Offenheit und Rand bestimme < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:02 Fr 22.04.2011 | | Autor: | kiwibox |
| Aufgabe | Untersuche folgende Teilmengen M [mm] \subseteq \IR^2 [/mm] auf Offenheit. Bestimme außerdem
den Rand [mm] \delta [/mm] M.
a) M := {(x, y)| y > [mm] x^2}
[/mm]
b) M :=]0, 1] × [mm] \IR [/mm] |
Hallo...
ich soll die Aufgabe lösen. Ich glaube, die Aufgabe ist nicht so schwer, es hapert bei mir nur daran, dass ich mir das nicht so wirklich vorstellen kann und deswegen zu keiner für mich zufriedenstellende Lösung gelange...
Meine bisherige Gedankengänge dazu:
zu a) ich habe mir das versucht als Skizze darzustellen und habe mir deswegen gedacht, der Rand [mm] \delta M=\{(x,y) \in \IR | y=x^2\} [/mm] und deswegen, weil der Rand nicht in der Menge liegt, ist dann M offen. Stimmt das, wenn ja wie sollte ich das dann elegant beweisen? In der Vorlesung haben das mit logischen "Denken" einfach dahin geschrieben und fertig war das...
zu b) ich weiß, dass ]0,1] weder offen noch abgeschlossen ist. Dieses stelle ich mir nun auf der x-Achse vor. Mein [mm] \IR [/mm] stelle ich mir dann als die y-Achse vor. Von [mm] \IR [/mm] weiß ich, dass der Rand [mm] \delta M_2=\emptyset [/mm] ist, Rand von ]0,1] ist [mm] \delta M_1={0,1}. [/mm] Ich würde nun wg. der 1, die im Rand liegt folgern, dass ]0,1] x [mm] \IR [/mm] nicht offen ist, der Rand ist dann [mm] \delta M=\delta M_1 [/mm] x [mm] \delta M_2 [/mm] = {0,1} x [mm] \emptyset [/mm] ={0,1}. Stimmt das?
Es wäre echt lieb, wenn ich Ideen/Tipps von euch dazu bekommen würde....
LG, kiwibox
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:24 Fr 22.04.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
Eine Menge ist offen, wenn für jeden Punkt a in der Menge auch eine [mm] $\delta$-Kugel [/mm] um a in der Menge liegt. Wenn Du zeigst, daß jeder Punkt in M einen gewissen Abstand [mm] $\varepsilon$ [/mm] vom Rand hat, dann bist Du fertig, weil dann ein Kreis mit Radius [mm] $\delta=\frac\varepsilon [/mm] 2$ sicher noch in die Menge paßt. =)
Die Menge in b) solltest Du mal zeichnen. Nenn mir mal 5 Punkte in der Menge.
> [mm] $\{0,1\} \times \emptyset =\{0,1\}$
[/mm]
Du verwechselst [mm] $\times$ [/mm] mit [mm] $\cup$. [/mm]
[mm] $\IN\times\IQ=\{(a,b)\ |\ a\in\IN,b\in\IQ\}$,
[/mm]
[mm] $\IN\times\IQ\neq\IQ$
[/mm]
Das zweite ist, was Du da schreibst. Eins hat 2-dim Tupel als Elemente, das andere Zahlen; das kann nicht das gleiche sein. =)
Btw. um das von der a) mal für die b) aufzugreifen: M ist nicht offen, weil z.B. (1,2) direkt auf dem Rand liegt. Egal wie klein Du den Kreis machst, er ragt sicher über den Rand hinaus.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:46 Fr 22.04.2011 | | Autor: | kiwibox |
> Eine Menge ist offen, wenn für jeden Punkt a in der Menge
> auch eine [mm]\delta[/mm]-Kugel um a in der Menge liegt. Wenn Du
> zeigst, daß jeder Punkt in M einen gewissen Abstand
> [mm]\varepsilon[/mm] vom Rand hat, dann bist Du fertig, weil dann
> ein Kreis mit Radius [mm]\delta=\frac\varepsilon 2[/mm] sicher noch
> in die Menge paßt. =)
wie soll ich das denn machen? ich kann das doch nicht für beliebiges x aus der Menge zeigen, oder? und wie soll ich den Rand in die Ungleichung setzen? Es gilt doch immer ||a-x||<r, wobei a=mittelpunkt, x=beliebiger punkt und r=radius
> Die Menge in b) solltest Du mal zeichnen. Nenn mir mal 5
> Punkte in der Menge.
