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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:56 Fr 12.01.2007 | | Autor: | Bastiane |
| Aufgabe | | Stellen Sie eine Formel auf, die aus der gefahrenen Strecke des linken Rades l und der gefahrenen Strecke des rechten Rades r, die neue Position und Orientierung des Roboters [mm] (X,Y,\Phi) [/mm] ermittelt. Der Rad-Abstand a=28cm zwischen dem linken und dem rechten Rad ist gegeben, ferner sei r>l. |
Hallo zusammen!
Um diese Aufgabe zu lösen habe ich der Einfachheit halber zuerst einmal nur den Fall betrachtet, dass sich nur ein Rad bewegt (also das ganze ist eine Art "Auto", das links und rechts je 3 Räder hat, aber da die immer von einem Motor angetrieben werden, ist es so, als ob man nur zwei Räder hätte), das andere also quasi die Zirkelspitze eines Kreises ist.
Dann habe ich das "r>l" mal so gedeutet, dass sich das rechte Rad mehr bewegt, in meinem Fall also das linke Rad stehen bleibt. Oder soll "r>l" bedeuten, dass das rechte Rad größer ist als das linke?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Jedenfalls habe ich mir das dann so gedacht:
Bei einem 360° Winkel beträgt der Umfang ja [mm] $2\pi [/mm] r$, es ist ja dann der ganze Kreis. Wenn der Roboter sich aber nur ein Stück bewegt, der Winkel z. B. 90° ist, dann beträgt die gefahrene Strecke [mm] \br{2\pi r}{4}, [/mm] denn 90 ist ein Viertel von 360, also ist die Strecke auch nur ein Viertel. Für einen beliebigen Winkel [mm] \alpha [/mm] würde dann doch gelten, dass die gefahrene Strecke [mm] \br{2\pi r\alpha}{360°} [/mm] ist, oder?
Nun ist das Ganze aber etwas komplizierter, wenn sich beide Räder bewegen. Dann habe ich ja so eine Situation:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Hier kenne ich den Mittelpunkt des Kreises und somit auch den Winkel nicht. Ich habe mal den Abstand des eingezeichneten "Nullpunktes" R genannt, dann gilt doch, nach der eben hergeleiteten Formel:
[mm] l=\br{2\pi R\alpha}{360°}
[/mm]
und
[mm] r=\br{2\pi(R+28)\alpha}{360°}
[/mm]
Da ich ja l und r als gegeben ansehen kann, kann ich die beiden Gleichungen nach R und [mm] \alpha [/mm] auflösen, wenn ich mich nicht verrechnet habe, kommt da dann raus:
[mm] R=\br{28l}{r-l}
[/mm]
und
[mm] \alpha =\br{r*360°}{2\pi(\br{28l}{r-l}+28)}
[/mm]
Damit wüsste ich also den Mittelpunkt des Kreises und vor allem den Winkel. Nun wäre doch die neue Position eigentlich nur eine Drehung um genau diesen Winkel und somit mit einer gewöhnlichen Rotationsmatrix zu berechnen, oder? Also wäre die neue Position l' des linken Rades und die neue r' des rechten Rades:
[mm] \pmat{\cos\alpha & -\sin\alpha\\\sin\alpha & \cos\alpha}\vektor{R\\0}
[/mm]
[mm] \pmat{\cos\alpha & -\sin\alpha\\\sin\alpha & \cos\alpha}\vektor{R+28\\0}
[/mm]
Käme das alles hin? Oder muss ich ganz anders an die Aufgabe rangehen?
Vor allem fällt mir gerade ein, was denn ist, wenn sich der Roboter nicht auf einer Kreisbahn, sondern z. B. im Slalom bewegt - kommt er dann an derselben Stelle raus? Oder wie könnte man das rechnen??
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:32 Fr 12.01.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Bastiane
In der Aufgabe ist eigentlich eindeutig gesagt, dass l der WEG des linken Rades, r der Weg des rechten Rades ist. damit hast du: wenn l=0 [mm] r=28cm*\Phi, [/mm] und daraus die gesuchte neue Stellung des Robos, mit [mm] x=acos\phi [/mm] usw.
Wenn r=l ist bewegt er sich natürlich nur in einer Richtung, und der Rest wird was komplizierter. Also biet ich dir keine Lösung, sondern nur den richtigen Anfang.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:35 Fr 12.01.2007 | | Autor: | Bastiane |
Hallo leduart!
> Hallo Bastiane
> In der Aufgabe ist eigentlich eindeutig gesagt, dass l
> der WEG des linken Rades, r der Weg des rechten Rades ist.
> damit hast du: wenn l=0 [mm]r=28cm*\Phi,[/mm] und daraus die
> gesuchte neue Stellung des Robos, mit [mm]x=acos\phi[/mm] usw.
> Wenn r=l ist bewegt er sich natürlich nur in einer
> Richtung, und der Rest wird was komplizierter. Also biet
> ich dir keine Lösung, sondern nur den richtigen Anfang.
Sorry, aber könntest du vielleicht auch zu meiner Rechnung Stellung nehmen? Ist das jetzt alles falsch oder wie? Wieso nimmst du direkt einen Winkel mit rein, kann ich nicht mein Koordinatensystem so legen, dass die Achse durch beide Räder auf der y-Achse liegt?
Viele Grüße
Bastiane
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:51 Fr 12.01.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Bastiane
Entschuldige bitte, ich hab deinen post nicht genügend genau gelesen und R mit r verwechselt.
Ich finde nicht direkt einen Fehler, d.h. ich glaub jetzt alles ist richtig.
Slalom kann er nicht fahren, wenn in jedem Moment gilt l(t)<r(t), wenn man allerdings nur in einem Zeitpunkt l und r als Gesamtstrecke kennt könnte er auch Slalom gefahren sein. Dann kann man aber nichts mehr über die lage und Ort sagen, ohne mehr Informationen.
Gruss und gute Nacht leduart
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