Oberflächenintegral < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:07 Mi 13.07.2011 | | Autor: | zocca21 |
| Aufgabe | Es sei gegeben K: [mm] 4x^2 [/mm] + [mm] 4y^2 [/mm] + [mm] z^2 [/mm] = 1, y > 0
und das Vektorfeld g(x,y,z) = [mm] (x,x,z^3).
[/mm]
Bestimmen sie das Oberflächenintegral [mm] \integral_K [/mm] g *n do |
Ich dachte nun ich geh hier mal über Gauß vor
mit:
[mm] \integral \integral \integral [/mm] div(g) dx dy dz
div(g) = 1 + [mm] 3z^2
[/mm]
Nun habe ich ja den Rand von einem Ellipsoid gegeben welches aber geschnitten wird(y > 0).
ich habe es mal umgeschrieben in:
[mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + [mm] \bruch{z}{4} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] also ist der Radius [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Nun dachte ich ich kann den Körper parametrisieren.
x = cos(u) * sin(t)
y = sin(u) * sin(t)
z= 2 * cos(u)
oder muss es heißen:
x = r* cos(u) * sin(t)
y = r* sin(u) * sin(t)
z= r* 2 * cos(u)
?
Ist der Ansatz richtig gewählt? Kann ich hier das Oberflächenintegral auch mit Gauß berechnen. Ich dachte bisher immer es muss ein Volumenintegral sein um über das Flussintegral berechnen zu können.
Vielen Dank für die Hilfe!
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> Es sei gegeben K: [mm]4x^2[/mm] + [mm]4y^2[/mm] + [mm]z^2[/mm] = 1, y > 0
>
> und das Vektorfeld g(x,y,z) = [mm](x,x,z^3).[/mm]
>
> Bestimmen sie das Oberflächenintegral [mm]\integral_K[/mm] g *n do
> Ich dachte nun ich geh hier mal über Gauß vor
> mit:
> [mm]\integral \integral \integral[/mm] div(g) dx dy dz
>
> div(g) = 1 + [mm]3z^2[/mm]
>
> Nun habe ich ja den Rand von einem Ellipsoid gegeben
> welches aber geschnitten wird(y > 0).
>
> ich habe es mal umgeschrieben in:
>
> [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] + [mm]\bruch{z}{4}[/mm] = [mm]\bruch{1}{4}[/mm] also ist der Radius
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Nun dachte ich ich kann den Körper parametrisieren.
>
> x = cos(u) * sin(t)
> y = sin(u) * sin(t)
> z= 2 * cos(u)
Das wäre eine Parametrisierung einer Ellipsoid-
fläche (allerdings mit doppelt so großen Aus-
maßen wie bei K).
> oder muss es heißen:
>
> x = r* cos(u) * sin(t)
> y = r* sin(u) * sin(t)
> z= r* 2 * cos(u)
Dies wäre eine (etwas ungewohnte) Parametri-
sierung für einen Ellipsoidkörper.
> Ist der Ansatz richtig gewählt? Kann ich hier das
> Oberflächenintegral auch mit Gauß berechnen. Ich dachte
> bisher immer es muss ein Volumenintegral sein um über das
> Flussintegral berechnen zu können.
>
> Vielen Dank für die Hilfe!
Hallo zocca21,
ich denke, dass es sich gar nicht lohnt, andere Koordi-
naten als die rechtwinkligen einzuführen. Benütze den
Satz von Gauss:
[mm] $\iiint\limits_{B}div(g)\,dV\ [/mm] =\ [mm] \iint\limits_{\partial B}g*n\ [/mm] dO\ =\ [mm] \iint\limits_{K}g*n\ [/mm] dO\ +\ [mm] \iint\limits_{E}g*n\ [/mm] dO$
Dabei ist E die ellipsenförmige, aber ebene Scheibe,
welche den Bereich D zusammen mit dem Flächen-
stück K berandet. E liegt in der x-z-Ebene.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:36 Mi 13.07.2011 | | Autor: | zocca21 |
Ersteinmal Vielen Dank!
