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Forum "Topologie und Geometrie" - Offene Überdeckung
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Offene Überdeckung: Verständnisproblem
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:10 Mo 19.03.2018
Autor: Franzi17

Aufgabe
Sei X = [0, 1] ⊂ R mit der euklidischen Distanz.
(1) Für k ∈ N fixiert betrachten wir die Familie
F ={[0,1/k)} U {(1/n, 1-1/n): n=3,4,...} U {(1-1/k, 1]}

Zeigen Sie, dass die Familie F eine offene Überdeckung von X ist.
(2) Finden Sie eine endliche Teiluberdeckung der Überdeckung  F in (1).
(3) Zeigen Sie, dass fur jede offene Überdeckung von X eine endliche Teiluberdeckung
existiert, d.h., dass X kompakt ist.
(4) Finden Sie eine unendliche, offene Uberdeckung von Y = ]0, 1[ ⊂ R, die keine endliche
Teiluberdeckung hat.

Hallo,
Ich glaube ich habe bei der a.) ein Verständnisproblem

Eine Überdeckung von einer Menge B wäre ja eine Familie von Teilmengen (Ai)
S.d.: B Teilmenge von der Vereinung der Ai ist

Und offene Überdeckung impliziert doch dass alle Ai offen sind?

Aber hier sind zwei der vereinigten Mengen keine offenen Intervalle..
Ich hätte mir jetzt eine offene Überdeckung von [0,1] eher bspw. in der Form
(-1/n, 1+1/n) vorgestellt?

Wäre sehr froh, wenn mir jemand den Teil a.) der Aufgabe erklären könnte.
Vielen Dank!!


        
Bezug
Offene Überdeckung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:23 Mo 19.03.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

vorweg: Nutz doch bitte den Formeleditor unter dem Eingabefeld… so ist das ja alles nicht lesbar. Ich versuch das mal in lesbare Form zu bringen:

> Sei $X = [0, 1] [mm] \subset \IR$ [/mm] mit der euklidischen Distanz.
> Für $k [mm] \in \IN$ [/mm] fixiert betrachten wir die Familie
> $F [mm] =\left\{\left[0,\frac{1}{k}\right)\right\} \cup \left\{\left(\frac{1}{n}, 1-\frac{1}{n}\right): n=3,4,\ldots\right\} \cup \left\{\left(1-\frac{1}{k}, 1\right]\right\}$ [/mm]

Ich denke und hoffe, das stimmt so…

> Ich glaube ich habe bei der a.) ein Verständnisproblem

Ich sehe keine Aufgabe a.) nur eine (1)
Wäre schön, wenn du da auch drauf achten würdest.


> Eine Überdeckung von einer Menge B wäre ja eine Familie
> von Teilmengen (Ai)
> S.d.: B Teilmenge von der Vereinung der Ai ist

Ja.

> Und offene Überdeckung impliziert doch dass alle Ai offen sind?

Ja.

> Aber hier sind zwei der vereinigten Mengen keine offenen Intervalle..

Es sind alles offene Intervalle.
Dein Grundraum ist $X = [0,1]$.
Nun zeige: [mm] $\left[0,\frac{1}{k}\right) \subset [/mm] X$ ist offen in X.

[mm] $\left[0,\frac{1}{k}\right)$ [/mm] ist nicht offen in [mm] $\IR$, [/mm] in X allerdings schon… da du das nicht verstanden hast: Zeige es!

>  Ich hätte mir jetzt eine offene Überdeckung von [0,1] eher bspw. in der Form (-1/n, 1+1/n) vorgestellt?

Dann stellst du gerade fest: Es gibt mehr in der Mathematik, als du dir vorstellen kannst :-)

Gruß,
Gono


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Offene Überdeckung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:49 Mo 19.03.2018
Autor: Franzi17

Ich fürchte ehrlich gesagt, jetzt bin ich noch mehr verwirrt.
Eine Teilmenge U ist offen, wenn sie Umgebung eines jedes Punktes aus U ist.
Das hiesse doch, für jeden Punkt a in [0, 1/k) liesse sich ein [mm] K_\eta(a) [/mm] finden, [mm] s.d.K_\eta(a) [/mm]  für [mm] \eta>0 [/mm] im Intervall [0,1/k) enthalten ist.
[mm] K_\eta(a)={x \in U: ||x-a||<\eta} [/mm]
Aber wenn a=0 gibt es keinen Kreis um 0, mit Radius [mm] \eta>0, [/mm] s.d dieser Kreis im Intervall U liegt?

P.s. entschuldigung für die Lesbarkeit, ich hoffe es ist besser?

