Ober- Unter- Zwischensumme x^2 < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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> Berechnen Sie das Integral [mm]\integral_{-1}^{2}{x^2 dx}[/mm] als
> Grenzwert einer Unter-, einer Ober- und einer
> Zwischensumme.
>
> [mm]Hinweis:\left(\summe_{k=1}^{n}{k^2}=\bruch{2*n^3+3*n^2+n}{6}\right)[/mm]
> Hi!
> Wir haben in der Vorlesung noch nicht mit dem Thema
> angefangen und ich wollte schon etwas vorarbeiten -
> über die Suche habe ich schon etliche Beiträge zur Unter-,
> Zwischen und Obersumme gefunden aber ich werde da nicht
> wirklich schlau draus (wie hätte es auch anders sein können
>  ).
>
> Also bei meiner Suche habe ich gelesen, dass die Funktionen
> streng monoton sein müssen wenn sie Riemann-integrierbar
> sein sollen!?
Nein, das müssen sie nicht.
> Heisst das, dass ich bei diesem Beispiel erst die Summen
> für das Intervall [-1,0] [mm](x^2[/mm] streng monoton fallend)
> bilden muss und dann bis [0,2] (streng monoton wachsend)?
Für die Wahl der [mm] $x_i$ [/mm] für Unter- bzw. Obersumme ist es allerdings wichtig zu wissen, welches Argument [mm] $x_i$ [/mm] im $i$-ten Intervall der Unterteilung in $n$ gleich lange Intervalle den kleinsten bzw. grössten Funktionswert [mm] $f(x_i)$ [/mm] liefert. Um dies entscheiden zu können, ist es von Vorteil, strenge Monotonie der Funktion $f$ über dem ganzen $i$-ten Teilintervall voraussetzen zu können.
Leider wechselt aber bei dem Dir vorgegebenen Integrationsintervall die Monotonie von streng fallend zu streng wachsend. Ich frage mich daher, ob es nicht besser wäre, die Summen für das Intervall $[-1;0]$ und $[0;2]$ getrennt zu schreiben.
>
> Für die Untersumme steht im Skript:
>
> [mm]U_n=f(x_1)*\Delta x+f(x_2)*\Delta x+f(x_3)*\Delta x+...+f(x_n)*\Delta x=\summe_{i=1}^{n}{f(x_i)*\Delta x}[/mm]
>
> Die Funktionswerte stellen die Höhe dar und das [mm]\Delta[/mm] x
> die Breite.
>
> In der Summe kann ich doch jetzt schreiben:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n}{(x_i)^2*\bruch{b-a}{n}}[/mm]
>
> Nur ab hier hakt es jetzt bei mir...
> Der nächste Schritt wäre doch, dass ich [mm]x_i[/mm] ersetze wie
> hier:  Flächenbestimmung
>
> Ich verstehe jetzt noch nicht ganz wieso die Höhe des i-ten
> Rechtecks so berechnet wird:
> [mm]f\left( \frac{b-a}{n}\cdot i+a\right)=\left(\frac{b-a}{n}\cdot i+a\right) ^2[/mm]
>
> das [mm]\bruch{b-a}{n}*i[/mm] kann ich mir noch erklären... das wäre
> doch einfach ein bestimmter Funktionswert oder? aber wo
> kommt das +a her?
