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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:39 Sa 24.12.2011 | | Autor: | zoj |
| Aufgabe | Zu festen R>r>0 ist durch
f: [mm] [0,2\pi] \times [0,2\pi] [/mm] -> [mm] \IR^{3}, \vektor{\phi \\ \theta } [/mm] -> [mm] \vektor{(R+rcos \theta)cos \phi \\ R+rcos \theta)sin \phi \\ r sin \theta}
[/mm]
eine Parametrisierung der Oberfläche des Torus mit Hauptradius r gegeben.
1.Bestimmen Sie den Flächeninhalt der Oberfläche des Turus.
2.Den Fluss des Vektorfeldes v: [mm] \IR^{3} [/mm] -> [mm] \IR^{3}, [/mm] v(x)=x durch die Oberfläche. |
In der Musterlösung wird das skalare Oberflächenintegral verwendet.
Also wird in der Musterlösung angenommen, dass es sich um ein Skalarfeld handelt.
Aber in der Angabe steht doch: f: [mm] [0,2\pi] \times [0,2\pi] [/mm] -> [mm] \IR^{3} [/mm] sagt mir das etwa nicht, dass es ein Vektorfeld ist?
Denn bei einem Vektorfeld muss man ja das Vektorielle-Oberflächenintegral verwenden.
Gibt es da einen Trick oder ein Test, damit man weiß, welches Oberflächenintegral man nehmen muss?
P.S. Frohe Weihnachten!!!
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Guten (heiligen) Abend !
> Zu festen R>r>0 ist durch
> f: [mm][0,2\pi] \times [0,2\pi][/mm] -> [mm]\IR^{3}, \vektor{\phi \\ \theta }[/mm]
> -> [mm]\vektor{(R+rcos \theta)cos \phi \\ (R+rcos \theta)sin \phi \\ r sin \theta}[/mm]
>
> eine Parametrisierung der Oberfläche des Torus mit
> Hauptradius r gegeben.
> 1.Bestimmen Sie den Flächeninhalt der Oberfläche des
> Turus.
> 2.Den Fluss des Vektorfeldes v: [mm]\IR^{3}[/mm] -> [mm]\IR^{3},[/mm] v(x)=x
> durch die Oberfläche.
> In der Musterlösung wird das skalare Oberflächenintegral
> verwendet.
> Also wird in der Musterlösung angenommen, dass es sich um
> ein Skalarfeld handelt.
>
> Aber in der Angabe steht doch: f: [mm][0,2\pi] \times [0,2\pi]\ \ ->\ \IR^{3}[/mm]
> sagt mir das etwa nicht, dass es ein Vektorfeld ist?
Die Funktion f beschreibt doch nur die Torusfläche,
über welche integriert werden soll, und nicht ein
zu integrierendes Vektorfeld !
> Denn bei einem Vektorfeld muss man ja das
> vektorielle Oberflächenintegral verwenden.
>
> Gibt es da einen Trick oder einen Test, damit man weiß,
> welches Oberflächenintegral man nehmen muss?
In der ersten Teilaufgabe ist das skalare, ja konstante
Feld e mit [mm] e(\vec{x})=1 [/mm] über die Torusfläche zu integrieren.
In der zweiten Teilaufgabe ist der Integrand s gleich
dem skalaren Produkt [mm] s(\vec{x})=\vec{x}*\vec{n}(\vec{x}) [/mm] , wobei [mm] \vec{n}(\vec{x})
[/mm]
der Normaleneinheitsvektor der Torusfläche im Punkt
[mm] \vec{x} [/mm] ist.
> P.S. Frohe Weihnachten!!!
Wünsche ich dir auch !
Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:07 So 25.12.2011 | | Autor: | zoj |
Heißt es, dass wenn ich über Oberflächen integriere ich immer das skalare Oberflächenintegrel verwenden muss?
