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| Aufgabe | | Jede Teilmenge von [mm] \IR [/mm] ist Vereinigung ihrer offenen Teilmengen. |
Hallo,
wie kann ich das beweisen?
Ich weiss, dass [mm] \IR [/mm] offen ist und ich weiß auch, dass die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen offen ist. Aber irgendwie fehlt mir dennoch der Ansatz um zu beweisen, dass jede Teilmenge von [mm] \IR [/mm] Vereinigung ihrer offenen Teilmengen ist.
Danke!
Anna
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:21 Mo 16.04.2007 | | Autor: | statler |
> Jede Teilmenge von [mm]\IR[/mm] ist Vereinigung ihrer offenen
> Teilmengen.
Hi Anna!
> wie kann ich das beweisen?
Das ist entweder trivial oder falsch, je nachdem, in welcher Topologie ich unterwegs bin. Sei A die in Rede stehende Teilmenge.
Wenn ich die Spurtopologie (auch induzierte Topologie genannt) meine, dann ist A selbst offen, weil A = A [mm]\cap[/mm] [mm]\IR[/mm] ist.
Wenn ich die übliche Topologie in [mm] \IR [/mm] meine, dann ist ein abgeschlossenes Intervall nicht die Vereinigung von offenen Mengen aus [mm] \IR, [/mm] die in A enthalten sind. Ich kriege ja die beiden Endpunkte nicht zu fassen.
Gruß aus dem Norden
Dieter
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Hallo Dieter,
> Wenn ich die übliche Topologie in [mm]\IR[/mm] meine, dann ist ein
Genau, von der ging ich aus.
> abgeschlossenes Intervall nicht die Vereinigung von offenen
> Mengen aus [mm]\IR,[/mm] die in A enthalten sind. Ich kriege ja die
> beiden Endpunkte nicht zu fassen.
Ja, leuchtet ein. Man könnte dann aber sagen, dass jede offene Teilmenge von [mm] \IR [/mm] die Vereinigung von offenen Intervallen ist, oder nicht?
Gruß,
Anna
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:48 Di 17.04.2007 | | Autor: | Kyle |
Hallo!
Leider geht auch das nicht, wenn ich z.B. nur einen Punkt als Teilmenge nehme, dann hat der ja nur die leere Menge als Teilmenge, die in [mm] \IR [/mm] offen ist. Genau so wenig geht es mit einem abgeschlossenen Intervall, da ich (wie Dieter schon schrieb) die Endpunkte in keinem offenen Intervall habe, was in der Teilmenge selbst liegt.
Liebe Grüße,
Kyle
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:48 Mo 23.04.2007 | | Autor: | Anna-Lyse |
Danke!
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