Obersumme fürs Intervall [a;b] < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:07 Mo 17.01.2011 | | Autor: | Paivren |
Hallo Leute - mein erster Post :).
Ich wiederhole gerade Unter- und Obersummen für die Flächeninhaltsbestimmung zwischen dem Graphen und der X-Achse.
Die Funktion ist f(x)=x² , das Intervall [3;5]
Es gibt n Teilintervalle der Breite DeltaX=(5-3)/n
Der Flächeninhalt A ist damit der Grenzwert der Obersumme für n gegen unendlich.
Die Obersumme ist
S oben = DeltaX mal f(x1) + DeltaX mal f(x2) +...+DeltaX mal f(xn)
S oben = (5-3)/n mal f(3+(5-3)/n) + (5-3)/n mal f(3+ 2(5-3)/n)+…+(5-3)/n mal f(5).
=2/n mal (3+2/n)² + 2/n mal (3+2 mal 2/n)²+...+ 2/n mal 5²
Wenn es jetzt um ein Intervall [0;b] gehen würde, komme ich klar, aber wenn die Untergrenze NICHT Null ist, weiß ich nicht, wie ich weiter machen muss, um die Summenformel anwenden und danach den Grenzwert für n--> unendlich finden zu können.
Würde mich über Hilfe freuen :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
mfG.
Hlp pls :S
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Hallo Paivren, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
das ist etwas mühsam zu lesen, aber noch rekonstruierbar.
> =2/n mal (3+2/n)² + 2/n mal (3+2 mal 2/n)²+...+ 2/n mal 5²
Wir haben hier einen Formeleditor, der sehr schöne Darstellungen produziert. Die Eingabe ist im wesentlichen die von LaTeX und nicht schwer zu erlernen, außerdem gibt es massive Eingabehilfen. Versuchs doch mal, vielleicht erstmal mit kleineren Formeln. 
Diese hier braucht etwas mehr Schreibarbeit:
[mm] S_{oben}=\bruch{2}{n}*\left(3+\bruch{2}{n}\right)^2+\bruch{2}{n}*\left(3+2*\bruch{2}{n}\right)^2+\cdots+\bruch{2}{n}*\left(3+n*\bruch{2}{n}\right)^2
[/mm]
Wenn Du weißt, wie man das "von 0 bis a" ausrechnet, dann sollte Dir "von a bis b" auch nicht schwerfallen, denn Du kannst ja auch "von 0 bis b" bestimmen, und dann gilt (schematisch aufgeschrieben):
[mm] (a-b)=(0-b)\blue{-}(0-a)
[/mm]
Ob Du jetzt in den Klammern ein "bis" liest und nur das blaue Minus als "minus", oder durchgehend "minus", ist dafür egal.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:57 Di 18.01.2011 | | Autor: | Paivren |
Hallo, danke schonmal für die Antwort (du bist ja auch der, der meine PN beantwortet hat :D).
Man könnte meinen, dass es mir auch mit a als Untergrenze gelingen müsste, aber ich komme einfach nicht dahinter, wie ich richtig umformen muss.
Ich machs einfach mal vor, in der Hoffnung, dass ich mit der Notation klarkomme :S
f(x)=x² [3;5] [mm] \Delta x=\bruch{5-3=2}{n}
[/mm]
[mm] \integral_{3}^{5}{x² dx}=\limes_{n\rightarrow\infty}(\overline{S})
[/mm]
[mm] \overline{S}= \Delta x\* f(x_{1}) [/mm] + [mm] \Delta x\* f(x_{2})+ [/mm] ... + [mm] \Delta x\* f(x_{n}) [/mm]
[mm] =\bruch{2}{n}\*(3+\bruch{2}{n})^{2}+\bruch{2}{n}\*(3+2\*\bruch{2}{n})^{2}+ [/mm] ... [mm] +\bruch{2}{n}\*5^{2}
[/mm]
Nun könnte man schon ausklammern, jedoch fasst man ja auch in dem anderen Fall, wenn das Intervall bei 0 anfängt, erst zusammen, also würde ich das auch hier tun:
[mm] =\bruch{2}{n}\*(3^{2}+6\bruch{2}{n}+\bruch{2^{2}}{n^{2}})+\bruch{2}{n}\*(3^{2}+12\bruch{2}{n}+2^{2}\bruch{2^{2}}{n^{2}})+ [/mm] ... + [mm] \bruch{2}{n}\*5^{2}
[/mm]
[mm] =3^{2}\bruch{2}{n}+6\bruch{2^{2}}{n^{2}}+\bruch{2^{3}}{n^{3}} [/mm] + [mm] 3^{2}\bruch{2}{n} [/mm] + [mm] 12\bruch{2^{2}}{n^{2}}+2^{2}\bruch{2^{3}}{n^{3}} [/mm] + ... + [mm] 5^{2}\bruch{2}{n}
[/mm]
In mir vorliegenden Beispielen mit nem Intervall von 0 an wird nun die Potenz mit dem höchsten Exponenten ausgeklammert.
