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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:51 Sa 14.05.2011 | | Autor: | katrin10 |
| Aufgabe | | Berechne die Fläche, die aus der Rotation der Parabel [mm] z=x^2 [/mm] um die z-Achse entsteht mit -a<x<a. Verwende zur Parametrisierung der Fläche ein geeignetes Koordinatensystem. |
Hallo,
ich habe Polarkoordinaten verwendet und den Vektor [mm] \overrightarrow{r}=\vektor{r cos\phi \\ r sin\phi \\ r^2} [/mm] erhalten. Dann habe ich die Basisvektoren meines Koordinatensystems berechnet:
[mm] \bruch{\partial \overrightarrow{r}}{\partial r}=\vektor{cos\phi \\ sin\phi \\ 2r} [/mm] und [mm] \bruch{\partial \overrightarrow{r}}{\partial \phi}=\vektor{-r sin\phi \\ r cos\phi \\ 0}
[/mm]
Dann erhalte ich: [mm] \bruch{\partial \overrightarrow{r}}{\partial r} \times \bruch{\partial \overrightarrow{r}}{\partial \phi}=\vektor{-2*r^2 cos\phi \\ -2*r^2 sin\phi \\ r} [/mm] und insgesamt dann:
[mm] \integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{a}{\sqrt{4*r^4+r^2} dr}{d\phi}
[/mm]
Allerdings erhalte ich dann ein falsches Ergebnis.
Über einen Tipp wäre ich sehr dankbar.
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Hallo katrin10,
> Berechne die Fläche, die aus der Rotation der Parabel
> [mm]z=x^2[/mm] um die z-Achse entsteht mit -a<x<a. Verwende zur
> Parametrisierung der Fläche ein geeignetes
> Koordinatensystem.
> Hallo,
>
> ich habe Polarkoordinaten verwendet und den Vektor
> [mm]\overrightarrow{r}=\vektor{r cos\phi \\ r sin\phi \\ r^2}[/mm]
> erhalten. Dann habe ich die Basisvektoren meines
> Koordinatensystems berechnet:
> [mm]\bruch{\partial \overrightarrow{r}}{\partial r}=\vektor{cos\phi \\ sin\phi \\ 2r}[/mm]
> und [mm]\bruch{\partial \overrightarrow{r}}{\partial \phi}=\vektor{-r sin\phi \\ r cos\phi \\ 0}[/mm]
>
> Dann erhalte ich: [mm]\bruch{\partial \overrightarrow{r}}{\partial r} \times \bruch{\partial \overrightarrow{r}}{\partial \phi}=\vektor{-2*r^2 cos\phi \\ -2*r^2 sin\phi \\ r}[/mm]
> und insgesamt dann:
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{a}{\sqrt{4*r^4+r^2} dr}{d\phi}[/mm]
>
> Allerdings erhalte ich dann ein falsches Ergebnis.
> Über einen Tipp wäre ich sehr dankbar.
Zur Fläche gehört auch die Deckfläche.
Das ist die Fläche des oberen Kreises.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:30 So 15.05.2011 | | Autor: | katrin10 |
Hallo,
vielen Dank für die schnelle Antwort.
Die Deckelfläche habe ich nun berechnet. Ist die Formel $ [mm] \integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{a}{\sqrt{4\cdot{}r^4+r^2} dr}{d\phi} [/mm] $ für die Mantelfläche so richtig? Ich bin mir nämlich nicht sicher, wie ich dieses Integral berechnen könnte.
Katrin
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Hallo!
Ich wäre mir nicht sicher, ob der Deckel mit berechnet werden soll.Davon steht da nämlich nix, und es ist eher unüblich, bei solchen Aufgaben davon auszugehen.
Was dein Integral angeht: Dort hast du tatsächlich einen Fehler. Dein Koordinatensystem ist ein ganz normales Zylinderkoordinatensystem (polar ist eher die 2D-Variante), und da ist dieser zusätzliche Faktor einfach nur r. Die Jacobi-Matrix bezieht sich immer auf das koordinatensystem, aber nicht auf die Parametrisierung deines Objekts!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:22 So 15.05.2011 | | Autor: | katrin10 |
Hallo,
müsste das Integral dann $ [mm] \integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{a}{\sqrt{4\cdot{}r^4+r^2} *r dr}{d\phi} [/mm] $ sein?
Katrin
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> Hallo,
>
> müsste das Integral dann
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{a}{\sqrt{4\cdot{}r^4+r^2} *r dr}{d\phi}[/mm]
> sein?
Nein. Dieser "zusätzliche Faktor" r gehört da nicht hin.
Das Flächenelement hast du in seiner korrekten Größe
ja schon mittels Vektorprodukt ausgedrückt.
LG Al-Chw.
> Katrin
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> Hallo,
>
> vielen Dank für die schnelle Antwort.
>
> Die Deckelfläche habe ich nun berechnet. Ist die Formel
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{a}{\sqrt{4\cdot{}r^4+r^2} dr}{d\phi}[/mm]
> für die Mantelfläche so richtig? Ich bin mir nämlich
> nicht sicher, wie ich dieses Integral berechnen könnte.
>
> Katrin
Hallo Katrin,
dein Integral für die Mantelfläche ist richtig. Für die
Integration:
Schreibe [mm] \sqrt{4\cdot{}r^4+r^2}=r*\sqrt{4\,r^2+1} [/mm] und substituiere [mm] u:=4\,r^2+1
[/mm]
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:39 So 15.05.2011 | | Autor: | katrin10 |
Vielen Dank für die Hilfe. Ich habe es jetzt verstanden.
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