matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-Analysis-SonstigesOffene & Abgeschl. Mengen
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Uni-Analysis-Sonstiges" - Offene & Abgeschl. Mengen
Offene & Abgeschl. Mengen < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Offene & Abgeschl. Mengen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 03:55 Sa 22.05.2010
Autor: ChopSuey

Aufgabe
Sei $\ (X,d) $ ein metrischer Raum, $\ A [mm] \subseteq [/mm] X $ abgeschlossen und $\ B [mm] \subseteq [/mm] X $ offen. Zeigen Sie, dass $\ A [mm] \setminus [/mm] B $ abgeschlossen ist.

Hallo,

folgende Überlegung:

$\ A [mm] \subseteq [/mm] X$ abgeschlossen $\ [mm] \Rightarrow [/mm] X [mm] \setminus [/mm] A $  offen.

Also ist inbesondere $\ X [mm] \setminus (A\setminus [/mm] B) $ offen $ [mm] \Rightarrow (A\setminus [/mm] B)$ abgeschlossen.

Darf ich denn so argumentieren?

Setzt man voraus, dass $\ [mm] (A\setminus [/mm] B) $ abgeschlossen ist, ist in jedem Fall  $\ X [mm] \setminus (A\setminus [/mm] B) $ offen. Ich weiß nur nicht, ob ich das aus der bloßen Tatsache, dass $\ X [mm] \setminus [/mm] A$ offen ist,  folgern darf.

Würde mich über Hinweise freuen.
Gruß
ChopSuey

        
Bezug
Offene & Abgeschl. Mengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:30 Sa 22.05.2010
Autor: Marcel

Hallo,

> Sei [mm]\ (X,d)[/mm] ein metrischer Raum, [mm]\ A \subseteq X[/mm]
> abgeschlossen und [mm]\ B \subseteq X[/mm] offen. Zeigen Sie, dass [mm]\ A \setminus B[/mm]
> abgeschlossen ist.
>  Hallo,
>  
> folgende Überlegung:
>  
> [mm]\ A \subseteq X[/mm] abgeschlossen [mm]\ \Rightarrow X \setminus A[/mm]  
> offen.
>  
> Also ist inbesondere [mm]\ X \setminus (A\setminus B)[/mm] offen

wieso sollte das gelten? Woraus geht das hervor?

> [mm]\Rightarrow (A\setminus B)[/mm] abgeschlossen.
>
> Darf ich denn so argumentieren?
>  
> Setzt man voraus, dass [mm]\ (A\setminus B)[/mm] abgeschlossen ist,
> ist in jedem Fall  [mm]\ X \setminus (A\setminus B)[/mm] offen. Ich
> weiß nur nicht, ob ich das aus der bloßen Tatsache, dass
> [mm]\ X \setminus A[/mm] offen ist,  folgern darf.
>  
> Würde mich über Hinweise freuen.
>  Gruß
>  ChopSuey

Dein Ansatz ist schon okay: Um einzusehen, dass $A [mm] \setminus [/mm] B$ abgeschlossen ist, reicht es zu zeigen, dass $(A [mm] \setminus B)^c:=X\setminus(A \setminus [/mm] B)$ offen ist.

(Die Abgeschlossenheit von $A [mm] \setminus [/mm] B$ kann man übrigens auch zeigen, indem man zeigt, dass jede Folge in $A [mm] \setminus [/mm] B$, die einen Grenzwert (in [mm] $X\,$) [/mm] hat, erfüllt, dass ihr Grenzwert in $A [mm] \setminus [/mm] B$ liegt.)

Dabei kann man durchaus benutzen, dass eine Menge $T [mm] \subseteq [/mm] X$ genau dann abgeschlossen ist, wenn [mm] $T^c$ [/mm] offen ist.

Oben:
Nach Voraussetzung gilt:
$A [mm] \subseteq [/mm] X$ ist abgeschlossen und $B [mm] \subseteq [/mm] X$ ist offen.

Zu zeigen:
$(A [mm] \setminus B)^c$ [/mm] ist offen (denn daraus folgt, dass $((A [mm] \setminus B)^c)^c=A \setminus [/mm] B$ abgeschlossen ist).

Um das einzusehen, reicht es, sich zu überlegen, dass
$$(A [mm] \setminus B)^c=(A \cap B^c)^c=A^c \cup (B^c)^c=A^c \cup [/mm] B$$
gilt, da (beliebige) Vereinigungen offener Mengen wieder offen sind.

P.S.:
Wie Du siehst, kann man eigentlich auch direkt einsehen, dass  $A [mm] \setminus [/mm] B$ abgeschlossen ist. Es gilt nämlich
[mm] $$(\*)\;\;\;A \setminus [/mm] B=A [mm] \cap B^c\,,$$ [/mm]
[mm] $$(\text{gleichwertige Notation}: [/mm] A [mm] \setminus [/mm] B=A [mm] \cap [/mm] (X [mm] \setminus [/mm] B))$$

und (beliebige) Schnitte abgeschlossener Mengen sind abgeschlossen.

Das einzig wichtige hier ist, dass Du Dir die Gleichung [mm] $(\*)$ [/mm] am besten zum einen nochmal beweist, und zum anderen auch behältst. Denn sie ist elementar für Beweise der Abgeschlossenheit bzw. Offenheit, insbesondere in topologischen Räumen.
Also: Meines Erachtens wäre es am besten, wenn Du nun hier nochmal den Beweis für [mm] $(\*)$ [/mm] erbringst. Und Dir auch nochmal z.B. Satz 9.7, Definition 9.9 und Satz 9.11 aus []diesem Skript anguckst.

Beste Grüße,
Marcel


Bezug
                
Bezug
Offene & Abgeschl. Mengen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:13 Sa 22.05.2010
Autor: ChopSuey

Hallo Marcel,

vielen Dank für Deine ausführliche Hilfestellung. Habe fast schon vermutet, dass meine Argumentation nicht ausreichend bzw falsch ist.

Ich danke ebenfalls für Deinen Verweis auf das Skript. Das ist super!

Viele Grüße
ChopSuey

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]