Offene Menge von Matrizen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:08 Mi 23.06.2010 | | Autor: | Marie_ |
| Aufgabe | Gegen sei der Raum der reellen quadratischen Matrizen [mm] \IR^{n \times n}. [/mm]
Sei [mm] \gamma [/mm] die Menge aller invertierbaren Matrizen, also [mm] \gamma [/mm] := {A [mm] \in \IR^{n \times n} [/mm] | det(A) [mm] \not= [/mm] 0}.
Zeigen Sie, dass die Menge [mm] \gamma [/mm] offen ist. |
Hallo,
ich weiß leider bei der oben stehenden Aufgabe keinen vernünftigen Ansatz. Nach der Definition von einer offenen Menge gilt ja, dass ein jeder Punkt ein innerer Punkt sein muss (d.h. es muss zu jeder invertierbaren Matrix eine Umgebung geben, in der wiederum eine invertierbare Matrix ist). Jedoch glaube ich, dass man die Offenheit durch andere Überlegungen zeigen muss.
Vielen Dank für die Hilfe!
Liebe Grüße
Marie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:37 Mi 23.06.2010 | | Autor: | cycore |
Hallo, also ich weiß ja nicht aus welchem zusammenhang das bei euch hervorgeht...da gibt es ja sicherlich mehrere möglichkeiten dies zu zeigen...
würde das (wenn dein vorwissen das hergibt) folgendermaßen machen:
die determinante ist stetig (wenn das nicht bekannt ist ist das offensichtlich, wenn man sich die leibnizformel anschaut)...daher sind urbilder offener mengen offen und eine reelle matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre determinante nicht verschwindet...somit ist [mm] \gamma=det^{-1}{\IR\backslash{\{0\}}}.
[/mm]
[mm] \IR\backslash{\{0\}} [/mm] ist offen, somit auch das urbild, also gerade dein [mm] \gamma.
[/mm]
hoffe das hilft, schönen tag noch
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