Oberflächenintegral < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeige das der Divergenzsatz für folgende Fälle gilt:
(i)
Berechne das Oberflächenintegral für den Fall, dass
F = [mm] \bruch{ \alpha * [b]r[/b] }{ (r^2+a^2)^ { \bruch {3}{2} } }, [/mm] |r|= [mm] \wurzel{[b] r^2 [/b]} [/mm] und r = [x,y,z]
durch die Oberfläche einer Kugel mit Radius R>a und Mittelpunkt O.
(ii)
Berechne das Volumenintegral von [mm] \nabla* [/mm] F über das Innere von derselben Kugel. (Tipp: Substitution: r=a tan [mm] \gamma)
[/mm]
Gilt [mm] Antwort_i=Antwort_ii? [/mm] |
Hallo :)
entschuldigung irgendwas hat mit den formel nicht geklappt, vielleicht versteht ihr das trotzdem, falls nicht einfach fragen :) nur bei den rs die dick sind oder bei denen explizit [b] r /b] steht, sind auch dick gemeint... also |r| ist dünn und [mm] r^2 [/mm] auch :)
(i)
okay, das Oberflächenintegral.
Die Kugel beschreibe ich mit:
[mm] x^2+y^2+z^2=R^2 [/mm] weil Mittelpunkt im Ursprung.
auch denke ich Kugelkoordinaten sind vielleicht sinnvoll:
[mm] x=r*sin\gamma*cos\phi
[/mm]
[mm] y=r*sin\gamma*sin\phi
[/mm]
[mm] z=r*cos\gamma
[/mm]
mit dem F weiß ich nicht sorecht etwas anzufangen multipliziere ich dieses mit r ?
das Oberflächenintegral bestimme ich indem ich ersteinmal den Normalenvektor bilde. Aber in diesem Fall weiß ich nicht wo ich dort anfangen soll. ich seh außer r noch gar keinen Vektor...
Könnt ihr mir einen Ansatz geben? und sind meine Überlegungen soweit richtig?
(ii)
Volumenintegral
als erstes wollte ich div von F bilden, kam aber nicht voran, weil ich nicht wusste ob ich dazu r einsetzen muss und auch [mm] r^2? [/mm] warum habe ich dort ein [mm] \alpha?
[/mm]
nachdem ich die div gebildet habe, setze ich einfach die Kugelkoordinaten inklusive Grenzen ein und integriere oder?
Vielen Dank für eure Hilfe
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Hallo Alaizabel,
> Zeige das der Divergenzsatz für folgende Fälle gilt:
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> (i)
> Berechne das Oberflächenintegral für den Fall, dass
> F = [mm]\bruch{ \alpha * [b]r[/b] }{ (r^2+a^2)^ { \bruch {3}{2} } },[/mm]
> |r|= [mm]\wurzel{[b] r^2 [/b]}[/mm] und r = [x,y,z]
>
> durch die Oberfläche einer Kugel mit Radius R>a und
> Mittelpunkt O.
>
> (ii)
> Berechne das Volumenintegral von [mm]\nabla*[/mm] F über das
> Innere von derselben Kugel. (Tipp: Substitution: r=a tan
> [mm]\gamma)[/mm]
> Gilt [mm]Antwort_i=Antwort_ii?[/mm]
> Hallo :)
>
> entschuldigung irgendwas hat mit den formel nicht geklappt,
> vielleicht versteht ihr das trotzdem, falls nicht einfach
> fragen :) nur bei den rs die dick sind oder bei denen
> explizit r /b] steht, sind auch dick gemeint... also |r|
> ist dünn und [mm]r^2[/mm] auch :)
>
>
> (i)
>
> okay, das Oberflächenintegral.
> Die Kugel beschreibe ich mit:
> [mm]x^2+y^2+z^2=R^2[/mm] weil Mittelpunkt im Ursprung.
> auch denke ich Kugelkoordinaten sind vielleicht sinnvoll:
> [mm]x=r*sin\gamma*cos\phi[/mm]
> [mm]y=r*sin\gamma*sin\phi[/mm]
> [mm]z=r*cos\gamma[/mm]
> mit dem F weiß ich nicht sorecht etwas anzufangen
> multipliziere ich dieses mit r ?
> das Oberflächenintegral bestimme ich indem ich ersteinmal
> den Normalenvektor bilde. Aber in diesem Fall weiß ich
> nicht wo ich dort anfangen soll. ich seh außer r noch gar
> keinen Vektor...
> Könnt ihr mir einen Ansatz geben? und sind meine
> Überlegungen soweit richtig?
Die Überlegungen sind soweit richtig.
Für die Berechnung des Oberflächenintegrals benötigst Du
den äußeren Normalenvektor der Fläche, hier also der Kugel.
