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Hallo ihr Mathe Freaks ;)
Ist dieser Beweis für die Assoziativität der Operation x [mm] \* [/mm] y = [mm] \frac{x*y}{2} [/mm] gültig?
(x [mm] \* [/mm] y) [mm] \* [/mm] z = x [mm] \* [/mm] (y [mm] \* [/mm] z)
[mm] (\frac{x * y}{2}) \* [/mm] z = x [mm] \* (\frac{x*y}{2})
[/mm]
[mm] \frac{\frac{x*y}{2}*y}{2} [/mm] = [mm] \frac{x*\frac{x*y}{2}}{2}
[/mm]
[mm] \frac{\frac{x*y*x}{2}}{2} [/mm] = [mm] \frac{\frac{x*y*x}{2}}{2}
[/mm]
[mm] \frac{2*x*y*x}{2} [/mm] = [mm] \frac{2*x*y*x}{2}
[/mm]
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> Hallo ihr Mathe Freaks ;)
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> Ist dieser Beweis für die Assoziativität der Operation x
> [mm]\*[/mm] y = [mm]\frac{x*y}{2}[/mm] gültig?
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> (x [mm]\*[/mm] y) [mm]\*[/mm] z = x [mm]\*[/mm] (y [mm]\*[/mm] z)
> [mm](\frac{x * y}{2}) \*[/mm] z = x [mm]\* (\frac{x*y}{2})[/mm]
Linke Seite ist richtig. Rechte Seite müsste [mm]x\star \left( \frac{y\cdot z}{2} \right)[/mm] lauten.
> [mm]\frac{\frac{x*y}{2}*y}{2}[/mm] = [mm]\frac{x*\frac{x*y}{2}}{2}[/mm]
Folgefehler....
> [mm]\frac{\frac{x*y*x}{2}}{2}[/mm] = [mm]\frac{\frac{x*y*x}{2}}{2}[/mm]
> [mm]\frac{2*x*y*x}{2}[/mm] = [mm]\frac{2*x*y*x}{2}[/mm]
Für gewönhlich fängt man so an
[mm](x\star y)\star z=\ldots = x\star (y\star z)[/mm]
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> > Hallo ihr Mathe Freaks ;)
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> > Ist dieser Beweis für die Assoziativität der Operation x
> > [mm]\*[/mm] y = [mm]\frac{x*y}{2}[/mm] gültig?
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> > (x [mm]\*[/mm] y) [mm]\*[/mm] z = x [mm]\*[/mm] (y [mm]\*[/mm] z)
> > [mm](\frac{x * y}{2}) \*[/mm] z = x [mm]\* (\frac{x*y}{2})[/mm]
> Linke
> Seite ist richtig. Rechte Seite müsste [mm]x\star \left( \frac{y\cdot z}{2} \right)[/mm]
> lauten.
> > [mm]\frac{\frac{x*y}{2}*y}{2}[/mm] = [mm]\frac{x*\frac{x*y}{2}}{2}[/mm]
> Folgefehler....
> > [mm]\frac{\frac{x*y*x}{2}}{2}[/mm] = [mm]\frac{\frac{x*y*x}{2}}{2}[/mm]
> > [mm]\frac{2*x*y*x}{2}[/mm] = [mm]\frac{2*x*y*x}{2}[/mm]
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> Für gewönhlich fängt man so an
> [mm](x\star y)\star z=\ldots = x\star (y\star z)[/mm]
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(x [mm] \* [/mm] y) [mm] \* [/mm] z = x [mm] \* [/mm] (y [mm] \* [/mm] z)
[mm] (\frac{x * y}{2}) \* [/mm] z = x [mm] \* (\frac{y*z}{2})
[/mm]
[mm] \frac{\frac{x*y}{2}*z}{2} [/mm] = [mm] \frac{x*\frac{y*z}{2}}{2}
[/mm]
[mm] \frac{\frac{x*y*z}{2}}{2} [/mm] = [mm] \frac{\frac{x*y*z}{2}}{2}
[/mm]
[mm] \frac{2*x*y*z}{2} [/mm] = [mm] \frac{2*x*y*z}{2}
[/mm]
so?
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> > > Hallo ihr Mathe Freaks ;)
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> > > Ist dieser Beweis für die Assoziativität der Operation x
> > > [mm]\*[/mm] y = [mm]\frac{x*y}{2}[/mm] gültig?
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> > > (x [mm]\*[/mm] y) [mm]\*[/mm] z = x [mm]\*[/mm] (y [mm]\*[/mm] z)
> > > [mm](\frac{x * y}{2}) \*[/mm] z = x [mm]\* (\frac{x*y}{2})[/mm]
> >
> Linke
> > Seite ist richtig. Rechte Seite müsste [mm]x\star \left( \frac{y\cdot z}{2} \right)[/mm]
> > lauten.