Wie soll ich das denn zeichnen? [0,5; y [mm] \in [/mm] IR] wäre doch ein Punkt, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:32 Fr 22.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu 2
alle punkte die in dem Streifen über deiner Strecke liegen, gehören dazu
also etwa [mm] (0.1234,10^6) [/mm] oder (1,-733)
drin liegt [mm] (10^{-100},17) [/mm] aber nicht (0,17)
We zeigst du , dass (0,1) offen ist?
entsprechend gehst du mit einem beliebigen punkt (x,y) um mit [mm] y>x^2
[/mm]
entweder wie sieht eine Umgebung davon allgemein aus ?
gruss leduart
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:21 So 24.04.2011 | | Autor: | kiwibox |
> alle punkte die in dem Streifen über deiner Strecke
> liegen, gehören dazu
> also etwa [mm](0.1234,10^6)[/mm] oder (1,-733)
> drin liegt [mm](10^{-100},17)[/mm] aber nicht (0,17)
(0,17) ist nicht drin, weil 0 nicht in der Menge von ]0,1] liegt?
> Wie zeigst du , dass (0,1) offen ist?
Ich habe bisher noch keine Idee, wie ich das zeigen sollte. Topologie ist einfach nicht mein Thema. In der Vorlesung hatten wir zwar einige Beispiele dazu, was offen und was abgeschlossen ist, bewiesen haben wir das aber nie.
Ich würde wahrscheinlich erstmal die Definition nehmen: a [mm] \in \IR^n [/mm] Mittelpunkt, r > 0 Radius: [mm] B_r(a):=\{x \in \IR^n: ||x-a||< r\} [/mm] offene Kugel
Allgemein könnte ich das nun nicht zeigen, dass offen ist. Ich würde da einfach für x=0 und x=1 wählen. Weiter weiß ich habe nicht, wie ich das genau angehen sollte....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:22 Di 26.04.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:21 Sa 23.04.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Wie soll ich das denn zeichnen?
?
Wie würdest Du denn [mm] $[0,1]\times [/mm] [-1,1]$ zeichnen?
Und wie [mm] $[0,1]\times [/mm] [-10,10]$?
Und wie [mm] $[0,1]\times [/mm] [-n,n]$?
Dann ist es nicht mehr weit.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:09 So 24.04.2011 | | Autor: | kiwibox |
> Wie würdest Du denn [mm][0,1]\times [-1,1][/mm] zeichnen?
> Und wie [mm][0,1]\times [-10,10][/mm]?
> Und wie [mm][0,1]\times [-n,n][/mm]?
Ich kann mir das irgendwie nicht vorstellen...wie soll ich denn dieses [mm] \times [/mm] interpretieren? Oder ist das eine eine x-Achse, das andere die y-Achse?
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Moin,
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> > Wie würdest Du denn [mm][0,1]\times [-1,1][/mm] zeichnen?
> > Und wie [mm][0,1]\times [-10,10][/mm]?
> > Und wie [mm][0,1]\times [-n,n][/mm]?
>
>
> Ich kann mir das irgendwie nicht vorstellen...wie soll ich
> denn dieses [mm]\times[/mm] interpretieren? Oder ist das eine eine
> x-Achse, das andere die y-Achse?
Nicht die Achse, aber entsprechende Einschränkungen der Koordinatenbereiche.
[mm] [0,1]\times [-1,1]=\{(x,y)\in\IR^2|0\leq x\leq1, -1\leq y\leq 1\}
[/mm]
Dann ist auch klar, wie das gezeichnet wird.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:33 So 24.04.2011 | | Autor: | kiwibox |
Nicht die Achse, aber entsprechende Einschränkungen der
> Koordinatenbereiche.