Der Einfachheit halber nehme ich einmal an, dass die Funktion $f$ auf $[a;b]$ streng monoton wachsend sei und Du die $n$-te Obersumme hinschreiben willst. Wenn Du $[a;b]$ in $n$ gleich lange Intervalle zerlegst, dann erhältst Du:
[mm]\big[a;b\big]=\left[a;a+\frac{b-a}{n}\cdot 1\right]\cup \left[a+\frac{b-a}{n}\cdot 1;a+\frac{b-a}{n}\cdot 2\right]\cup\cdots \cup \left[a+\frac{b-a}{n}\cdot (n-1);a+\frac{b-a}{n}\cdot n\right][/mm]
Es soll also die obere Grenze des $n$-ten Teilintervalls (des letzten in der obigen Zerlegung von $[a;b]$) gleich $b$ sein, was Einsetzen von $n$ für $i$ in [mm] $a+\frac{b-a}{n}\cdot [/mm] i$ auch liefert. Daher diese "merkwürdige" Addition der unteren Grenze $a$, denn [mm] $\frac{b-a}{n}\cdot [/mm] n$ wäre ja gleich $b-a$, müsste somit noch nicht einmal notwendigerweise eine Zahl aus $[a;b]$ sein.
Wegen seines (von mir einmal vorausgesetzten) streng monotonen Wachsens nimmt $f$ jeweils an der oberen Grenze [mm] $x_i=a+\frac{b-a}{n}\cdot [/mm] i$ des $i$-ten Teilintervalles den grössten Wert an. Für die Obersumme wirst Du also $f$ von diesen oberen Grenzen [mm] $x_i=a+\frac{b-a}{n}\cdot [/mm] i$ der Teilintervalle, mit [mm] $\Delta x=\frac{b-a}{n}$ [/mm] multipliziert, summieren wollen.
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:06 Mo 23.03.2009 | | Autor: | tedd |
Ahh ich glaube jetzt verstehe ich mehr!
Danke für die ausführliche Antwort Somebody!
Also ich habe mal etwas weiter gerechnet:
$ [mm] \summe_{i=1}^{n}{(x_i)^2\cdot{}\bruch{b-a}{n}} [/mm] $
[mm] =\summe_{i=1}^{n}{\left(x_0+i*\bruch{b-a}{n}\right)^2\cdot{}\bruch{b-a}{n}}
[/mm]
[mm] =\summe_{i=1}^{n}{\left(x_0^2+2*x_0*i*\bruch{b-a}{n}+\left(i*\bruch{b-a}{n}\right)^2\right)*\left(\bruch{b-a}{n}\right)}
[/mm]
Kann ich die Summe jezt wirklich so auseinanderziehen?
[mm] =\bruch{b-a}{n}*\left(\summe_{i=1}^{n}{x_0^2}+\summe_{i=1}^{n}{2*x_0*i*\bruch{b-a}{n}}+\summe_{i=1}^{n}{\left(i*\bruch{b-a}{n}\right)^2}\right)
[/mm]
[mm] =\bruch{b-a}{n}*\left(x_0^2+2*x_0*\bruch{b-a}{n}\summe_{i=1}^{n}{i}+\left(\bruch{b-a}{n}\right)^2\summe_{i=1}^{n}{i^2}\right)
[/mm]
[mm] =\bruch{b-a}{n}*x_0^2+2*x_0*\left(\bruch{b-a}{n}\right)^2*\underbrace{\summe_{i=1}^{n}{i}}_{=\bruch{n*(n+1)}{2}}+\left(\bruch{b-a}{n}\right)^3*\underbrace{\summe_{i=1}^{n}{i^2}}_{\bruch{2*n^3+3*n^2+n}{6}}
[/mm]
[mm] =\bruch{b-a}{n}*x_0^2+{\color{Green}2}*x_0*\bruch{(b-a)^2}{{\color{Red}n^2}}*\bruch{{\color{Red}n}*(n+1)}{{\color{Green}2}}+\bruch{(b-a)^3}{n^3}*\bruch{2*n^3+3*n^2+n}{6}
[/mm]
[mm] =\bruch{b-a}{n}*x_0^2+x_0*\bruch{(b-a)^2}{n}*(n+1)+\bruch{(b-a)^3}{n^3}*\bruch{2*n^3+3*n^2+n}{6}
[/mm]
Ist bis hier alles richtig?
Dann müsste ich jetzt noch den Grenzwert für [mm] n\rightarrow\infty [/mm] bilden?