> > > [mm]\frac{\frac{x*y}{2}*y}{2}[/mm] =
> [mm]\frac{x*\frac{x*y}{2}}{2}[/mm]
> > Folgefehler....
> > > [mm]\frac{\frac{x*y*x}{2}}{2}[/mm] =
> [mm]\frac{\frac{x*y*x}{2}}{2}[/mm]
> > > [mm]\frac{2*x*y*x}{2}[/mm] = [mm]\frac{2*x*y*x}{2}[/mm]
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> > Für gewönhlich fängt man so an
> > [mm](x\star y)\star z=\ldots = x\star (y\star z)[/mm]
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> (x [mm]\*[/mm] y) [mm]\*[/mm] z = x [mm]\*[/mm] (y [mm]\*[/mm] z)
> [mm](\frac{x * y}{2}) \*[/mm] z = x [mm]\* (\frac{y*z}{2})[/mm]
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> [mm]\frac{\frac{x*y}{2}*z}{2}[/mm] = [mm]\frac{x*\frac{y*z}{2}}{2}[/mm]
> [mm]\frac{\frac{x*y*z}{2}}{2}[/mm] = [mm]\frac{\frac{x*y*z}{2}}{2}[/mm]
> [mm]\frac{2*x*y*z}{2}[/mm] = [mm]\frac{2*x*y*z}{2}[/mm]
dieser Schritt ist verdächtig
(8/2)/2 = 2 und (2*8)/2=8 !!
>
> so?
>
Auch nicht. Lieber so:
[mm](x\star y)\star z=\frac{x * y}{2}\star z=\frac{\frac{x*y}{2}*z}{2}=\frac{x*y*z}{4}=\ldots = x\star (y\star z)[/mm]
Fang bei einer Seite an und rechne dich bis zur anderen Seite durch.
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Stimmt, grober Fehler.
Bis auf den Bruch stimmte es ja, deswegen schreibe ich das jetzt aus.
Bei uns ist Gruppe auf Grundlage von Operationen definiert und Operationen erfordern den Beweis das die Operation auf der Menge abgeschlossen ist. Jedenfalls bei uns.
Wenn ich:
x [mm] \* [/mm] y = [mm] \frac{x*y}{2}
[/mm]
betrachte, ist x ein Element der Menge und y ein anderes?
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> Stimmt, grober Fehler.
> Bis auf den Bruch stimmte es ja, deswegen schreibe ich das
> jetzt aus.
Ja bitte alles der Reihe nach und nicht so untereinander, wie du schriebst.
>
> Bei uns ist Gruppe auf Grundlage von Operationen definiert
> und Operationen erfordern den Beweis das die Operation auf
> der Menge abgeschlossen ist.
Sprechen wir jetzt von Operationen einer Gruppe auf einer Menge oder Verknüpfungsvorschrift einer Gruppe
Bei der Gruppe ist die Verknüpfnung [mm] $\mu:G\times G\to [/mm] G$.
Bei der Operation einer Gruppe auf einer Menge X ist die Verknüpfnung [mm] $\mu:X\times G\to [/mm] X$
> Jedenfalls bei uns.
Du meinst eine Gruppe ist das Paar [mm] $(G,\mu)$ [/mm] mit der Menge G und der Verknüpfung [mm] $\mu:G\times G\to [/mm] G$.
>
> Wenn ich:
> x [mm]\*[/mm] y = [mm]\frac{x*y}{2}[/mm]
> betrachte, ist x ein Element der Menge und y ein anderes?
Wenn wir die Verknüpfung [mm] $\mu:G\times G\to [/mm] G$ betrachten, dann sind x und y ein Gruppenelement also aus der Menge G.
Du musst doch davon ausgehen, das die Gruppe bzgl. der Verknüpfung abgeschlossen ist, die Verknüpfung war doch gegeben. So allgemein kann man deine Frage auch nicht beantworten. Man müsste die Elemente der Gruppe kennen um Aussagen über die Abgeschlossenheit bzgl. [mm] $\star$ [/mm] zu treffen.
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> Sprechen wir jetzt von Operationen einer Gruppe auf einer
> Menge oder Verknüpfungsvorschrift einer Gruppe
Auf der Menge M = [mm] \IR [/mm] \ {0} ist auf folgende Weise eine Operation [mm] \* [/mm] definiert:
x [mm] \* [/mm] y = [mm] \frac{x*y}{2}
[/mm]
Hierbei bedeutet * die übliche Multiplikation in den reellen Zahlen. Ist M(, [mm] \* [/mm] ) eine Gruppe?
