Obersumme/Untersumme Grenzwert-Frage < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:03 Mi 21.07.2004 | | Autor: | Max80 |
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
Hallo @all.
Ich habe auf einer Seite zur Integralrechnung folgende Gleichung gefunden. Ich wollte wissen, wie das ganze halt hergeleitet wird. Ich habe das nun so verstanden, das man die Obersumme bzw. Untersumme (egal welches von beiden oder?) unendlich genau unterteilen kann, und somit das Integral erhält. Also praktisch unzählig viele von diesen Rechtecken.
Nun stand dort noch diese gleichung, welche ich aber nicht ganz verstanden habe:
(Leider funktioniert das mit dem Gleichungen eingeben bei mir nicht (bzw. ich bin mal wieder unfähig^^.)
Daher ein Link zu der Grafik auf meinen Webspace:
http://home.arcor.de/xdestroy/MatheRaum_Grafik.gif
was ich daran nicht verstehe ist, warum bei der Obersumme dort ein X gegen unendlich geht, und bei der Untersumme ein N. Es müsste doch bei beiden der gleiche Buchstabe sein oder? Denn der Buchstabe (N oder X) steht ja für die Anzahl der Rechtecke in die Unterteilt wurde. Ist das also ein Fehler, oder hat das einen Grund?? :)
Hier noch der Direct-Link zu der Seite, auf der ich das gelesen habe:
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http://www-math.upb.de/~mathkit/Inhalte/Integralrechnung/data/manifest10/integral_fgrosser0.html
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Falls das noch jemand interessiert, die Seite selbst:
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http://www-math.upb.de/~mathkit/Inhalte/Integralrechnung/preview/index.html
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Vielen Dank für eure Hilfe :)
Gruß
Bunti
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:16 Mi 21.07.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Bunti!
> Ich habe auf einer Seite zur Integralrechnung folgende
> Gleichung gefunden. Ich wollte wissen, wie das ganze halt
> hergeleitet wird. Ich habe das nun so verstanden, das man
> die Obersumme bzw. Untersumme (egal welches von beiden
> oder?) unendlich genau unterteilen kann, und somit das
> Integral erhält. Also praktisch unzählig viele von diesen
> Rechtecken.
Das ist genau die Idee, die dahinter steckt.
Die Obersumme nähert sich, wenn man den Integrationsbereich immer feiner unterteilgt, von oben (sie wird kleiner, ist also monoton fallend) und die Untersumme von unten (sie ist monoton wachsend).
Nähert sich die Differenz von Ober- und Untersumme der 0, so schachteln beiden Summen eine Zahl ein, die dann das Integral genannt wird.
> Nun stand dort noch diese gleichung, welche ich aber nicht
> ganz verstanden habe:
> (Leider funktioniert das mit dem Gleichungen eingeben bei
> mir nicht (bzw. ich bin mal wieder unfähig^^.)
Das funktioniert auf jedem Browser, und ist hier beschrieben. Was aber z.Zt. nicht auf jedem Browser funktioniert, sind die "Eingabehilfen", die aber zur Eingabe der Formeln nicht benötigt werden.
> Daher ein Link zu der Grafik auf meinen Webspace:
> http://home.arcor.de/xdestroy/MatheRaum_Grafik.gif
>
> was ich daran nicht verstehe ist, warum bei der Obersumme
> dort ein X gegen unendlich geht, und bei der Untersumme ein
> N. Es müsste doch bei beiden der gleiche Buchstabe sein
> oder? Denn der Buchstabe (N oder X) steht ja für die Anzahl
> der Rechtecke in die Unterteilt wurde. Ist das also ein
> Fehler, oder hat das einen Grund?? :)
Das ist gut beobachtet, es handelt sich hier um einen Fehler. Es müßte bei beiden Grenzübergängen [mm] n\to\infty [/mm] heissen. Vielleicht freut sich ja der Autor, wenn du ihn auf diesen Fehler hinweist 
Bei weiteren Fragen melde dich bitte einfach wieder
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:33 Mi 21.07.2004 | | Autor: | Max80 |
Hi.
Vielen Dank für deine Antwort!! Das mit den Zeichen eingeben etc. werde ich mir gleich mal genau durchlesen. Ist ganz praktisch so Bildlich etwas eingeben zu können. Ich benutze den IE von Windows. Mal schauen. Wird schon klappen. :)
Bei der Gleichung war ich zu Beginn etwas verunsichert. Ich werde mal eine E-Mail an den Verfasser schreiben. Bin froh das ich das verstanden hab. Dachte schon ich hätte das ganze Prinzip schon wieder verfehlt [mm] O_o [/mm] ;)
Noch eine Mini-Frage nebenbei: Diese unendlichen Rechtecke sind ja im Prinzip keine Rechtecke mehr oder? Weil ich mich am Anfang gefragt habe, ob es wichtig ist, dass die alle Gleichgroß sind...
thx
Bunti
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:48 Mi 21.07.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Bunti!