Wie unterscheidet man zwischen Skalar- und Vektorfeldern?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:12 So 25.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du musst doch unterscheiden zwischen der Oberfläche, also dem Flächeninhalt deiner fäche ind dem flus durch de fläche. natürlich kann man die Obefläche auch so betrachten, als ob man die konstante 1 über die Oberfläche integriert, aber was du tust ist einfach oberflächenelemente addieren.
Beim Berechnen dess flusses eines Vektorfeldes dagegen, summierst du über die senkrecht adurchtretenden komponenten eines Vektorfeldes.
Wenn du ein Sieb in einen fluss oder in den Regen stellst kannst du einerseits die Oberfläche des bretts oder siebs berechnen, andererseits, etwas ganz anderes, nämlich wieviel wasser pro zeit da durchfließt. die Oberfläche bleibt gleich, egal in welcher Richtung zum fluus oder regen dein ding steht, der fluss durch das Ding hängt von der relativen Richtung ab.
Vektorfelder sind IMMER durch Vektoren festgelegt, die natürlich auch mal nur eine Richtung haben können, sie sind aber nie Skalare.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:27 So 25.12.2011 | | Autor: | zoj |
Danke für die Antwort!
Also wenn ich eine Oberfläche berechne bekomme ich eine Zahl, also ein ein Skalar. Deswegen muss ich die Oberflächenformel für Skalarfelder verwenden richtig?
Noch eine Frage zu der Aufgabe b)
Den Fluss des Vektorfeldes v: $ [mm] \IR^{3} [/mm] $ -> $ [mm] \IR^{3}, [/mm] $ v(x)=x durch die Oberfläche bestimmen.
Hier verwende ich die Oberflächenformel für Vektorfelder:
[mm] \int \int V(f(u,\phi)) f_{u} \times f_{\phi}
[/mm]
Das Kreuzprodukt kann ich berechnen.
In [mm] V(f(u,\phi)) [/mm] muss ich das Vektorfeld einsetzen. Was mache ich mit v(x)=x?
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Hallo zoj,
> Danke für die Antwort!
>
> Also wenn ich eine Oberfläche berechne bekomme ich eine
> Zahl, also ein ein Skalar. Deswegen muss ich die
> Oberflächenformel für Skalarfelder verwenden richtig?
>
> Noch eine Frage zu der Aufgabe b)
> Den Fluss des Vektorfeldes v: [mm]\IR^{3}[/mm] -> [mm]\IR^{3},[/mm] v(x)=x
> durch die Oberfläche bestimmen.
>
> Hier verwende ich die Oberflächenformel für
> Vektorfelder:
> [mm]\int \int V(f(u,\phi)) f_{u} \times f_{\phi}[/mm]
> Das
> Kreuzprodukt kann ich berechnen.
> In [mm]V(f(u,\phi))[/mm] muss ich das Vektorfeld einsetzen. Was
> mache ich mit v(x)=x?
>
Setze für x die Parametrisierung [mm]f(u,\phi)[/mm] ein.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:29 Mo 26.12.2011 | | Autor: | zoj |
> Setze für x die Parametrisierung [mm]f(u,\phi)[/mm] ein.
>
>
> Gruss
> MathePower
Ja, jetzt stimmt die Lösung!
Aber woher weiß man, dass man für x [mm] f(u,\phi) [/mm] einsetzen muss?
Denn das x taucht davor überhaupt nicht auf.
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Hallo zoj,
> > Setze für x die Parametrisierung [mm]f(u,\phi)[/mm] ein.
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
> Ja, jetzt stimmt die Lösung!
>
> Aber woher weiß man, dass man für x [mm]f(u,\phi)[/mm] einsetzen
> muss?
Das weiß man daher, daß das Vektorfeld eine Abbildung von [mm]\IR^{3}[/mm] nach [mm]\IR^{3}[/mm] ist. Damit ist "x" ebenfalls aus [mm]\IR^{3}[/mm]
> Denn das x taucht davor überhaupt nicht auf.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:09 Mo 26.12.2011 | | Autor: | zoj |
Verstanden.
Danke für die Antwort!
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