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Ober- und Untersummen: Grenzwert
Status: (Question) answered Status 
Date: 14:28 So 12/11/2017
Author: Paul88

Hallo,

ich habe nochmal eine Frage zur Berechnung des Integrals über Ober- und Untersummen. Es ist ja notwendig, sowohl die Ober- als auch die Untersumme zu berechnen, da man somit eine obere bzw. untere Schrank für die monoton wachsende oder fallende Folge erhält. Jedoch verstehe ich nicht so ganz, wieso die obere bzw. untere Grenze nicht schon durch die "Definition" der Untersumme selbst gegeben ist.
Also die Untersumme wird ja im Allgemeinen darüber berechnet, dass die Höhe der Rechtecke dem niedrigsten Funktionswert auf dem Intervall der Streifenbreite entspricht. Damit ist doch eigentlich gewährleistet, dass der Grenzwert nicht über die Begrenzung durch den Graphen hinauswachsen kann, oder nicht?! Ich hoffe, meine Frage ist verständlich :)
Also meine Frage wäre quasi, warum man, wenn man die Untersumme berechnet, auch noch die Obersumme berechnen muss, weil doch eigentlich die obere Schranke durch die Art und Weise, wie man die Untersumme berechnet (siehe oben), gegeben sein müsste?

Gruß
Paul88

        
Bezug
Ober- und Untersummen: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 15:02 So 12/11/2017
Author: Diophant

Hallo,

> ich habe nochmal eine Frage zur Berechnung des Integrals
> über Ober- und Untersummen.

Zur Berechnung oder zur Definition?

> Es ist ja notwendig, sowohl
> die Ober- als auch die Untersumme zu berechnen, da man
> somit eine obere bzw. untere Schrank für die monoton
> wachsende oder fallende Folge erhält.

Diesen Satz verstehe ich nicht. Meinst du hier die Folgen der Ober- bzw. der Untersummen?

> Jedoch verstehe ich
> nicht so ganz, wieso die obere bzw. untere Grenze nicht
> schon durch die "Definition" der Untersumme selbst gegeben
> ist.

Per Definition (über Unter- und Obersummen) existiert das Riemann-Integral genau dann, wenn die Grenzwerte von Unter- und Obersumme gleich sind.

> Also die Untersumme wird ja im Allgemeinen darüber
> berechnet, dass die Höhe der Rechtecke dem niedrigsten
> Funktionswert auf dem Intervall der Streifenbreite
> entspricht. Damit ist doch eigentlich gewährleistet, dass
> der Grenzwert nicht über die Begrenzung durch den Graphen
> hinauswachsen kann, oder nicht?!

Nein, durchaus nicht.

> Ich hoffe, meine Frage ist
> verständlich :)
> Also meine Frage wäre quasi, warum man, wenn man die
> Untersumme berechnet, auch noch die Obersumme berechnen
> muss, weil doch eigentlich die obere Schranke durch die Art
> und Weise, wie man die Untersumme berechnet (siehe oben),
> gegeben sein müsste?

Wenn man von einer Funktion weiß, dass sie Riemann-integrierbar ist (etwa weil sie auf dem betrachteten Intervall stetig ist), dann kann man sich natürlich die Berechnung eines der beiden Grenzwerte ersparen. Denn mit diesem Wissen weiß man ja gleichzeitig bereits, dass

[mm] \lim_{n\rightarrow\infty} U(n)= \lim_{n\rightarrow\infty} O(n)[/mm]

gilt (wenn man eine Zerlegung in n äquidistante Streifen wählt).


Gruß, Diophant

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Ober- und Untersummen: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 15:28 So 12/11/2017
Author: Paul88


Hallo,

ja genau, ich meinte die Folgen der Ober- und der Untersumme. Und meine Frage betraf tatsächlich die Berechnung des Integrals. Letztendlich nähert man sich dem ganzen in der Schule ja über Bildung der Ober- UND der Untersumme. Da stellt sich natürlich die Frage:

Warum reicht nicht der Grenzwert einer der beiden Folgen (der Ober- oder der Untersumme) aus?

Anschaulich ist ja schließlich klar, wogegen das ganze konvergiert. Naja aber mathematisch gesehen reicht es anscheinend nicht, weil dann jeweils eine obere bzw. untere Schranke für die monoton wachsende bzw. fallende Folge (der Ober- bzw. Untersumme) fehlt. Diese wird dann quasi durch die jeweils andere Folge gewährleistet.
Meine Frage war nun, ob denn nun aber nicht schon durch die Tatsache, dass bei der Untersumme immer mit Werten der Funktion selbst gerechnet wird, gewährleistet ist, dass der Flächeninhalt bzw. das Integral nicht über die Begrenzung durch den Graphen der Funktion hinauswachsen kann. Denn so wie die Rechtecke gewählt werden, liegen sie ja quasi immer unterhalb des Graphen und können gar nicht darüber hinauswachsen.

