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Ober- und Unterintegral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:58 Mi 08.09.2004
Autor: regine

Hallo,

kennt sich jemand von Euch mit der Definition des Ober- und Unterintegrals (Lebesgue-Integrale) aus? Ich kann mir darunter zwar Formeln vorstellen, die ich später einfach weiter benutze, aber ich möchte schon gerne verstehen, was ich da eigentlich benutze.

Ich bedanke mich recht herzlich!

Viele Grüße,
Regine.

        
Bezug
Ober- und Unterintegral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:55 Mi 08.09.2004
Autor: Fermat2k4

Hi Regine,

schau dir doch dazu mal folgende Seite an:
Ist ziemlich gut erklärt:

http://de.wikipedia.org/wiki/Lebesgue-Integral

Aber ich denke, wenn du das Riemann Integral verstanden hast, ist die Verallgemeinerung(siehe obigen Link) nicht mehr wirklich schwer!


Gruß

Alex


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Ober- und Unterintegral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:48 Do 09.09.2004
Autor: regine

Hallo,

ja, die Seite ist schon gut. Aber mein Haupt-Problem liegt darin, die Definition des Ober- und Unterintegrals durch Sup und Inf zu verstehen.

Kann mir das jemand erklären?

Danke und viele Grüße,
Regine.

Bezug
                        
Bezug
Ober- und Unterintegral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:13 Do 09.09.2004
Autor: Julius

Liebe Regine!

Es sei $f : [mm] \IR^d \to \overline{\IR}$ [/mm] eine Borel-messbare numerische Funktion. Da man $f=f^+ - f^-$ ja als Differenz zweier nicht-negativer Borel-messbarer numerischer Funktion schreiben kann und das Integral linear ist, können wir davon ausgehen, das $f$ nicht-negativ ist.

Du weißt ja sicherlich, wie man für Riemann-Integrale Ober- und Untersummen definiert. Man zerlegt den Urbildbereich der Funktion, zerlegt also etwa ein Intervall [mm] $a=t_0 [/mm] < [mm] t_1 [/mm] < [mm] \ldots [/mm] < [mm] t_n=b$ [/mm] und bildet dann jeweils über den Intervallen [mm] $[t_i,t_{i+1}]$ [/mm] Infimum und Supremum der Funktion. Durch Aufsummierung über die jeweiligen Rechtecksflächen und  Grenzwertbildung bekommt man ein Ober- und ein Unter-Integral.

Beim Lebesgue-Integral sieht das anders aus: Dort zerlegt man nicht den Urbildbereich, sondern den Bildbereich. Man schaut sich also an: Für welche $x$ liegt $f(x)$ in gewissen Intervallen, und diese Intervalle zerlegen den (Bild-)Raum (bis auf das letzte Intervall) äquidistant. Dann nimmst man sich in jedem dieser Intervalle den niedrigsten und den größten Wert, summiert auf und bildet die Grenzwerte.

Formal sieht das Ganze so aus:

Es sei $f:\ [mm] \IR^d \to \overline{\IR}$ [/mm] eine nicht-negative, Borel-messbare numerische Funktion.

Dann definiert man sich für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] die Mengen

[mm] $A_{in} [/mm] = [mm] \{x \in \IR^d\, : \, f(x) \ge i\, 2^{-n} \} \cap \{x \in \IR^d\, : \, f(x) < (i+1)\, 2^{-n}\}$ [/mm]

für [mm] $i=0,1,\ldots,n2^n-1$, [/mm] und

[mm] $A_{n,n2^n} [/mm] = [mm] \{x \in \IR^d \, : \, f(x) \ge n\}$. [/mm]

Man sieht ganz deutlich, wie man den Bildraum aufspaltet und dann die Urbilder betrachtet.: Auf [mm] $A_{in}$ [/mm] sind die Funktionswerte größer gleich [mm] $i\, 2^{-n}$ [/mm] und kleiner als [mm] $(i+1)\, 2^{-n}$. [/mm]

Wir definieren uns nun Funktionen

[mm] $\underline{f_n} [/mm] := [mm] \sum\limits_{i=1}^{n\, 2^n} i\, 2^{-n}\, 1_{A_{in}}$ [/mm]

und

[mm] $\overline{f_n} [/mm] := [mm] \sum\limits_{i=1}^{n\, 2^n} (i+1)\, 2^{-n}\, 1_{A_{in}}$. [/mm]

Dann gilt auf jeden Fall:

[mm] $\underline{f_n} \le [/mm] f [mm] \le \overline{f_n}$ [/mm]

für alle $n [mm] \in \IN$. [/mm]

Verstehst du:

[mm] $\overline{f_n}$ [/mm] nimmt immer den größten Funktionswert von $f$ auf [mm] $A_{in}$, $\underline{f_n}$ [/mm] immer den kleinsten.

[mm] $\overline {f_n}$ [/mm] und [mm] $\underline{f_n}$ [/mm] sind Elementarfunktionen, für solche kann man mit dem Lebesgue-Maß sehr leicht Lebesgue-Integrale definieren:

[mm] $O_n:= \int \overline{f_n}\, d\lambda^d [/mm] := [mm] \sum\limits_{i=1}^{n \, 2^n} (i+1)\, 2^{-n}\, \lambda^d(A_{in})$ [/mm]

und

[mm] $U_n:= \int \underline{f_n}\, d\lambda^d [/mm] := [mm] \sum\limits_{i=1}^{n \, 2^n} i\, 2^{-n}\, \lambda^d(A_{in})$. [/mm]

Offenbar gilt:

$f = [mm] \inf\limits_{n \in \IN}\overline{f_n} [/mm] = [mm] \sup\limits_{n \in \IN} \underline{f_n}$, [/mm]

und [mm] $(O_n)_{n \in \IN}$ [/mm] ist monoton fallend, [mm] $(U_n)_{n \in \IN}$ [/mm] monoton steigend.

Wir nennen

$O:= [mm] \inf\limits_{n \in \IN} O_n$ [/mm]

das Oberintegral von $f$ und

$U:= [mm] \sup\limits_{n \in \IN} U_n$ [/mm]

das Unterintegral von $f$.

Wenn $f$ Lebesgue-integrierbar ist, dann gilt $O=U$, und wir definieren:

[mm] $\int f\, d\lambda^d [/mm] := O \ (=U)$.

Das ist eine Möglichkeit das Lebesgue-Integral zu definieren. Eigentlich braucht man das Oberintegral aber gar nicht für die Definition, es genügt die Approximation über eine monoton wachsende Folge Borel-messbarer Elementarfuntionen über das (Unter-)Integral. (So, wie es im BAUER gemacht wird.)

Liebe Grüße
Julius

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