Danke und Gruß,
tedd
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:24 Mo 23.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> Ahh ich glaube jetzt verstehe ich mehr!
> Danke für die ausführliche Antwort Somebody!
>
> Also ich habe mal etwas weiter gerechnet:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n}{(x_i)^2\cdot{}\bruch{b-a}{n}}[/mm]
>
> [mm]=\summe_{i=1}^{n}{\left(x_0+i*\bruch{b-a}{n}\right)^2\cdot{}\bruch{b-a}{n}}[/mm]
>
> [mm]=\summe_{i=1}^{n}{\left(x_0^2+2*x_0*i*\bruch{b-a}{n}+\left(i*\bruch{b-a}{n}\right)^2\right)*\left(\bruch{b-a}{n}\right)}[/mm]
>
> Kann ich die Summe jezt wirklich so auseinanderziehen?
>
> [mm]=\bruch{b-a}{n}*\left(\summe_{i=1}^{n}{x_0^2}+\summe_{i=1}^{n}{2*x_0*i*\bruch{b-a}{n}}+\summe_{i=1}^{n}{\left(i*\bruch{b-a}{n}\right)^2}\right)[/mm]
>
> [mm]=\bruch{b-a}{n}*\left(x_0^2+2*x_0*\bruch{b-a}{n}\summe_{i=1}^{n}{i}+\left(\bruch{b-a}{n}\right)^2\summe_{i=1}^{n}{i^2}\right)[/mm]
>
> [mm]=\bruch{b-a}{n}*x_0^2+2*x_0*\left(\bruch{b-a}{n}\right)^2*\underbrace{\summe_{i=1}^{n}{i}}_{=\bruch{n*(n+1)}{2}}+\left(\bruch{b-a}{n}\right)^3*\underbrace{\summe_{i=1}^{n}{i^2}}_{\bruch{2*n^3+3*n^2+n}{6}}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{b-a}{n}*x_0^2+{\color{Green}2}*x_0*\bruch{(b-a)^2}{{\color{Red}n^2}}*\bruch{{\color{Red}n}*(n+1)}{{\color{Green}2}}+\bruch{(b-a)^3}{n^3}*\bruch{2*n^3+3*n^2+n}{6}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{b-a}{n}*x_0^2+x_0*\bruch{(b-a)^2}{n}*(n+1)+\bruch{(b-a)^3}{n^3}*\bruch{2*n^3+3*n^2+n}{6}[/mm]
>
> Ist bis hier alles richtig?
Du hast eine Obersumme berechnet für [mm] \integral_{a}^{b}{x^2 dx} [/mm] und den Fall, dass [mm] x^2 [/mm] auf [a,b] wachsend ist.
Zu untersuchen ist jedoch $ [mm] \integral_{-1}^{2}{x^2 dx} [/mm] $ . Auf [-1,0] ist [mm] x^2 [/mm] jedoch fallend !
FRED
>
> Dann müsste ich jetzt noch den Grenzwert für
> [mm]n\rightarrow\infty[/mm] bilden?
>
> Danke und Gruß,
> tedd
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:09 Mo 23.03.2009 | | Autor: | tedd |
Frage geändert:
So hab nochmal was drüber nachgedacht...
[Dateianhang nicht öffentlich]
In der Grafik ist die Unterteilung in n Balken sehr grob.
Das blaue soll die Untersummenkästen darstellen, das rote die Obersummenkästen...