>
> (ii)
> Volumenintegral
> als erstes wollte ich div von F bilden, kam aber nicht
> voran, weil ich nicht wusste ob ich dazu r einsetzen muss
> und auch [mm]r^2?[/mm] warum habe ich dort ein [mm]\alpha?[/mm]
Da [mm]r\left(x,y,z\right)=\pmat{x \\ y \\ z}[/mm] ist,
gilt [mm]r^{2}=r \* r = x^{2}+y^{2}+z^{2}[/mm]
> nachdem ich die div gebildet habe, setze ich einfach die
> Kugelkoordinaten inklusive Grenzen ein und integriere
> oder?
Wenn Du hier keine Parametertransformation, wie unter a),
hast, dann kannst Du das so machen.
Hast Du allerdings eine Parametertransformation,
dann transformiert sich auch das Volumenelement.
Demnach kommt zur div f noch die Funktionaldeterminante
dieser Parametertransformation hinzu.
>
> Vielen Dank für eure Hilfe
>
>
Gruss
MathePower
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zu (i)
ich habe jetzt den Normalenvektor gebildet.
ich habe die Jacobimatrix der Kugel gebildet und dann das Kreuzprodukt der Ableitung nach [mm] \phi [/mm] mit der ableitung nach [mm] \gamma [/mm] berechnet und komme auf:
[mm] \begin{pmatrix} r^2 sin\gamma^2 cos\phi \\ r^2 sin\gamma^2 sin\phi \\ r^2 sin\gamma cos\gamma \end{pmatrix}
[/mm]
das ist nun mein normalenvektor
habe ich richtig gerechnet?
was wäre nun mein nächster schritt? ich bin mit diesem F ein wenig überfordert...
ich wollte nun eigentlich das skalarprodukt bilden aber ich habe ja nur einen vektor... was mache ich mit F?
vielen dank für eure Hilfe :)
zu (ii)
auch hier bin ich mit F überfordert... setze ich r und [mm] r^2 [/mm] ein komme ich auf:
F= [mm] \bruch{\alpha*[x,y,z]}{(x^2+y^2+z^2)+a^{\bruch{3}{2}}}
[/mm]
aber das kann ich immernoch nicht diverenzieren :( wo liegt mein fehler?
danke für eure hilfe und ein schönes wochenende :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:31 Sa 17.10.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Ein Tipp zu Anfang: fette Symbole in mathematischen Formlen bekommst du mt \mathbf{r}: [mm] $\mathbf{r}$.
[/mm]
> zu (i)
>
> ich habe jetzt den Normalenvektor gebildet.
> ich habe die Jacobimatrix der Kugel gebildet und dann das
> Kreuzprodukt der Ableitung nach [mm]\phi[/mm] mit der ableitung nach
> [mm]\gamma[/mm] berechnet und komme auf:
> [mm]\begin{pmatrix} r^2 sin\gamma^2 cos\phi \\ r^2 sin\gamma^2 sin\phi \\ r^2 sin\gamma cos\gamma \end{pmatrix}[/mm]
>
> das ist nun mein normalenvektor
>
> habe ich richtig gerechnet?
Du musst den Vektor noch durch seine Länge teilen, damit du einen Einheitsvektor hast. Tipp: da in allen drei Komponenten der Faktor [mm] $r^2\sin\gamma$ [/mm] vorkommt, darfst du zuerst alle drei durch diesen Faktor dividieren und dann weiterrechnen. Du wirst feststellen, dass
[mm] \vektor {\sin\gamma\cos\phi \\ \sin\gamma\sin\phi \\\cos\gamma} [/mm]
der gesuchte Einheitsvektor ist. Das ist der Einheitsvektor in Richtung von [mm] $\mathbf{r}$. [/mm] Wenn du dir eine Kugel um den Nullpunkt vorstellst, dann muss ja der Normalenvektor auf einem Punkt der Kugeloberfläche gerade die Richtung des Vektors vom Nullpunkt zu diesen Punkt haben.
Daher kannst du deinen Normaleneinheitsvektor auch als [mm] $\mathbf{n}=\bruch{\mathbf{r}}{|r|}$ [/mm] schreiben.
> was wäre nun mein nächster schritt? ich bin mit diesem F
> ein wenig überfordert...
> ich wollte nun eigentlich das skalarprodukt bilden aber
> ich habe ja nur einen vektor... was mache ich mit F?
[mm] $\mathbf{F} [/mm] = [mm] \bruch{\alpha \cdot{} \mathbf{r} }{ (r^2+a^2)^ { \bruch {3}{2} } } [/mm] $ ist doch auch ein Vektor. Du multiplizierst also [mm] \mathbf{F} [/mm] mit dem Normalenvektor
[mm] \mathbf{F}*\mathbf{n}=\mathbf{F} * \bruch{\mathbf{r}}{|r|} = \bruch{\alpha \cdot{} \mathbf{r}*\mathbf{r}}{|r|* (r^2+a^2)^ { \bruch {3}{2} } } = \bruch{\alpha |r|}{(r^2+a^2)^ { \bruch {3}{2} } }[/mm]
und integrierst das über die Kugeloberfläche vom Radius R.
