und wenn doch, dann wird doch das Skalarprodukt gar nicht beachtet, oder?
Sry für den langen Text und danke schon mal für die Hilfe!
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> Zur Aufgabe 4)
> Aufgabe: Ist der Endomorphismus [mm]\phi[/mm] definiert durch die
> Matrix A zur Basis B: A= [mm]\pmat{ 1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 2 }[/mm]
> selbstadjungiert bzgl. des definierten Skalarprodukt?
>
> Wie ich schon sagte, kann ich das so zeigen:
> selbstadjungiert: [mm]\phi(\overrightarrow{x})\* \overrightarrow{y}= \overrightarrow{x} \* \phi(\overrightarrow{y})[/mm]
>
> Allerdings weiß ich, dass ich eine selbstadjungierte
> Abbildung auch nachweisen kann, indem ich folgenden Satz
> anwende:
> Sei X ein Prähilbertraum endlicher Dimension, B
> Orthonormalbasis und [mm]\phi: X \to X[/mm] Endomorphismus mit [mm]\phi[/mm]
> zur Basis B ist A. Dann gilt [mm]\phi[/mm] selbstadjungiert [mm]\gdw[/mm] A
> hermitische Matrix
>
> Ich denke, dass in meinem Fall ein Prähilbertraum
> vorhanden ist, weil wir im [mm]\IR^3[/mm] agieren und ein
> Skalarprodukt zugrunde liegt. (welches in den vorigen
> Aufgaben gezeigt wurde)
Hallo,
> Des weiteren wurde erwähnt, dass B eine kanonische Basis
> ist.
Aha, das hast Du bisher verheimlicht.
Was ist mit "eine" kanonische Basis gemeint? Die Standardbasis des [mm] \IR^3?
[/mm]
> jedoch denke ich hier, dass bei dem vorliegendem
> Skalarprodukt die kanonische Basis keine ONB ist, richtig?
Richtig.
>
> Kann ich daher dieses Satz hier nicht anwenden?
Genau.
> und wenn
> doch, dann wird doch das Skalarprodukt gar nicht beachtet,
> oder?
Wenn man mit einer ONB arbeitet, dann ist das Skalarprodukt ja in die Orthonormierung "eingearbeitet", es wird also doch beachtet.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:19 Mo 27.09.2010 | | Autor: | m0ppel |
| Aufgabe | Betrachtet wird der [mm] \IR [/mm] -VR [mm] \IR^3 [/mm]
Ist der Endomorphismus [mm] \phi [/mm] definiert durch [mm] \phi \to [/mm] A [mm] =\pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 }, [/mm] wobei die kanonische Basis zugrunde liegt, bzgl. des Skalarprodukt [mm] (x_{1},x_{2},x_{3}) \*(y_{1},y_{2},y_{3}) [/mm] = [mm] 3x_{1}y_{1} [/mm] + [mm] x_{1}y_{3} [/mm] + [mm] 2x_{2}y_{2} [/mm] + [mm] x_{3}y_{1} [/mm] + [mm] 3x_{3}y_{3} [/mm] eine selbstadjungierte Abbildung?
Hinweis: Strukturmatrix des Skalarprodukts ist S= [mm] \pmat{ 3 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 3 } [/mm] |
Ich weiß, dass ich nicht einfach nur nachweisen kann, dass A eine hermitische Matrix ist, da keine Orthonormalbasis zugrunde liegt.
Also müsste ich das ja so zeigen:
[mm] \phi(\overrightarrow{x})* \overrightarrow{y}= \overrightarrow{x} [/mm] * [mm] \phi(\overrightarrow{y})
[/mm]
[mm] \gdw (\pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 }* \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}})*\pmat{ 3 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 3 }*\vektor{y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3}}=(x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3})*\pmat{ 3 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 3 }*(\pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 }*\vektor{y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3}})
[/mm]
[mm] \gdw (x_{1}+x_{3} [/mm] , [mm] x_{2}+x_{3} [/mm] , [mm] x_{1}+x_{2}+2x_{3})*\pmat{ 3 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 3 }*\vektor{y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3}}=(x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3})*\pmat{ 3 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 3 }*\vektor{y_{1}+y_{3} \\ y_{2}+y_{3} \\ y_{1}+y_{2}+2y_{3}}
[/mm]
[mm] \gdw \vektor{4x_{1}+x_{2}+5x_{3} \\ 2x_{2}+2x_{3} \\ 4x_{1}+3x_{2}+7x_{3}}*\vektor{y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3}}=\vektor{3x_{1}+x_{3} \\ 2x_{2} \\ x_{1}+3x_{3}}*\vektor{y_{1}+y_{3} \\ y_{2}+y_{3} \\ y_{1}+y_{2}+2y_{3}} [/mm] hier bin ich mir bei der Form nicht ganz sicher!
[mm] \gdw y_{1}(4x_{1}+x_{2}+5x_{3})+y_{2}(2x_{2}+2x_{3}) [/mm] + [mm] y_{3}(4x_{1}+3x_{2}+7x_{3})=y_{1}(4x_{1}+4x_{3})+y_{2}(x_{1}+2x_{2}+3x_{3})+y_{3}(5x_{1}+2x_{2}+7x_{3})
[/mm]
Also liegt hier keine selbstadjungierte Abbildung vor.
Stimmt das?
Und kann ich das nicht auch irgendwie kürzer zeigen? Dies ist nämlich eine Klausuraufgabe und ich kann mir nicht vorstellen, dass ich soviel Zeit in eine Teilaufgabe stecken soll.
Vielen Dank für die Hilfe
m0ppel
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Hallo,
nachgerechnet habe ich nichts.
Du fragtest nach Alternativen.
Mit dem von Dir früher am Tag zitierten Satz sollte es ja auch funktionieren, sofern Du eine ONB ermitteltst und dann die darstellende Matrix bzgl dieser ONB aufschreibst.
Gruß v. Angela
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