Für die Untersumme gilt doch jetzt für das streng monoton wachsende Intervall [0,2] :
für $ [mm] x_0 [/mm] $ : $ [mm] (x_0)^2\cdot{}\Delta [/mm] $ x
für $ [mm] x_1 [/mm] $ : $ [mm] (x_1)^2\cdot{}\Delta x=(x_0+1\cdot{}\Delta x)^2\cdot{}\Delta [/mm] $ x
für $ [mm] x_2 [/mm] $ : $ [mm] (x_2)^2\cdot{}\Delta x=(x_0+2\cdot{}\Delta x)^2\cdot{}\Delta [/mm] $ x
für $ [mm] x_i [/mm] $ : $ [mm] (x_0+i\cdot{}\Delta x)^2\cdot{}\Delta [/mm] $ x
Und allgemein kann ich schreiben:
$ [mm] U_n=\summe_{{\color{Red}i=0}}^{n}{(x_0+i\cdot{}\Delta x)^2\cdot{}\Delta x} [/mm] $
Wäre das das gleiche wie:
$ [mm] U_n=\summe_{{\color{Red}i=1}}^{n}{(x_0+(i-1)\cdot{}\Delta x)^2\cdot{}\Delta x} [/mm] $ ?
Wenn ich jetzt die gleiche Formel für das streng monoton fallende Intervall [-1,0] anwenden würde, würde ich dort die Obersumme kriegen richtig?
Ich hatte die Idee den Index um 1 zu verschieben damit ich wieder die Untersumme bekomme, also:
$ [mm] x_{i}=(x_0+(i+1)\cdot{}\Delta x)^2\cdot{}\Delta [/mm] $ x
$ [mm] x_{-1}=(x_0+(-1+1)\cdot{}\Delta x)^2\cdot{}\Delta x=(x_0)^2\cdot{}\Delta [/mm] $ x würde dann ja wieder stimmen, nur für i=0 dann doch wieder nicht...
Muss ich die Intervalle dann so aufteilen:
[-1,0[ und [0,2] ?
Als Summe hätte man dann von i=1 angefangen zu zählen richtig?
Also $ [mm] U_n [/mm] $ für [-1,0[ :
$ [mm] \summe_{i=1}^{n}{(x_i)^2\cdot{}\Delta x}=\summe_{i=1}^{n}{(x_0+i\cdot{}\Delta x)^2\cdot{}\Delta x} [/mm] $ ?
Wenn ich mir das so vorstelle müsste für die Obersumme für [0,2] dann gelten:
$ [mm] \summe_{i=1}^{n}{(x_i)^2\cdot{}\Delta x}=\summe_{i=1}^{n}{(x_0+i\cdot{}\Delta x)^2\cdot{}\Delta x} [/mm] $
und für die Obersumme [-1,0[ ?
$ [mm] \summe_{i=0}^{n}{(x_i)^2\cdot{}\Delta x}=\summe_{i=1}^{n}{(x_0+i\cdot{}\Delta x)^2\cdot{}\Delta x} [/mm] $
Aber was ändert das an der jeweiligen Rechnung?
Ich nehme mal an, dass $ [mm] \summe_{k=1}^{n}{k^2}=\bruch{2\cdot{}n^3+3\cdot{}n^2+n}{6} \not=\summe_{k=0}^{n}{k^2} [/mm] $ ist.
Danke und besten Gruß,
tedd
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:54 Mo 23.03.2009 | | Autor: | tedd |
So hab nochmal was drüber nachgedacht...
[Dateianhang nicht öffentlich]
In der Grafik ist die Unterteilung in n Balken sehr grob.
Das blaue soll die Untersummenkästen darstellen, das rote die Obersummenkästen...
Für die Untersumme gilt doch jetzt für das streng monoton wachsende Intervall [0,2] :
für [mm] x_0 [/mm] : [mm] (x_0)^2*\Delta [/mm] x
für [mm] x_1 [/mm] : [mm] (x_1)^2*\Delta x=(x_0+1*\Delta x)^2*\Delta [/mm] x
für [mm] x_2 [/mm] : [mm] (x_2)^2*\Delta x=(x_0+2*\Delta x)^2*\Delta [/mm] x
für [mm] x_i [/mm] : [mm] (x_0+i*\Delta x)^2*\Delta [/mm] x
Und allgemein kann ich schreiben:
[mm] U_n=\summe_{{\color{Red}i=0}}^{n}{(x_0+i*\Delta x)^2*\Delta x}
[/mm]
Wäre das das gleiche wie:
[mm] U_n=\summe_{{\color{Red}i=1}}^{n}{(x_0+(i-1)*\Delta x)^2*\Delta x} [/mm] ?