> Noch eine Mini-Frage nebenbei: Diese unendlichen Rechtecke
> sind ja im Prinzip keine Rechtecke mehr oder? Weil ich mich
> am Anfang gefragt habe, ob es wichtig ist, dass die alle
> Gleichgroß sind...
Es gibt verschiedene äquivalente Arten, das Integral zu definieren.
Die einfachste ist aber (aus meiner Sicht) gleichbreite Rechtecke zu nehmen und ihre Anzahl in jedem Schritt zu verdoppeln (indem man die vorhandenen Rechtecke in der Breite halbiert).
Diese Vorgehensweise kann man variieren, wie es ja auch auf deiner Beispielseite getan wird.
Die Rechtecke sind zwar gleich breit, ihre Anzahl verdoppelt sich aber nicht bei jedem Inkrement von n.
Aber es bleiben in jedem Schritt Rechtecke, selbst für sehr große n -- ob es auch für unendliches n noch ein Rechteck ist, ist nicht so wichtig, aber schon interessant; ich würde sagen: Ja, denn selbst wenn es nur eine Linie der Breite 0 wäre, ist dieses ja noch ein Rechteck.
Übrigens ist eine weitere beliebte Variation die Darstellung der Ober-/Untersummen mittels Trapezen.
Wichtig ist halt nur, dass Ober- und Untersumme den unbekannten Flächeninhalt einschachteln.
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:07 Mi 21.07.2004 | | Autor: | Max80 |
Das hört sich echt interessant an (und das mein ich diesmal ehrlich.^^ hoffentlich liest mein lehrer das nicht *g*). Das ist warscheinlich sowas wie das asymptotische Verhalten. Es wird praktisch immer kleiner so weit, das wir uns es nicht mehr so richtig vorstellen können..
Aber es hört sich wirklich logisch an, so wie du das beschreibst. denn ein rechteckt wäre es ja immer noch. warscheinlich ist das sowas wie 0,000000000001 oder so oder? oder meinst du wirklich 0? weil 0 wäre ja gar nichts mehr oder? Das mit den Rechtecken meintest du ja so, das bei dem einen weg, n um 1 erhöht wird ("inkrement" kenne ich nur das aus der Programmierung, ist aber das gleiche oder?) und dadurch die breite etwas geringer wird. und das gegen unendlich, und bei dem anderen wird n verdoppelt, sodass die breite halbiert wird oder? die gleichung die ich da auf dem webspace habe würde ja dem inkrementieren von n entsprechen oder?? denn wenn es verdoppelt wird, müsste man das ja irgendwie angeben oder? das mit den trapezen muss ich mir auch mal anschauen. :)
hui, kann man das noch als mitteilung gelten lassen?^^
also ich hätte bis vor einiger zeit ja echt nicht gedacht, das ich mich für mathe so sehr interessieren würde^^. danke dafür an diese seite nochmal!! echt super :)
Grüße,
Bunti
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:25 Mi 21.07.2004 | | Autor: | Max80 |
Jetzt habe ich schon wieder eine Frage dazu^^
Sry, falls das jetzt doch zu viel wird...
Ich habe mir jetzt nur gefragt, was das ganze mit dem eigentlichen integrieren zu tun hat. Denn man integriert ja, indem man die Stammfunktion bildet, und die beiden Grenzen einsetzt, und dann die linke Grenze von der Rechten abzieht... (in die Stammfunktion eingesetzt)
Aber was hat die Stammfunktion mit der Untersumme/Obersumme zu tun??
Gruß
Bunti
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:52 Mi 21.07.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Bunti!
> Jetzt habe ich schon wieder eine Frage dazu^^
> Sry, falls das jetzt doch zu viel wird...
Ich würd's man ausprobieren, ich denke nicht, dass du hier jemanden zu einer Antwort zwingen kannst und falls es jemandem zuviel wird, du dann einfach keine Antwort mehr erhältst bzw. zumindestens nicht sofort. Allerdings erhältst du auch keine Antwort, wenn alle bereits schlafen oder keine Zeit haben
> Ich habe mir jetzt nur gefragt, was das ganze mit dem
> eigentlichen integrieren zu tun hat. Denn man integriert
> ja, indem man die Stammfunktion bildet, und die beiden
> Grenzen einsetzt, und dann die linke Grenze von der Rechten
> abzieht... (in die Stammfunktion eingesetzt)
> Aber was hat die Stammfunktion mit der
> Untersumme/Obersumme zu tun??
Die haben beide soviel miteinander zu tun wie z.B. die Ableitungsregeln mit dem Differnenzialquotienten:
Das eine (also die Ober- und Untersumme) wird für die Definition des Integrals herangezogen, das andere ist eine "Regel", die das Berechnen des Integrals "bequemer" macht.