Gruß
Paul88



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Ober- und Untersummen: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 15:44 So 12/11/2017
Author: Diophant

Hallo,

> ja genau, ich meinte die Folgen der Ober- und der
> Untersumme. Und meine Frage betraf tatsächlich die
> Berechnung des Integrals. Letztendlich nähert man sich dem
> ganzen in der Schule ja über Bildung der Ober- UND der
> Untersumme. Da stellt sich natürlich die Frage:

>

> Warum reicht nicht der Grenzwert einer der beiden Folgen
> (der Ober- oder der Untersumme) aus?

>

> Anschaulich ist ja schließlich klar, wogegen das ganze
> konvergiert. Naja aber mathematisch gesehen reicht es
> anscheinend nicht, weil dann jeweils eine obere bzw. untere
> Schranke für die monoton wachsende bzw. fallende Folge
> (der Ober- bzw. Untersumme) fehlt. Diese wird dann quasi
> durch die jeweils andere Folge gewährleistet.
> Meine Frage war nun, ob denn nun aber nicht schon durch die
> Tatsache, dass bei der Untersumme immer mit Werten der
> Funktion selbst gerechnet wird, gewährleistet ist, dass
> der Flächeninhalt bzw. das Integral nicht über die
> Begrenzung durch den Graphen der Funktion hinauswachsen
> kann. Denn so wie die Rechtecke gewählt werden, liegen sie
> ja quasi immer unterhalb des Graphen und können gar nicht
> darüber hinauswachsen.

du solltest einmal deinen Funktionsbegriff erweitern. In der Schule behandelt man heutzutage praktisch keine Funktionen mehr, die nicht Riemann-integrierbar sind. Insbesondere sind die Funktionen aus der Schulmathematik in aller Regel auf ihrem gesamten Definitionsbereich stetig und somit Riemann-integrierbar. Es gibt aber auch andere Funktionen (für die ein solcher Integralbegriff gar nicht möglich ist), und eine mathematische Definition muss diese ja mit berücksichtigen.

Nimm mal die Dirichlet-Funktion

[mm]f(x)=\begin{cases} 1, & \textrm{für } x\in\IQ \\ 0, & \textrm{für } x\in\IR \setminus\IQ \end{cases}[/mm]

und versuche, auf einem beliebigen Intervall deren Integral

- per Unter-
- und per Obersumme

zu berechnen. Merkst du etwas?


Gruß, Diophant

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Ober- und Untersummen: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 15:47 So 12/11/2017
Author: Paul88

Hallo, vielen Dank, genau darauf wollte ich ja hinaus! Ich habe durchaus dieses Funktionsverständnis, habe mich nur gefragt, wie "solche" Methoden wie Ober- und Untersummen für Schüler einsichtig sein sollen, wenn Funktionen wie die Dirchlet-Funktion ja in der Schule gar nicht auftauchen. Denn als Schüler fragt man sich dann natürlich schon bei einer Funktion wie f(x)=x²: Wofür brauchen wir denn da beide Grenzwerte?!

Danke!

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Ober- und Untersummen: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 15:45 So 12/11/2017
Author: Paul88

--------------
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Ober- und Untersummen: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 15:50 So 12/11/2017
Author: Gonozal_IX

Hiho,

> Und gibt es eine für die Schule anschauliche Funktion, die
> nicht Riemann-integrierbar ist? Vielleicht liegt es darin
> begründet, dass es in der Schule nicht einsichtig ist,
> wofür beide Grenzwerte notwendig sind?

siehe dazu Diophants Vorschlag der Dirichlet-Funktion.
Es ist nun mal so, dass Funktionen, die abschnittsweise stetig sind und nur endlich viele Unstetigkeitsstellen haben, auch Riemann-Integrierbar sind.

D.h. eine solche Funktion, wo das klar wird, hätte entweder (mindestens) abzählbar unendlich viele Sprungstellen oder wäre überall unstetig.

Beides kann man eben nicht mehr "zeichnen", wodurch die "Anschaulichkeit" sinkt… aber ich finde ehrlich gesagt die Dirichlet-Funktion sogar sehr schön anschaulich, weil sie nur die Werte 0 und 1 annimmt.

Gruß,
Gono

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Ober- und Untersummen: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 15:54 So 12/11/2017
Author: Paul88

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Ober- und Untersummen: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 15:56 So 12/11/2017
Author: Paul88

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