Ist das hier genauso?
[mm] =\bruch{2^{3}}{n^{3}}(3^{2}\bruch{n^{2}}{2^{2}}+6\bruch{n}{2}+1 [/mm] + [mm] 3^{2}\bruch{n^{2}}{2^{2}}+12\bruch{n}{2}+1 [/mm] + ... + [mm] 5^{2}\bruch{n^{2}}{2^{2}})
[/mm]
[mm] =\bruch{2^{3}}{n^{3}}((3\bruch{n}{2}+1)^{2} +(3\bruch{n}{2}+2)^{2}+ [/mm] ... + [mm] (5\bruch{n}{2})^{2})
[/mm]
Wenn ich jetzt die Summenformel [mm] \bruch{1}{6}n(n+1)(2n+1) [/mm] anwende (also mit [mm] n=5\bruch{n}{2}), [/mm] erneut ausklammer und n gegen unendlich laufen lasse, dann kommt bei mir der Flächeninhalt für das Intervall [0;5] raus, und das kann doch nicht sein.
Warum passiert das, wo liegt mein Denkfehler, und wie macht man es richtig :S?
mfG.
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Hallo Paivren,
> Hallo, danke schonmal für die Antwort (du bist ja auch
> der, der meine PN beantwortet hat :D).
>
> Man könnte meinen, dass es mir auch mit a als Untergrenze
> gelingen müsste, aber ich komme einfach nicht dahinter,
> wie ich richtig umformen muss.
> Ich machs einfach mal vor, in der Hoffnung, dass ich mit
> der Notation klarkomme :S
>
> f(x)=x² [3;5] [mm]\Delta x=\bruch{5-3=2}{n}[/mm]
>
> [mm]\integral_{3}^{5}{x² dx}=\limes_{n\rightarrow\infty}(\overline{S})[/mm]
>
> [mm]\overline{S}= \Delta x\* f(x_{1})[/mm] + [mm]\Delta x\* f(x_{2})+[/mm]
> ... + [mm]\Delta x\* f(x_{n})[/mm]
>
> [mm]=\bruch{2}{n}\*(3+\bruch{2}{n})^{2}+\bruch{2}{n}\*(3+2\*\bruch{2}{n})^{2}+[/mm]
> ... [mm]+\bruch{2}{n}\*5^{2}[/mm]
>
> Nun könnte man schon ausklammern, jedoch fasst man ja auch
> in dem anderen Fall, wenn das Intervall bei 0 anfängt,
> erst zusammen, also würde ich das auch hier tun:
>
> [mm]=\bruch{2}{n}\*(3^{2}+6\bruch{2}{n}+\bruch{2^{2}}{n^{2}})+\bruch{2}{n}\*(3^{2}+12\bruch{2}{n}+2^{2}\bruch{2^{2}}{n^{2}})+[/mm]
> ... + [mm]\bruch{2}{n}\*5^{2}[/mm]
>
> [mm]=3^{2}\bruch{2}{n}+6\bruch{2^{2}}{n^{2}}+\bruch{2^{3}}{n^{3}}[/mm]
> + [mm]3^{2}\bruch{2}{n}[/mm] +
> [mm]12\bruch{2^{2}}{n^{2}}+2^{2}\bruch{2^{3}}{n^{3}}[/mm] + ... +
> [mm]5^{2}\bruch{2}{n}[/mm]
>
> In mir vorliegenden Beispielen mit nem Intervall von 0 an
> wird nun die Potenz mit dem höchsten Exponenten
> ausgeklammert.
> Ist das hier genauso?
>
> [mm]=\bruch{2^{3}}{n^{3}}(3^{2}\bruch{n^{2}}{2^{2}}+6\bruch{n}{2}+1[/mm]
> + [mm]3^{2}\bruch{n^{2}}{2^{2}}+12\bruch{n}{2}+1[/mm] + ... +
> [mm]5^{2}\bruch{n^{2}}{2^{2}})[/mm]
>
> [mm]=\bruch{2^{3}}{n^{3}}((3\bruch{n}{2}+1)^{2} +(3\bruch{n}{2}+2)^{2}+[/mm]
> ... + [mm](5\bruch{n}{2})^{2})[/mm]
>
> Wenn ich jetzt die Summenformel [mm]\bruch{1}{6}n(n+1)(2n+1)[/mm]
> anwende (also mit [mm]n=5\bruch{n}{2}),[/mm] erneut ausklammer und n
> gegen unendlich laufen lasse, dann kommt bei mir der
> Flächeninhalt für das Intervall [0;5] raus, und das kann
> doch nicht sein.