Wenn ich jetzt die gleiche Formel für das streng monoton fallende Intervall [-1,0] anwenden würde, würde ich dort die Obersumme kriegen richtig?
Ich hatte die Idee den Index um 1 zu verschieben damit ich wieder die Untersumme bekomme, also:
[mm] x_{i}=(x_0+(i+1)*\Delta x)^2*\Delta [/mm] x
[mm] x_{-1}=(x_0+(-1+1)*\Delta x)^2*\Delta x=(x_0)^2*\Delta [/mm] x würde dann ja wieder stimmen, nur für i=0 dann doch wieder nicht...
Muss ich die Intervalle dann so aufteilen:
[-1,0[ und [0,2] ?
Als Summe hätte man dann von i=1 angefangen zu zählen richtig?
Also [mm] U_n [/mm] für [-1,0[ :
[mm] \summe_{i=1}^{n}{(x_i)^2*\Delta x}=\summe_{i=1}^{n}{(x_0+i*\Delta x)^2*\Delta x} [/mm] ?
Wenn ich mir das so vorstelle müsste für die Obersumme für [0,2] dann gelten:
[mm] \summe_{i=1}^{n}{(x_i)^2*\Delta x}=\summe_{i=1}^{n}{(x_0+i*\Delta x)^2*\Delta x}
[/mm]
und für die Obersumme [-1,0[ ?
[mm] \summe_{i=0}^{n}{(x_i)^2*\Delta x}=\summe_{i=1}^{n}{(x_0+i*\Delta x)^2*\Delta x}
[/mm]
Aber was ändert das an der jeweiligen Rechnung?
Ich nehme mal an, dass $ [mm] \summe_{k=1}^{n}{k^2}=\bruch{2\cdot{}n^3+3\cdot{}n^2+n}{6} \not=\summe_{k=0}^{n}{k^2} [/mm] $ ist.
Danke und besten Gruß,
tedd
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 17:10 Di 24.03.2009 | | Autor: | tedd |
So ich stell die Frage jetzt nochmal neu:
Ich habe jetzt erstmal für das Intervall [0,2] als Untersumme:
[mm] U_n=\summe_{i=1}^{n}{(x_0+(i-1)*\Delta x)^2*\Delta x}
[/mm]
das probiere ich jetzt auszurechnen:
[mm] U_n=\Delta x*\summe_{i=1}^{n}{(x_0+(i-1)*\Delta x)^2}
[/mm]
[mm] U_n=\Delta x*\left(\summe_{i=1}^{n}{x_0^2+2*x_0*(i-1)*\Delta x+(i-1)^2*(\Delta x)^2}\right)
[/mm]
[mm] U_n=\Delta x*\left[x_0^2*\left(\underbrace{\summe_{i=1}^{n}{1}}_{=n}\right)+2*x_0*\Delta x*\left(\underbrace{\summe_{i=1}^{n}{(i-1)}}_{=?}\right)+(\Delta x)^2*\left(\underbrace{\summe_{i=1}^{n}{(i-1)^2}}_{=?}\right)\right]
[/mm]
Das [mm] \summe_{i=1}^{n}{i} [/mm] = [mm] \bruch{n*(n+1)}{2} [/mm] ist weis ich...
kann ich die 2 fraglichen Summen jetzt so zerlegen?