Dabei helfen dir zwei Beobachtungen:
1. [mm] \mathbf{F}*\mathbf{n} [/mm] hängt nur von $|r|$ ab, nicht von den Winkeln [mm] $\gamma$ [/mm] und [mm] $\phi$.
[/mm]
2. Daher ist [mm] $\mathbf{F}*\mathbf{n}$ [/mm] auf einer Kugeloberfläche konstant!
Also ist das Oberflächenintegral gerade
[mm] \iint \mathbf{F}*\mathbf{n} \, dA = \mathbf{F}*\mathbf{n}\Bigr|_{|r|=R} * \iint dA = \mathbf{F}*\mathbf{n}\Bigr|_{|r|=R} *4\pi R^2 = \bruch{4\pi\alpha R^3}{(R^2+a^2)^ { \bruch {3}{2} } }[/mm].
> zu (ii)
> auch hier bin ich mit F überfordert... setze ich r und
> [mm]r^2[/mm] ein komme ich auf:
> F= [mm]\bruch{\alpha*[x,y,z]}{(x^2+y^2+z^2)+a^{\bruch{3}{2}}}[/mm]
> aber das kann ich immernoch nicht diverenzieren :( wo
> liegt mein fehler?
Für die Divergenz differenzierst du die x-Komponente von F nach x, die y-Komponente nach y, die z-Komponente nach z und addierst Alles auf:
[mm]\mathbf{\nabla}*\mathbf{F} = \bruch{\partial}{\partial x} \bruch{\alpha*x}{(x^2+y^2+z^2+a^2)^{\bruch{3}{2}}} + \bruch{\partial}{\partial y} \bruch{\alpha*y}{(x^2+y^2+z^2+a^2)^{\bruch{3}{2}}} +\bruch{\partial}{\partial z} \bruch{\alpha*z}{(x^2+y^2+z^2+a^2)^{\bruch{3}{2}}} [/mm]
(Noch'n Tipp: Die drei Komponenten von F sehen sehr ähnlich aus. Deswegen musst du nur eine der drei Ableitungen wirklich ausrechnen, die anderen ergeben sich daraus durch Permutation von x,y,z.)
Das Ergebnis integrierst du über die Vollkugel vom Radius R. Und wenn der Satz von Gauß stimmt (und du richtig gerechnet hast), kommt dasselbe heraus wie bei (i), 
Viele Grüße
Rainer
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Gigantisch!!!! :) vielen, vielen Dank für Deine tolle Antwort, das hat mir wirklich richtig viel geholfen :) :)
ich habe jetzt die divergenz gebildet
[mm] \mathbf{\nabla}\cdot{}\mathbf{F} [/mm] =
[mm] \bruch{-\alpha*(2x^2-y^2-z^2-a^2)}{(x^2+y^2+z^2+a^2)^{\bruch{5}{2}}} [/mm] + [mm] \bruch{-\alpha*(2y^2-x^2-z^2-a^2)}{(x^2+y^2+z^2+a^2)^{\bruch{5}{2}}} [/mm] + [mm] \bruch{-\alpha*(2z^2-x^2-y^2-a^2)}{(x^2+y^2+z^2+a^2)^{\bruch{5}{2}}} [/mm] =
[mm] \bruch{3*a^2*\alpha}{(x^2+y^2+z^2+a^2)^{\bruch{5}{2}}}
[/mm]
nun habe ich [mm] x^2+y^2+z^2 [/mm] durch [mm] r^2 [/mm] ersetzt und das ganze integriert.
da hab ich wohl aber noch nicht völlig verstanden wie es gehen soll :(
ich habe erstmal einfach nach r intergriert und bin hieraus gekommen:
[mm] \bruch{2*\alpha*r*^3+3*a^2*\alpha*r}{a^2*(r^2+a^2)^(\bruch{3}{2})}
[/mm]
das sieht deinem aber noch nicht so ähnlich :D muss ich auch über [mm] \phi 0<\phi<\pi [/mm] und [mm] \gamma 0<\gamma<2\pi [/mm] integrieren? dann hätte ich zumindest wieder ein [mm] \pi...
[/mm]
ich hab das mal gemacht komme aber wieder auf.... najaaaa...
sieh selbst:
[mm] \bruch{4*\alpha*\pi^2*r^3+6*a^2*\alpha*\pi^2*r}{a^2*(r^2+a^2)^{\bruch{3}{2}}}
[/mm]
danke für deine Hilfe :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:33 Sa 17.10.2009 | | Autor: | Alaizabel |
TOP!!!!! DANKE! :)
die lösungen sind tatsächlich identisch :)
Liebe Grüße und ein riesiges DANKE!
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