Also ich soll mir den Körper aufteilen so zu sagen und dann berechnen.
über
[mm] \iint\limits_{K}g\cdot{}n\ [/mm] dO + [mm] \iint\limits_{E}g\cdot{}n\ [/mm] dO
also ohne Divergenz.
Habs noch nicht ganz verstanden.
Danke sehr!
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> Ersteinmal Vielen Dank!
>
> Also ich soll mir den Körper aufteilen so zu sagen
Nein, der Körper wird nicht aufgeteilt, nur seine
Oberfläche wird in K und E aufgeteilt.
> und dann berechnen.
> über
> [mm]\iint\limits_{K}g\cdot{}n\ dO\ +\ \iint\limits_{E}g\cdot{}n\ dO [/mm]
>
> also ohne Divergenz.
Doch, das Divergenzintegral brauchen wir, aber es ist
leicht zu berechnen.
> Habs noch nicht ganz verstanden.
$ [mm] \iiint\limits_{B}div(g)\,dV\ [/mm] =\ [mm] \iint\limits_{\partial B}g\cdot{}n\ [/mm] dO\ =\ [mm] \iint\limits_{K}g\cdot{}n\ [/mm] dO\ +\ [mm] \iint\limits_{E}g\cdot{}n\ [/mm] dO $
Guten Abend !
das Integral auf der linken Seite (Divergenz über den
Körper B, also das Halbellipsoid integriert) lässt sich
recht leicht berechnen.
Ebenso ist es kein Problem, das Flächenintegral über
die ebene Begrenzungsfläche E zu bestimmen, denn
dort ist der Normaleneinheitsvektor überall gleich und
dazu sehr einfach.
Die obige Gleichung zeigt dann, wie man aus den zwei
leicht zu ermittelnden Integralen den Wert des eigentlich
gesuchten Integrals über K erhält, das bei direkter
Berechnung doch etwas aufwändig wäre.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:46 Do 14.07.2011 | | Autor: | zocca21 |
Vielen Dank!
Und wie lässt sich das Divergenzintegral auf der linken Seite leicht berechnen?
Ich wäre da nun mit meiner ungewohnten Ellipsoidparametrisierung vorgegangen.
Hätte diese in die berechnete Divergenz übertragen und die Jacobi Determinante berechnet(die wohl nicht so schön wird).
Dann die Grenzen des halben Ellipsoid bestimmt und integriert.
Gibt es einen einfacheren Weg das Divergenzintegral zu berechnen?
Viele Grüße
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Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Vielen Dank!
>
> Und wie lässt sich das Divergenzintegral auf der linken
> Seite leicht berechnen?
Schon für jedes einzelne Paar (x,y) ist
$\integral_{z=-w}^{w}div(g) dz\ =\ \integral_{z=-w}^{w}(1+3\,z^2) dz\ =\ \left(z+z^3)\right|_{-w}^{+w}\ =\ 0$ ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
$\left(\ w=\sqrt{1-4\,x^2-4\,y^2}\,\right)$
Nach dieser Betrachtung erübrigt sich die weitere Rechnung
am Dreifachintegral; es muss insgesamt verschwinden.
Edit: Sorry, das war falsch ...
Richtig wäre:
$\integral_{z=-w}^{w}div(g) dz\ =\ \integral_{z=-w}^{w}(1+3\,z^2) dz\ =\ \left(z+z^3)\right|_{-w}^{+w}\ =\ 2\,w+2\,w^3$
$\ =\ 4*\sqrt{1-4\,x^2-4\,y^2}*(1-2\,x^2-2\,y^2)$
LG Al-Chw.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:24 Di 19.07.2011 | | Autor: | zocca21 |
Ah, vielen Dank!
Damit weiß ich auch, dass mein errechnetes Ergebnis falsch ist.
