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| Aufgabe | Gegeben sei das Vektorfeld
[mm] $\vec b(\vec r)=|\vec r|^{-2}*\begin{pmatrix} x \\ y \\ 0 \end{pmatrix}$.
[/mm]
Berechnen Sie das Oberflächenintegral über die Zylinderfläche der Höhe H und des Radius R im Intervall [mm] -\pi \le \varphi \le \pi. [/mm] |
Hallo,
die Aufgabe konnte ich rechnen (im Buch war in der Lösung ein Fehler):
[mm] $\integral_{F}\vec b(\vec r)*d\vec a=\integral_{0}^{H}\integral_{-\pi}^{\pi}\bruch{1}{R^2+z^2}*\begin{pmatrix} x \\ y \\ 0 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} cos(\varphi) \\ sin(\varphi) \\ 0 \end{pmatrix}*R*d\varphi*dz$
[/mm]
[mm] $=\integral_{0}^{H}\integral_{-\pi}^{\pi}\left(\bruch{x*cos(\varphi)}{R^2+z^2}+\bruch{y*sin(\varphi)}{R^2+z^2}\right)*R*\;d\varphi*dz$
[/mm]
[mm] $=\integral_{0}^{H}\integral_{-\pi}^{\pi}\left(\bruch{R*cos^2(\varphi)}{R^2+z^2}+\bruch{R*sin^2(\varphi)}{R^2+z^2}\right)*R*d\varphi*dz$
[/mm]
[mm] $=\integral_{0}^{H}\integral_{-\pi}^{\pi}\bruch{R^2}{R^2+z^2}*\;d\varphi*dz$
[/mm]
[mm] $=2\pi*\integral_{0}^{H}\bruch{1}{1+\left(\bruch{z}{R}\right)^2}*dz$
[/mm]
[mm] $=2\pi*R*arctan\left(\bruch{H}{R}\right)$
[/mm]
Meine Frage: was kann ich mir unter diesem Ergebnis vorstellen?
Die Integrationsoberfläche kann ich mir vorstellen und das Vektorfeld. Aber das Oberflächenintegral?
Vielen Dank im voraus für eine Antwort.
LG, Martinius
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Hallo!
Dieses Oberflächenintegral beschreibt einen Fluß durch die Oberfläche.
Du hast im Ursprung eine Quelle, aus der irgendwas rausströmt. Die Strömungsgeschwindigkeit und -Richtung an jedem Punkt [mm] \vec{r} [/mm] soll dann durch das Vektorfeld beschrieben werden.
Das Integral bestimmt dann das Volumen, das in einer Zeiteinheit durch die Oberfläche fließt.
Es gibt aber noch andere Interpretationen, es kommt immer auf den Kontext an.
So besagt eine der vier Maxwellgleichungen, daß das Integral des E-Feldes über die geschlossene Oberfläche eines Volumens gleich der im Volumen eingeschlossenen Ladung ist. Die Ladung ist die Quelle des E-Feldes.
So, wie dein Feld aussieht, könnte es das Feld eines geladenen, graden Leiters entlang der z-Achse beschreiben, denn dieses zeigt immer vom Leiter weg (das macht dein Vektor) und ist proportional zu 1/r (das zweite r kürzt sich mit der Länge des Vektors, sodaß dieser zu einem Richtungsvektor wird).
Zur zuletzt genannten Argumentation muß jedoch gesagt werden, daß hier die Stirnflächen nicht berücksichtigt wurden, durch die gewöhnlich ja auch ein Feld geht. Wenn man aber nur einen Ausschnitt aus einem recht langen geladenen Leiter betrachtet, dann hast du tatsächlich die Ladung auf einem Stück der Länge H berechnet, denn dann ist das Feld in Richtung z-Achse vernachlässigbar.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:09 Mo 19.05.2008 | | Autor: | Martinius |
Hallo Event Horizon,
vielen Dank für die Antwort.
LG, Martinius
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