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Offene Überdeckung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:10 Mo 19.03.2018
Autor: fred97

Ist X=[0,1], so heißt eine Teilmenge  A von X offen in X,wenn es eine in [mm] \IR [/mm]  offene Menge B gibt mit

  [mm] A=X\cap [/mm] B.

Kommst Du damit weiter ?

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Offene Überdeckung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:32 Mo 19.03.2018
Autor: Franzi17

[mm] A=X\cap (-1/n, [/mm] 1/k)
Aber ich verstehe die Begründung dahinter leider nicht und finde in umserem Skript leider nichts dazu. Ich wäre sehr froh, wenn du mir erklären würdest, warum das gilt?
Danke!!


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Offene Überdeckung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:38 Mo 19.03.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Das hiesse doch, für jeden Punkt a in [0, 1/k) liesse sich ein $ [mm] K_\eta(a) [/mm] $ finden, s.d. [mm] $K_\eta(a) [/mm] $  für $ [mm] \eta>0 [/mm] $ im Intervall [0,1/k) enthalten ist.

[ok]

> $ [mm] K_\eta(a)=\{x \in U: ||x-a||<\eta\} [/mm] $
> P.s. entschuldigung für die Lesbarkeit, ich hoffe es ist besser?

Deutlich besser, Brüche kannst du mit \bruch{1}{k} schreiben, das ergibt dann [mm] $\bruch{1}{k}$ [/mm]
Geschweifte Klammern in der Matheumgebung machst du mit \{

> Aber wenn a=0 gibt es keinen Kreis um 0, mit Radius $ [mm] \eta>0, [/mm] $ s.d dieser Kreis im Intervall U liegt?

Nicht? Welcher Punkt aus X liegt denn im Kreis um 0 mit dem Radius [mm] $\eta [/mm] = [mm] \frac{1}{2k}$, [/mm] der nicht in $U = [mm] \left[0,\frac{1}{k}\right)$ [/mm] liegt?

Da dir freds Kommentar nicht weitergeholfen hat, können wir ihn erörtern, wenn du das oben verstanden hast :-)

Gruß,
Gono

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Offene Überdeckung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:49 Mo 19.03.2018
Autor: Franzi17

Es tut mir leid, aber ich stehe komplett auf dem Schlauch.
Wenn ich einen Kreis um 0 lege, egal mit welchem Radius, dann enthält der doch immer auch negative Werte und die liegen nicht im Intervall [0, [mm] \bruch{1}{k})? [/mm]

oder, weil im Ausgangsintervall negative Werte bereits ausgeschlossen sind, wäre der Kreis mathematisch gesehen ein Halbkreis??


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Offene Überdeckung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:31 Mo 19.03.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Es tut mir leid, aber ich stehe komplett auf dem Schlauch.
> Wenn ich einen Kreis um 0 lege, egal mit welchem Radius,
> dann enthält der doch immer auch negative Werte und die
> liegen nicht im Intervall [0, [mm]\bruch{1}{k})?[/mm]

Was für negative Werte? Dein Ausgangsraum ist $X=[0,1]$, da gibt es keine negativen Werte. Du solltest mir ein $x [mm] \in [/mm] X$ nennen, was in [mm] $K_{\frac{1}{2k}}(0)$ [/mm] liegt, aber nicht in [mm] $\left[0,\frac{1}{k}\right)$ [/mm] und da gibt es eben keins.
  

> oder, weil im Ausgangsintervall negative Werte bereits ausgeschlossen sind

das ist des Pudels Kern.

> wäre der Kreis mathematisch gesehen ein Halbkreis??

Nein… der Kreis wäre mathematisch gesehen noch immer ein Kreis.
In deiner Vorstellung wäre es aber ein Halbkreis :-)

Ganz Abstrakt: Der Kreis um 0 mit dem Radius r im Raum X ist definiert als: $K = [mm] \{ x \in X | \;|x|\; < r\}$ [/mm]

Und damit gilt eben (in X!): $K = [0,r)$.

Und damit nun zurück zur Kernaussage:

Das Intervall [mm] $\left[0,\frac{1}{k}\right)$ [/mm] ist offen in X aber nicht offen in [mm]\IR[/mm], weil eben in X gilt [mm] $K_{\frac{1}{2k}}(0) \subset \left[0,\frac{1}{k}\right)$ [/mm] aber nicht in [mm] $\IR$. [/mm]
Gruß,
Gono




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Offene Überdeckung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:31 Mo 19.03.2018
Autor: Franzi17

Vielen Dank :)

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