Ich war nun folgendermaßen vorgegangen:
Meine Ellipsoidparametrisierung
[mm] \pmat{ r* sin\theta\cos\varphi\ \\ r* sin\theta\sin\varphi\ \\ 2 r cos(\theta)}
[/mm]
div(g) = 1 + [mm] 3z^2
[/mm]
Jacobi Determinante = 2 [mm] r^2 sin(\theta)
[/mm]
mit
[mm] \theta\in[0;\pi]\;;\;\varphi\in[0;\pi] r\in[0;\bruch{1}{2}]
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{\pi} \integral_{0}^{\pi} \integral_{0}^{(1/2)} [/mm] (1+12 [mm] r^2 cos(\theta)^2) [/mm] * 2 [mm] r^2 sin(\theta)) [/mm] dr [mm] d\varphi d\theta
[/mm]
Hab ich mich verechnet oder ist der Ansatz schon falsch?
Vielen vielen dank!
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> Ah, vielen Dank!
>
> Damit weiß ich auch, dass mein errechnetes Ergebnis falsch
> ist.
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> Ich war nun folgendermaßen vorgegangen:
>
> Meine Ellipsoidparametrisierung
> [mm]\pmat{ r* sin\theta\cos\varphi\ \\ r* sin\theta\sin\varphi\ \\ 2 r cos(\theta)}[/mm]
>
> div(g) = 1 + [mm]3z^2[/mm]
>
> Jacobi Determinante = 2 [mm]r^2 sin(\theta)[/mm]
>
> mit
> [mm]\theta\in[0;\pi]\;;\;\varphi\in[0;\pi] r\in[0;\bruch{1}{2}][/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{\pi} \integral_{0}^{\pi} \integral_{0}^{(1/2)}[/mm]
> (1+12 [mm]r^2 cos(\theta)^2)[/mm] * 2 [mm]r^2 sin(\theta))[/mm] dr [mm]d\varphi d\theta[/mm]
>
> Hab ich mich verechnet oder ist der Ansatz schon falsch?
>
> Vielen vielen dank!
Hallo,
ich wollte dir doch nahe bringen, dass sich dank des
Satzes von Green und weil das Integral der Divergenz
über das Innere des Körpers offensichtlich Null ergeben
muss, das Flächenintegral über die (Halb-) Ellipsoid-
fläche gar nicht berechnet werden muss, weil man
stattdessen das sehr einfache Flächenintegral über
die ebene Begrenzungsfläche des Halbellipsoids
berechnen kann. "Es geht gleichviel raus wie auf der
anderen Seite reinkommt".
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:14 Mi 20.07.2011 | | Autor: | zocca21 |
Ja, ich wollte zur Übung es durchrechnen und wusste dadurch auch, dass das Ergebnis 0 sein muss. Was dann bei mir nicht der Fall war.
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(hier stand Schrott ...)
siehe da !
sorry
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Fr 22.07.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hossa :)
Die vorgegebene Oberfläche
[mm] $F:\quad 4x^2+4y^2+z^2=1\quad;\quad [/mm] y>0$
ist ein halber Ellipsoid. Zur Parametrisierung in kartesischen Koordinaten, formst du die Gleichung am besten nach y um. Da y>0 sein muss, bietet sich das Wurzelziehen an:
[mm] $y=\sqrt{\frac{1}{4}-x^2-\frac{z^2}{4}}\ge0$
[/mm]
Damit die Wurzel definiert ist, muss ihr Argument größer gleich 0 sein:
[mm] $\frac{1}{4}-x^2-\frac{z^2}{4}\ge0\quad\Longrightarrow\quad z^2\le1-4x^2\quad\Longrightarrow\quad z\in\left[-\sqrt{1-4x^2}\;;\;\sqrt{1-4x^2}\right]$
[/mm]
Für y=0 und z=0 ergibt sich [mm] $x^2=1/4$, [/mm] so dass gilt: [mm] $x\in\left[-\frac{1}{2}\;;\;\frac{1}{2}\right]$