Mit der Definition des Integrals über Ober- und Untersummen kannst du im Zweifelsfall jedes Integral berechnen, aber irgendwann entdeckst du eine Regelmäßigkeit in deinen Umengen von Formeln, die bei der Berechnung von Ober- und Untersummen entstehen -- z.B. die, dass man zur Berechnung des Integrals zwei Funktionswerte einer Funktion F, die abgeleitet die zu integrierende Funktion f ist, subtrahieren kann. Diese Funktion F wird man dann Stammfunktion nennen.
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:21 Mi 21.07.2004 | | Autor: | Max80 |
Also ich habe mir das mit den Trapezen nochmal angeschaut. Das scheint gar nicht so anders zu sein. Die sind allerdings quer gestellt alle. Also das nur die eine (obere) Seite schräg ist, entsprechend zur Kurve. Somit sind die sogar glaube zu beginn noch etwas genauer. Aber ich glaube im Grenzbereich ist es dann warscheinlich egal was man nimmt oder?
Nur die Gleichung dafür auzustellen ist warscheinlich etwas komplizierter. Bzw. länger halt wegen der anderen Formel zur Flächenbrechnung im Trapez. Ich sollte mich schämen das ich die nicht mehr ganz sicher im Kopf hab^^. Muss mal überlegen wie das aussehen würde.
Ich hab aber zu veranschaulichung ein Applet gefunden:
http://www.mathe-online.at/nml/materialien/innsbruck/integration2d/
dort sind auch weitere methoden zur annäherung. ist ganz gut gemacht wie ich finde.
greetz
Bunti
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:38 Mi 21.07.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Bunti!
> Das hört sich echt interessant an (und das mein ich diesmal
> ehrlich.^^ hoffentlich liest mein lehrer das nicht *g*).
Wenn er sich darüber nicht freut, wäre er doch wenigstens geschockt 
> Das ist warscheinlich sowas wie das asymptotische
> Verhalten. Es wird praktisch immer kleiner so weit, das wir
> uns es nicht mehr so richtig vorstellen können..
Joia, das könnte man vielleicht so ausdrücken. Besser --da allgemeiner-- wäre es vielleicht, von Konvergenz oder dem Kovergenzverhalten zu sprechen.
Bei beiden spielen Grenzwerte eine Rolle.
> Aber es hört sich wirklich logisch an, so wie du das
> beschreibst. denn ein rechteckt wäre es ja immer noch.
> warscheinlich ist das sowas wie 0,000000000001 oder so
> oder? oder meinst du wirklich 0? weil 0 wäre ja gar nichts
> mehr oder?
Ich weiß es auch nicht bzw. kann mir die Form auch nicht vorstellen. Die Breite 0 wird wohl nicht erreicht, aber man kommt ihr unendlich bzw. beliebig nahe. Diese infinitesimalen Größen sind halt schwer zu begreifen.
> Das mit den Rechtecken meintest du ja so, das
> bei dem einen weg, n um 1 erhöht wird ("inkrement" kenne
> ich nur das aus der Programmierung, ist aber das gleiche
> oder?)
Ich kenne es auch nur aus der Programmierung, aber solange wir wissen, was gemeint ist
> und dadurch die breite etwas geringer wird. und das
> gegen unendlich, und bei dem anderen wird n verdoppelt,
> sodass die breite halbiert wird oder?
Das Verdoppeln der Anzahl ist sozusagen nur eine spezielle Form davon, dass die Anzahl größer wird. Ich finde sie einfacher zu handhaben, wenn man die Summen konkret berechnen will (weil dann viele Werte aus dem vorherigen Iterationsschritt "wiederverwendet" werden können) -- aber wie gesagt, es spielt keine Rolle, mit welchem System die Anzahl der Rechtecke von Iterationsschritt zu Iterationsschritt vergrößert wird.
> die gleichung die ich
> da auf dem webspace habe würde ja dem inkrementieren von n
> entsprechen oder??
Ja, so habe ich es dort auch verstanden. Das ist halt eine allgemeinere Herangehensweise (und es wird dort ja auch keine Obersumme konkret berechnet, so dass es nicht nötig ist, auf geschickte/spezielle Art und Weise die Anzahlen der Rechtecke wachsen zu lassen).
> denn wenn es verdoppelt wird, müsste man
> das ja irgendwie angeben oder? das mit den trapezen muss
> ich mir auch mal anschauen. :)
Ich bekomme es gerade auch nicht mehr auf die Reihe, wie das mit Trapezen funktioniert, vielleicht kannst du es mir ja dann mal erklären
> hui, kann man das noch als mitteilung gelten lassen?^^
> also ich hätte bis vor einiger zeit ja echt nicht gedacht,
> das ich mich für mathe so sehr interessieren würde^^. danke
> dafür an diese seite nochmal!! echt super :)
Das freut mich und ich darf wahrscheinlich sogar sagen: Das freut uns
Viele Grüße,
Marc
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