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Die Aufgabe:
Sei E= [0,1( U [2,3] U {5}
und d(x,y) = |x-y|
Man untersuche ob die Mengen M1= [0,1( und M2 = {5} im metrischen
Raum (E,d) offen, abgeschlossen und kompakt sind und bestimme
alle inneren Punkte, Häufungspunkte und Berührungspunkte von M1 und M2.
Das Problem bei mir ist, die Definitionen sind mir schon klar, doch leider fällt mir die Anwendung auf dieses Beispiel irgendwie nicht leicht.
Die Definition von offen und abgeschlossen bezieht sich doch auf eine Kugel B(a,r), aber mir ist das ziemlich abstrakt und neu.
Es wäre wirklich nett, wenn jemand wüßte wie man die Aufgabe meistert
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:04 Do 28.04.2005 | | Autor: | SEcki |
Hallo,
> Sei E= [0,1( U [2,3] U {5}
Versuch doch mal den Formeleditor!
> Man untersuche ob die Mengen M1= [0,1( und M2 = {5} im
> metrischen
> Raum (E,d) offen, abgeschlossen und kompakt sind und
> bestimme
> alle inneren Punkte, Häufungspunkte und Berührungspunkte
> von M1 und M2.
Hier ist auch wichtig: wie habt ihr die Begriffe definiert? Da gibt es mehrer Möglichkeiten, ich geh mal hier von denen aus, die man so in metrischen Räumen nehmen darf.
> Die Definition von offen und abgeschlossen bezieht sich
> doch auf eine Kugel B(a,r), aber mir ist das ziemlich
> abstrakt und neu.
Nicht ganz: offen, wenn um jeden Punkt so ein Ball gelegt werden kann, der ganz in der Menge liegt. Wie habt ihr Abgeschlossen defniert? Komplement offen? Oder jede konvergente Folge, die ganz drin liegt, konvergiert auch in der Menge? Was genau ist bei euch denn Kompakt? Habt ihr schon "Teilraumtopolgie" gemacht? Dann würde das alles serh einfach.
Überlege dir doch mal, wie Bälle in diesem Raum E aussehen - was ist zB der Ball um 5 mit Radius 1? Wie sehen offenen Bälle um 0 aus?
> Es wäre wirklich nett, wenn jemand wüßte wie man die
> Aufgabe meistert
He: ja, ich weiß wie man die meistert, das hilft dir aber erstmal nichts ;-p Du musst sie ja meistern.
SEcki
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:37 Fr 29.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Mache dir bitte klar, dass die Metrik $d$ die auf $E$ eingeschränkte Standardmetrik von [mm] $\IR$ [/mm] ist.
So gilt also etwa:
[mm] $B_1(5) [/mm] = [mm] \{x \in E\, : \, d(x,5)<1\} [/mm] = [mm] \{5\}$,
[/mm]
denn kein anderer Punkt aus $E$ (!) liegt in diesem Ball. Daher ist [mm] $\{5\}$ [/mm] offen (es gibt um jedes Element aus [mm] $\{5\}$ [/mm] (hier nur die $5$ selbst) einen offenen Ball, der ganz in [mm] $\{5\}$ [/mm] enthalten ist (er ist hier gleich [mm] $\{5\}$).
[/mm]
Ähnlich kannst du dir auch klar machen, dass $[0,1($ und $[2,3]$ offen in dieser Topologie sind. Wenn du jetzt noch beachtest, dass Mengen genau dann abgeschlossen sind, wenn ihr Komplement offen ist, kannst du auch einiges über die Abgeschlossenheit dieser Mengen (leicht) herausfinden.
Viele Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:15 Fr 29.04.2005 | | Autor: | MisterMarc |
danke erstmal für die antworten bisher
hm, langsam kommts,...
eigentlich müßte doch [a,b] offen gegenüber [a,b] sein?
ich hab mir auch schon fast gedacht, dass M1 und M2 offen sind,
also ich werd es mal probieren
hingegen würde es mich nicht stören wenn noch ein paar Ideen dazu beigetragen werden :)
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Da wir eine ähnliche Aufgabe haben, hab ich da noch eine Nachfrage:
Dass z.b. M = {5} offen ist, leuchtet mit der Kugeldefinition ein.
Wenn ich jedoch betrachte, dass 5 der einzige Berührungspunkt dieser Menge ist (berüht quasi sich selbst) und wir die Menge der Berührungspunkte als Abschluss [mm] \overline{M} [/mm] definiert haben, dann würde doch folgen das [mm] M=\overline{M} [/mm] und somit abgeschlossen ist.
Wo liegt also der Fehler in meinem Gedankengang?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:15 Mo 02.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo steelscout!
Deine Gedanken sind vollkommen richtig! ![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]")
Die Menge $M$ ist hier zugleich offen wie auch abgeschlossen.
Bei nicht zusammenhängenden topologischen Räumen (wie hier) kann es durchaus Mengen (außer der leeren Menge und dem ganzen Raum, für die gilt das immer) geben, die zugleich offen wie auch abgeschlossen sind.
Viele Grüße
Stefan
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