[/mm]
Die Parametrisierung der Oberfläche in kartesischen Koordinaten lautet daher:
[mm] $F:\quad\vec r(x,z)=\left(\begin{array}{c}x\\ \sqrt{\frac{1}{4}-x^2-\frac{z^2}{4}}\\ z\end{array}\right)\quad;\quad x\in\left[-\frac{1}{2}\;;\;\frac{1}{2}\right]\,;\,z\in\left[-\sqrt{1-4x^2}\;;\;\sqrt{1-4x^2}\right]$
[/mm]
Die Wurzel könnte bei der Berechnung des Flusses lästig werden. Daher solltest du vielleicht Kugelkoordinaten wählen:
[mm] $\vec r=r\left(\begin{array}{c}\sin\theta\cos\varphi\\ \sin\theta\sin\varphi\\ \cos\theta\end{array}\right)\quad;\quad \theta\in[0;\pi]\;;\;\varphi\in[0;\pi]$
[/mm]
Eigentlich würde [mm] $\varphi\in[0;2\pi]$ [/mm] gelten. Da aber y>0 sein soll, darf der Winkel nur den halben möglichen Bereich durchlaufen. Den Wertebreich für r erhält man aus der Definitionsgleichung der Oberfläche:
[mm] $1=4x^2+4y^2+z^2=4r^2\left(\sin\theta\cos\varphi\right)^2+4r^2\left(\sin\theta\sin\varphi\right)^2+r^2\cos^2\theta=4r^2\sin^2\theta+r^2\cos^2\theta=3r^2\sin^2\theta+r^2\quad\Longrightarrow\quad r=\frac{1}{\sqrt{1+3\sin^2\theta}}$
[/mm]
Die Parametrisierung der Oberfläche in Kugelkoordinaten wäre also:
[mm] $F:\quad\vec r(\theta,\varphi)=\frac{1}{\sqrt{1+3\sin^2\theta}}\left(\begin{array}{c}\sin\theta\cos\varphi\\ \sin\theta\sin\varphi\\ \cos\theta\end{array}\right)\quad;\quad \theta\in[0;\pi]\;;\;\varphi\in[0;\pi]$
[/mm]
Bei der Berechnung des Flusses wäre ich mit dem Gauß'schen Satz sehr vorsichtig. Normalerweise gilt dieser nämlich nur, wenn die Oberfläche geschlossen ist. Durch die Forderung y>0 handelt es sich hier aber um einen halben, offenen Ellipsoiden.
Viel Spaß beim Berechnen wünscht
Hasenfuss
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:09 Do 14.07.2011 | | Autor: | zocca21 |
Wow, vielen vielen Dank, euch beiden!
heißt ich kann das nun so berechnen?
[mm] \integral_F [/mm] = g * n do
Grenzen sind klar.
Für mein Vektorfeld g setze ich die Parametrisierung
und n * do erhalte ich durch [mm] \bruch{F_\theta X F_\phi} {|F_\theta X F_\phi|} [/mm] * [mm] {|F_\theta X F_\phi|} [/mm]
Außerdem müsste noch die Jacobi Determinante berechnet werden.
Meine zweite Idee wäre:
Mit dem Divergenzintegral.
D.h. die Parametrisierung von oben.
In div(g) = 1 + [mm] 3z^2 [/mm] eingesetzt und über die Grenzen [mm] \theta\in[0;\pi]\;;\;\varphi\in[0;\pi] [/mm] integriert. Auch hier müsste ich noch die Jacobi-Determinante bestimmen.
Dann hätte wäre doch die Aufgabe einmal direkt gelöst und einmal über die Divergenz?
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Hossa :)
Ja, so wie du vorgeschlagen hast, wird es klappen. Wenn du mittels des Gauß'schen Satzes rechnen möchtest, wäre es vielleicht gut, die Divergenz des Vektorfeldes v zunächst in kartesichen Koordinaten zu bestimmen, bevor du die Koordinatentransformation vornimmst. Der Nabla-Operator in "krummlinigen" Koordinaten ist nämlich manchmal auch etwas "fummelig"...
Viele Grüße
Hasenfuss
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