Also ersteres, wobei es ja auch eine Verknüpfungsvorschrift ist?
Aber ich bin mir immer noch unsicher was jetzt ein Element der Menge ist und was nicht.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:07 Do 19.01.2012 | | Autor: | chrisno |
Alle reellen Zahlen außer der Null.
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x und y haben die Form einer reellen Zahl, das ist mir klar.
Aber ist in [mm] \frac{x*y}{2} [/mm] x und y jeweils ein eigenständiges Element der Menge oder ist der ganze Term ein Element?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:04 Do 19.01.2012 | | Autor: | chrisno |
[mm] $\bruch{x * y}{2}$ [/mm] ist die Rechenvorschrift.
Beispiel: 5 und 7 sind die Elemente x und y aus der Menge. 12,5 ist dann das Element, das durch die Verknüpfung zugeordnet wird.
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> [mm]\bruch{x * y}{2}[/mm] ist die Rechenvorschrift.
> Beispiel: 5 und 7 sind die Elemente x und y aus der Menge.
> 12,5 ist dann das Element, das durch die Verknüpfung
> zugeordnet wird.
12,5?
[mm] \frac{5*7}{2} [/mm] ist doch 17,5 ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:05 Do 19.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
das war ein leicht zu sehender Tipfehler
Gruss leduart
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Tut mir leid, bin halt noch unsicher beim Thema.
Dann ist die Antwort verständlich, Danke.
Kommt man so auf das neutrale Element?
a*e = a
[mm] \frac{e*a}{2} [/mm] = a | *2
[mm] \frac{2*e*a}{2a} [/mm] = 2a |:a
[mm] \frac{e*a}{a} [/mm] = [mm] \frac{2a}{a}
[/mm]
e = 2
Stimmt das hier für inverse Elemente?
a * a' = e
[mm] \frac{x*y}{2} [/mm] * [mm] \frac{4}{x*y} [/mm] = e
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:52 Do 19.01.2012 | | Autor: | chrisno |
Ich finde, für das neutrale Element sieht das gut aus. Du musst es nur noch anders herum aufschreiben:
Behauptung: das neutrale Element ist 2
Beweis: Sei $x [mm] \in \IR [/mm] / [mm] \{0\}$ [/mm] dann gilt [mm] $x\*2 [/mm] = ... = x$
Beim inversen Element treiben sich da ein x und ein y zu viel herum. Du suchst zu gegebenem x das Element y, für das gilt [mm] $x\*y [/mm] = e$ Welches y macht das? Dann schreibst Du wieder Behauptung... Beweis....
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> Du suchst zu gegebenem x das Element y, für
> das gilt [mm]x\*y = e[/mm] Welches y macht das? Dann schreibst Du
> wieder Behauptung... Beweis....
a*a' = e
[mm] \frac{a*a'}{2} [/mm] = e |*2
[mm] \frac{2*a*a'}{2} [/mm] = 2e
a*a' = 2e |:a
a' = [mm] \frac{2e}{a}
[/mm]
a * a' = e
[mm] \frac{a * \frac{2e}{a}}{2} [/mm] = e
[mm] \frac{\frac{2*e*a}{a}}{2} [/mm] = e
[mm] \frac{2ea}{a} [/mm] * [mm] \frac{1}{2} [/mm] = e
Die Form wie es aufgeschrieben ist gewinnt keinen Preis, aber ist der Inhalt richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:21 Fr 20.01.2012 | | Autor: | chrisno |
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> a*a' = e
> [mm]\frac{a*a'}{2}[/mm] = e |*2
> [mm]\frac{2*a*a'}{2}[/mm] = 2e
> a*a' = 2e |:a
> a' = [mm]\frac{2e}{a}[/mm]
So hast Du das inverse Element gefunden. Inzwischen weißt du auch, wie groß e ist. Ich würde es allerdings auch so stehen lassen.
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>
> a * a' = e
> [mm]\frac{a * \frac{2e}{a}}{2}[/mm] = e
> [mm]\frac{\frac{2*e*a}{a}}{2}[/mm] = e
> [mm]\frac{2ea}{a}[/mm] * [mm]\frac{1}{2}[/mm] = e
Was Du hier machst, verstehe ich nicht. Letztlich steht da e=e, was zwar richtig ist, aber ohne weiteren Text keinen Erkenntnisgewinn bringt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:01 So 22.01.2012 | | Autor: | studentxyz |
Ja, inklusive Rechenfehler steht da tatsächlich e=2.
Sollte wohl die Probe sein, weiss ich nicht mehr.
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