> [mm][0,1]\times [-1,1]=\{(x,y)\in\IR^2|0\leq x\leq1, -1\leq y\leq 1\}[/mm]
>
> Dann ist auch klar, wie das gezeichnet wird.
jap. stimmt. diese definition hat mir einfach gefehlt. nun kann ich mir das auch vorstellen. Dankeschön 
aber wie sollte ich nun an den Beweis dran gehen? gibt es da nicht irgendein Beispiel an dem ich mich dann daran entlang hangeln könnte?
Irgendwie bringt mich die bloße Definition der offenen Kugel da nicht so weiter....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:53 So 24.04.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
welchen Beweis? Den zur a)?
[mm] $M=\{(x,y)\in\IR^2\ |\ y-x^2>0\}$
[/mm]
Ist (x,y) in M, dann gibt es ein [mm] $\delta>0$, [/mm] so daß auch [mm] $(x\pm\delta_1,y\pm\delta_2)\in [/mm] M$, wobei [mm] $0\leq \delta_1\leq\delta$, $0\leq \delta_2\leq\delta$
[/mm]
1. Du zeigst, daß für jeden Punkt $(x,y)$ in M auch ein kleines Quadrat um den Punkt herum in M ist.
2. [mm] $\delta$, [/mm] die Größe des Quadrats, darf von x und y abhängen. Wird es sogar auf jeden Fall tun.
3. Alles, was Du zeigen mußt, ist, daß für ausreichend kleines [mm] $\delta$ [/mm] alle Punkte der Art [mm] $(x\pm\delta_1,y\pm\delta_2)$ [/mm] die Ungleichung in der Mengendefinition erfüllen.
[mm] $x^2-y=\varepsilon_{x,y}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow (x\pm\delta_1)^2 [/mm] - [mm] (y\pm\delta_2)=\ldots>0$
[/mm]
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:08 Di 26.04.2011 | | Autor: | kiwibox |
> 1. Du zeigst, daß für jeden Punkt [mm](x,y)[/mm] in M auch ein
> kleines Quadrat um den Punkt herum in M ist.
wie zeige ich denn sowas?
> 2. [mm]\delta[/mm], die Größe des Quadrats, darf von x und y
> abhängen. Wird es sogar auf jeden Fall tun.
ist hier nun der Radius mitgemeint?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:03 Di 26.04.2011 | | Autor: | Blech |
>> Ist (x,y) in M, dann gibt es ein [mm] $\delta>0$, [/mm] so daß auch [mm] $(x\pm\delta_1,y\pm\delta_2)\in [/mm] M$, wobei [mm] $0\leq \delta_1\leq\delta$, $0\leq \delta_2\leq\delta$
[/mm]
Rechne's Dir für ein festes (x,y) durch, wenn Du ein Problem damit hast. z.B. (1;2):
Ist (x,y) in M, dann erfüllt es doch die Bedingung [mm] $\varepsilon_{x,y}:=y-x^2>0$. [/mm] Soweit klar? [mm] (2-1^2=1>0)
[/mm]
Und weil [mm] $\varepsilon_{x,y}$ [/mm] einen gewissen Abstand von der 0 hat [mm] (2-1^2=1, [/mm] also sind wir 1 von der 0 weg. Das gibt uns etwas Spielraum, den x und y Wert zu verändern, ohne daß wir aus M rausfallen)
und [mm] $y-x^2$ [/mm] stetig ist, kannst Du an x und y etwas rumwackeln und das Ergebnis ist immer noch >0: (würde [mm] $\delta=0.1$ [/mm] hier funktionieren?)
[mm] $\Rightarrow (x\pm\delta_1)^2 [/mm] - [mm] (y\pm\delta_2)=\ldots>0$ [/mm]
> ist hier nun der Radius mitgemeint?
Mit [mm] $\delta$ [/mm] meine ich das [mm] $\delta$ [/mm] in meinem post. Ich helf ja gern, wenn Du was nicht verstehst, aber es wäre nett, wenn Du Dir die Antwort zumindest mal durchlesen würdest.
ciao
Stefan
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