Oberflächenintegral < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ich habe eine Halbkugeloberfläche A={ [mm] (x,y,z)|x^2+y^2+z^2=1,z\ge0 [/mm] } die so parametrisiert ist:
[mm] \overrightarrow{r} (\theta,\phi) [/mm] = [mm] \vektor{sin(\theta)cos(\phi) \\ sin(\theta)sin(\phi) \\ cos(\theta)}
[/mm]
Und ein Vektorfeld [mm] \overrightarrow{V}= \vektor{2x \\ x+z \\ y+z}
[/mm]
Berechne das Kurvenintegral [mm] \integral {\overrightarrow{V}*d\overrightarrow{r}} [/mm] entlang des Randes von A. |
Der Integrationsweg wäre dann ein Kreis, also [mm] \vektor{cos(\phi) \\ sin(\phi) \\ 0} [/mm]
Edit:
Tippfehler im Vektorfeld korrigiert. Sorry wegen der Rotation.
Mit dem Satz von Stokes habe ich für das Oberflächenintegral [mm] \integral {rot\overrightarrow{V}*d\overrightarrow{A}} [/mm] = [mm] \integral {\vektor{0 \\ 0 \\ 1} * \vektor{sin(\theta)cos(\phi) \\ sin(\theta)sin(\phi) \\ cos(\theta)} d\phi d\theta } [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\pi /2}{2\pi cos(\theta) d\theta} [/mm] = [mm] 2\pi
[/mm]
Das müsste ja auch das Ergebnis sein wenn ich das Kurvenintegral explizit löse, nur wie komme ich dahin? :(
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:56 Do 16.08.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo,
> Ich habe eine Halbkugeloberfläche [mm]A=\left\{ (x,y,z)|x^2+y^2+z^2=1,z\ge0 \right\}[/mm] die so parametrisiert ist:
> [mm]\overrightarrow{r} (\theta,\phi) = \vektor{sin(\theta)cos(\phi) \\ sin(\theta)sin(\phi) \\ cos(\theta)}[/mm]
>
> Und ein Vektorfeld [mm]\overrightarrow{V}= \vektor{2x \\ x+y \\ y+z}[/mm]
>
> Berechne das Kurvenintegral [mm]\integral {\overrightarrow{V}*d\overrightarrow{r}}[/mm] entlang des Randes von A.
> Der Integrationsweg wäre dann ein Kreis, also [mm]\vektor{cos(\phi) \\ sin(\phi) \\ 0}[/mm]
>
> leider bekomme ich egal wie ich rechne nie Null für dieses
> Integral raus, was ja nach Stokes das Ergebnis sein müsste,
> denn die Rotation des Vektorfeldes ist 0. :(
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Die Rotation des Vektorfeldes ist [mm]\overrightarrow\nabla \times \overrightarrow V = \vektor{ 1 \\ 0 \\ 1}[/mm].
Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:15 Fr 17.08.2007 | | Autor: | Tigerkatze |
Sorry, ganz böser Tippfehler, das Vektorfeld ist
[mm] \overrightarrow{V}= \vektor{2x \\ x+\red{ z} \\ y+z}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:15 Fr 17.08.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. V von z=0 2. dr berechnen [mm] (-sin\phi,cos\phi,0)^T*d\phi.
[/mm]
Skalarprod. bilden. integrieren!
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:26 Fr 17.08.2007 | | Autor: | rainerS |
Hi!
> Mit dem Satz von Stokes habe ich für das Oberflächenintegral [mm]\integral {rot\overrightarrow{V}*d\overrightarrow{A}} = \integral {\vektor{0 \\ 0 \\ 1} * \vektor{sin(\theta)cos(\phi) \\ sin(\theta)sin(\phi) \\ cos(\theta)} d\phi d\theta }[/mm]
Das Flächenelement ist falsch, es ist nämlich [mm]d\vec{A} = \vektor{\sin\theta \cos\phi \\ \sin\theta\sin\phi \\ \cos\theta}[/mm] [mm]\sin\theta[/mm] [mm]d\phi d\theta [/mm]. Dein Integral ist dann [mm]\integral_{0}^{\pi /2}{2\pi \sin\theta\cos\theta d\theta} = \pi[/mm].
Übrigens ist's viel einfacher, wenn du nicht über die Fläche A integrierst, sondern über die Schnittfläche der Halbkugel. Das ist möglich, weil [mm]\mathop{rot} \vec{V}[/mm] divergenzfrei ist und damit das Integral über jede geschlossene Fläche Null ist. Du musst nur noch mit den Vorzeichen aufpassen: wenn der Normalenvektor der Schnittfläche nach außen zeigt (also entlang der negativen z-Achse), verschwindet die Summe aus dem Integral über die Schnittfläche und dem Integral über A. Anders ausgedrückt: das Integral über A ist gleich dem Integral über die Schnittfläche, wenn der Normalenvektor der Schnittfläche [mm]\vektor{0\\0\\1}[/mm] ist. Das Integral über die Schnittfläche ist [mm]\integral_0^{2\pi} \integral_0^1 1*rdr d\phi = \pi[/mm].
> Das müsste ja auch das Ergebnis sein wenn ich das
> Kurvenintegral explizit löse, nur wie komme ich dahin? :(
Wie leduart schon schrieb: entlang der Kurve [mm]\partial A[/mm] ist in deiner Parametrisierung [mm]d\vec{r} = \vektor{-\sin\phi\\ \cos\phi\\0}d\phi[/mm]. Wenn du dort das mit [mm]\vec{V} = \vektor{ 2\cos\phi \\ \cos\phi \\ \sin\phi}[/mm] malnimmst und integrierst, kommt auch [mm]\pi[/mm] raus.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:27 Di 21.08.2007 | | Autor: | Tigerkatze |
Danke für eure Antworten!
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