>
> Warum passiert das, wo liegt mein Denkfehler, und wie macht
> man es richtig :S?
Bedenke, daß die Summe nicht bei 1 beginnt.
Daher mußt Du die Summenformel auch für [mm]3*\bruch{n}{2}[/mm] anwenden.
Und von der erhaltenen Summe diese hier abziehen.
>
> mfG.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:35 Do 20.01.2011 | | Autor: | Paivren |
Hallo!
Danke, das war natürlich ein Fehler meinerseits.
Also benutze ich die Summenformel [mm] \bruch{1}{6}n(n+1)(2n+1) [/mm] mit [mm] n=5\*\bruch{n}{2} [/mm] und [mm] 1=3\*\bruch{n}{2}
[/mm]
Zusammengefasst habe ich den Grenzwert für n gegen unendlich [mm] 86\bruch{2}{3} [/mm] raus - das ist aber immer noch falsch.
Denn benutze ich die Stammfunktion [mm] \bruch{1}{3}x³ [/mm] und berechne die Differenz F(5)-F(3), kommt da was anderes raus =S
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:55 So 23.01.2011 | | Autor: | Paivren |
Jemand ne Ahnung, woran das liegen könnte?
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Hallo Paivren,
komisch, dass niemand antwortet. Aber vielleicht verstehen die andern auch nicht so recht was Du da tust.
> Also benutze ich die Summenformel [mm] \bruch{1}{6}n(n+1)(2n+1) [/mm]
> mit [mm] n=5*\bruch{n}{2} [/mm] und [mm] 1=3*\bruch{n}{2} [/mm]
Hm. Das ist hier (und in den Beiträgen vorher) nicht gut aufgeschrieben. Ich habe eine Weile gebraucht, um zu verstehen, was mir diese nur von n=0 erfüllbaren Gleichungen eigentlich sagen wollen.
Du setzt natürlich nicht [mm] 3\bruch{n}{2} [/mm] für n ein!
Du wolltest dies berechnen:
> [mm] =\bruch{2^{3}}{n^{3}}((3\bruch{n}{2}+1)^{2} +(3\bruch{n}{2}+2)^{2}+ [/mm]
> ... + [mm] (5\bruch{n}{2})^{2}) [/mm]
>
> Wenn ich jetzt die Summenformel [mm] \bruch{1}{6}n(n+1)(2n+1) [/mm] ...
Diese Summenformel gilt für $ [mm] n\in\IN [/mm] $, aber nicht ohne weiteres für rationale Werte wie hier. Interessanterweise ist sie hier aber dennoch verwendbar, was an der Differenzbildung liegt. Das wäre aber eigentlich erst noch zu zeigen!
> Zusammengefasst habe ich den Grenzwert für n gegen unendlich
> [mm] 86\bruch{2}{3} [/mm] raus - das ist aber immer noch falsch.
Da wüsste ich ja gern, was Du gerechnet hast.
Ich rechne mal selbst. Zu berechnen ist:
[mm] \bruch{2^3}{n^3}\left(\left((3\bruch{n}{2}+1)^2+...+(3\bruch{n}{2}+n)^2\right)-\left(\left(\bruch{1}{2}\right)^2+\left(\bruch{1}{2}+1\right)^2+...+\left(\bruch{1}{2}+n\right)^2\right)\right)=\cdots
[/mm]
[mm] \cdots=\bruch{2^3}{n^3}\left(\bruch{1}{6}*\bruch{5n}{2}*\left(\bruch{5n}{2}+1\right)*\left(2*\bruch{5n}{2}+1\right)-\bruch{1}{6}*\bruch{3n}{2}*\left(\bruch{3n}{2}+1\right)*\left(2*\bruch{3n}{2}+1\right)\right)=\cdots
[/mm]
[mm] \cdots=\bruch{2^3}{6n^3}\left(\bruch{5n*(5n+2)*(10n+2)}{2^3}-\bruch{3n*(3n+2)*(6n+2)}{2^3}\right)=\bruch{1}{6n^3}((250n^3+150n^2+20n)-(54n^3+54n^2+12n))=\cdots
[/mm]
[mm] \cdots=\bruch{196n^3+96n^2+8n}{6n^3}=\bruch{98}{3}+\bruch{16}{n}+\bruch{4}{3n^2}
[/mm]
So, jetzt stimmts. Allerdings haben wir noch nicht gezeigt, warum die Summenformel für natürliche Zahlen hier auch für "Halbe" gilt.
> Denn benutze ich die Stammfunktion [mm] \bruch{1}{3}x^3 [/mm] und berechne die
> Differenz F(5)-F(3), kommt da was anderes raus =S
Jetzt nicht mehr. Das Ergebnis ist [mm] \bruch{98}{3}=32\bruch{2}{3}
[/mm]
Grüße
reverend
PS: Puuh, viel Schreibarbeit.
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