[mm] \summe_{i=1}^{n}{(i-1)}=\underbrace{\summe_{i=1}^{n}{i}}_{=\bruch{n*(n+1)}{2}}-\underbrace{\summe_{i=1}^{n}{1}}_{=n}
[/mm]
und
[mm] \summe_{i=1}^{n}{(i-1)^2}=\summe_{i=1}^{n}{i^2-2*i+1}=\summe_{i=1}^{n}{i^2}-2*\summe_{i=1}^{n}{i}+\summe_{i=1}^{n}{1}
[/mm]
?
Nachtrag:
für die Untersumme bei [0,2] habe ich:
[mm] U_N=\summe_{i=1}^{n}{x_0+(i-1)*\Delta x)^2*\Delta x}
[/mm]
[mm] x_0=0 [/mm] ; [mm] \Delta x=\bruch{2}{n}
[/mm]
[mm] U_N=\Delta x^3*\left(\summe_{i=1}^{n}{i^2-2*i+1}\right)
[/mm]
[mm] U_N=\bruch{8}{n^3}*\left(\summe_{i=1}^{n}{i^2}-2*\summe_{i=1}^{n}{i}+\summe_{i=1}^{n}{1}\right)
[/mm]
[mm] U_N=\bruch{8}{n^3}*\left(\bruch{2*n^3+3*n^2+n}{6}-n*(n+1)+n\right)
[/mm]
[mm] U_N=\bruch{8*n^3+12*n^2+4n}{3*n^3}-\bruch{8}{n}-\bruch{8}{n^2}+\bruch{8}{n^2} \overrightarrow{n\rightarrow\infty} \bruch{8}{3}
[/mm]
Für die [mm] U_N [/mm] fürs Intervall [-1,0] habe ich
[mm] U_N=\summe_{i=1}^{n}{x_0+(1-i)*\Delta x)^2*\Delta x}
[/mm]
wo [mm] \bruch{1}{3} [/mm] rauskommt...
Für [mm] O_N [/mm] (mit anderen Summen) kommt das gleiche raus...
Danke und besten Gruß,
tedd
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:33 Mi 25.03.2009 | | Autor: | tedd |
Also die Untersumme für das Intervall [0,2] habe ich jetzt hingekriegt.
Habe leider im moment keine Zeit, das hier detailliert aufzuschreiben. Evtl. hole ich das später nach.
Probiere jetzt erstmal die Untersumme für das Intervall [-1,0] und die Ober- sowie Zwischensumme...
Nachtrag:
für die Untersumme bei [0,2] habe ich:
[mm] U_N=\summe_{i=1}^{n}{x_0+(i-1)*\Delta x)^2*\Delta x}
[/mm]
[mm] x_0=0 [/mm] ; [mm] \Delta x=\bruch{2}{n}
[/mm]
[mm] U_N=\Delta x^3*\left(\summe_{i=1}^{n}{i^2-2*i+1}\right)
[/mm]
[mm] U_N=\bruch{8}{n^3}*\left(\summe_{i=1}^{n}{i^2}-2*\summe_{i=1}^{n}{i}+\summe_{i=1}^{n}{1}\right)
[/mm]
[mm] U_N=\bruch{8}{n^3}*\left(\bruch{2*n^3+3*n^2+n}{6}-n*(n+1)+n\right)
[/mm]
[mm] U_N=\bruch{8*n^3+12*n^2+4n}{3*n^3}-\bruch{8}{n}-\bruch{8}{n^2}+\bruch{8}{n^2} \overrightarrow{n\rightarrow\infty} \bruch{8}{3}
[/mm]
Für die [mm] U_N [/mm] fürs Intervall [-1,0] habe ich
[mm] U_N=\summe_{i=1}^{n}{x_0+(1-i)*\Delta x)^2*\Delta x}
[/mm]
wo [mm] \bruch{1}{3} [/mm] rauskommt...
Für [mm] O_N [/mm] (mit anderen Summen) kommt das gleiche raus...
Meinetwegen kann das Thema jetzt abgehakt werden
Danke und Gruß,
tedd
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Fr 27.03.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Di 31.03.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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