Operationen binärer Funktionen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:24 Fr 28.10.2005 | | Autor: | Franzie |
Hallöchen Leute! Brauche dringend einen Lösungsanstoß zu folgender Aufgabe:
In welchen Fällen ist die (binäre) Funktion [mm] \circ [/mm] eine Opreation auf der Menge [mm] \IN [/mm] oder [mm] \IZ [/mm] oder [mm] \IR, [/mm] und in welchen Fällen ist sie assoziativ bzw. kommutativ?
hier nur ein Beispiel aus einer riesigen Tabelle, wo ich entsprechende Felder mit den Zahlbereichen und kommutativ oder assoziativ jeweil ankreuzen soll
: x [mm] \circ y:=x^{2} [/mm] -2xy+ [mm] y^{2} [/mm] wie gehe ich da ran? muss dann nämlich noch begründungen angeben. bitte gebt mir eine hilfestellung,damit ich die restliche tabelle alleine ausfüllen kann.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:59 Fr 28.10.2005 | | Autor: | taura |
Hallo Franzie!
> In welchen Fällen ist die (binäre) Funktion [mm]\circ[/mm] eine
> Opreation auf der Menge [mm]\IN[/mm] oder [mm]\IZ[/mm] oder [mm]\IR,[/mm] und in
> welchen Fällen ist sie assoziativ bzw. kommutativ?
Eine Operation auf einer Menge M ist definiert als eine Abbildung
[mm] $\circ: M\times [/mm] M [mm] \to [/mm] M; [mm] (x,y)\mapsto x\circ [/mm] y$
Das heißt, um zu überprüfen, ob deine Funktion eine Operation auf einer der Mengen darstellt, musst du zeigen (oder widerlegen), dass das Ergebnis für beliebige Zahlenpaare wieder in der entsprechenden Menge liegt.
Assoziativität gilt, wenn [mm] $(a\circ b)\circ [/mm] c = [mm] a\circ (b\circ [/mm] c)$ für alle a, b, c, aus M.
Kommutativität gilt, wenn [mm] $a\circ b=b\circ [/mm] a$ für alle a, b aus M.
> hier nur ein Beispiel aus einer riesigen Tabelle, wo ich
> entsprechende Felder mit den Zahlbereichen und kommutativ
> oder assoziativ jeweil ankreuzen soll
> : x [mm]\circ y:=x^{2}[/mm] -2xy+ [mm]y^{2}[/mm] wie gehe ich da ran? muss
> dann nämlich noch begründungen angeben. bitte gebt mir eine
> hilfestellung,damit ich die restliche tabelle alleine
> ausfüllen kann.
Setze in die obigen Definitionen einfach mal diese konkrete Abbildungsvorschrift ein. Wenn du jetzt zwei Zahlen aus [mm] $\IN$ [/mm] einsetzt, liegt das Ergebnis dann immer in [mm] $\IN$? [/mm] Wie ist es bei [mm] $\IZ$, [/mm] wie bei [mm] $\IR$? [/mm] Was passiert wenn du drei Zahlen einsetzt und "umklammerst"? Was wenn du bei zweien die Reihenfolge vertauschst?
Wenn du möchtest, kannst du hier gerne deine Ergebnisse posten, dann kann sie jemand überprüfen 
Gruß taura
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:25 Fr 28.10.2005 | | Autor: | Franzie |
Hi! also ich hab jetzt den ersten teil der aufgabe gelöst und bitte gegebenfalls um korrektur,wenn mir ein fehler unterlaufen ist.
a)x [mm] \circ [/mm] y:= [mm] x^{2}-2xy+ y^{2} [/mm] liegt in [mm] \IN, \IZ, \IR
[/mm]
b)x [mm] \circ [/mm] y:= (x+y)/2 liegt in [mm] \IR
[/mm]
c)x [mm] \circ [/mm] y:=(x*(x+19+(y*(y+1))/2, [mm] \IR [/mm]
d)x [mm] \circ y:=\wurzel{xy} [/mm] liegt in [mm] \IR
[/mm]
e)x [mm] \circ y:=x^{y} [/mm] liegt in [mm] \IN, \IZ, \IR [/mm]
f)x [mm] \circ [/mm] y:=x+y+1 liegt in [mm] \IN, \IZ, \IR
[/mm]
g)x [mm] \circ [/mm] y:= |x | liegt in [mm] \IN, \IZ, \IR
[/mm]
ist das so korrekt?
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Hallo!
> Hi! also ich hab jetzt den ersten teil der aufgabe gelöst
> und bitte gegebenfalls um korrektur,wenn mir ein fehler
> unterlaufen ist.
> a)x [mm]\circ[/mm] y:= [mm]x^{2}-2xy+ y^{2}[/mm] liegt in [mm]\IN, \IZ, \IR[/mm]
>
> b)x [mm]\circ[/mm] y:= (x+y)/2 liegt in [mm]\IR[/mm]
> c)x [mm]\circ[/mm] y:=(x*(x+19+(y*(y+1))/2, [mm]\IR[/mm]
> d)x [mm]\circ y:=\wurzel{xy}[/mm] liegt in [mm]\IR[/mm]
> e)x [mm]\circ y:=x^{y}[/mm] liegt in [mm]\IN, \IZ, \IR[/mm]
> f)x [mm]\circ[/mm] y:=x+y+1 liegt in [mm]\IN, \IZ, \IR[/mm]
> g)x [mm]\circ[/mm]
> y:= |x | liegt in [mm]\IN, \IZ, \IR[/mm]
>
> ist das so korrekt?
Also, ich hoffe, ich habe mich jetzt nicht verguckt, aber ich bin der Meinung, dass alles richtig ist. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:48 Di 01.11.2005 | | Autor: | taura |
Hallo Franzie!
> e)x [mm]\circ y:=x^{y}[/mm] liegt in [mm]\IN, \IZ, \IR[/mm]
Das stimmt leider nicht ganz: Diese Verknüpfung ist keine Operation auf [mm] $\IZ$, [/mm] folgendes Gegenbeispiel:
x=3, y=-1, dann ist [mm] $x\circ y=3^{-1}=\br{1}{3}\not\in \IZ$
[/mm]
Gruß taura
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