Operationscharakeristik < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:12 Mo 31.05.2004 | | Autor: | Conney |
Hallo! 
Ich hab ein paar Probleme bei der folgenden Aufgabe: (Stochastik, Cornelsen, S.149, Nr.18)
Brechne die Werte der Operationscharakteristik für [mm] p\in{0,5;0,6;0,7;0,8;0,9;1} [/mm] des folgenden Tests mit der Stichprobe n=100, der Nullhypothese [mm] H_0: [/mm] p=0,5, der Alternativhypothese [mm] H_1: [/mm] p>0,5 und der Prüfgröße X: Die Entscheidung für [mm] H_0 [/mm] soll bei [mm] X\le67 [/mm] erfolgen, andernfalls entscheide man sich für [mm] H_1.
[/mm]
a) Rechne mit Hilfe der exakten Binominalverteilung.
Ich denke das geht so: F(100;p;67)
F(100;0,5;67)=0,9998 F(100;0,6;67)=0,9385 F(100;0,7;67)=0,2893 F(100;0,8;67)=0,0446 F(100;0,9;67)=0,0001
F(100;1;67)=0
stimmen diese Ergebnisse?
b)Rechne mit Hilfe der Näherung nach Laplace-Moivre.
Was bedeutet das??? (Wo ist der Unterschied zu a)?) ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
d)Wie groß ist die bedingte Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art? Kann man diese Größe direkt aus dem Graphen der OC-Funktion entnehmen?
[mm] \alpha=1-F(100;0,5;67)=1-0,9385=0,0615
[/mm]
Ich denke, man könnte es auch aus der Zeichnung entnehmen, (nur wenn sie sehr genau ist). Denn man kann den Abstand nach oben, also Abstand zwischen 1 und OC-Funktion, messen...
stimmt das?
Worin liegt der Unterschied, wenn man eine OC-Funktion mit Hilfe der Binominalverteilung oder mit Hilfe von Laplace-Moivre zeichnet?![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Danke! ![[anbet]](/images/smileys/anbet.gif "[anbet]")
Conney
|
|
| |
|
Hallo mal wieder!
> Ich hab ein paar Probleme bei der folgenden Aufgabe:
> (Stochastik, Cornelsen, S.149, Nr.18)
>
> Brechne die Werte der Operationscharakteristik für
> [mm] p\in{0,5;0,6;0,7;0,8;0,9;1} [/mm] des folgenden Tests mit der
> Stichprobe n=100, der Nullhypothese [mm] H_0: [/mm] p=0,5, der
> Alternativhypothese [mm] H_1: [/mm] p>0,5 und der Prüfgröße X: Die
> Entscheidung für [mm] H_0 [/mm] soll bei [mm] X\le67 [/mm] erfolgen, andernfalls
> entscheide man sich für [mm] H_1.
[/mm]
>
> a) Rechne mit Hilfe der exakten Binominalverteilung.
> Ich denke das geht so: F(100;p;67)
> F(100;0,5;67)=0,9998 F(100;0,6;67)=0,9385
> F(100;0,7;67)=0,2893 F(100;0,8;67)=0,0446
> F(100;0,9;67)=0,0001
> F(100;1;67)=0
> stimmen diese Ergebnisse?
Sieht gut aus. Aber ich prüfe jetzt nicht alle Werte nach. Ich vertraue Deinen Künsten, aus Tabellen abzulesen 
> b)Rechne mit Hilfe der Näherung nach Laplace-Moivre.
> Was bedeutet das??? (Wo ist der Unterschied zu a)?)
Hast Du dazu denn nichts in eurem Buch gefunden? Die Näherung mit Laplace-Moivre bedeutet, dass Du statt der Binomialverteilung die Normalverteilung benutzt (nach dem zentralen Grenzwertsatz sind ja große Summen von unabhängigen Zufallsvariablen näherungsweise standardnormalverteilt). Für eine binomialverteilte Zufallsvariable mit Parametern $n$ und $p$ gilt deshalb:
[mm] P(X\le k) \approx \Phi\left(\frac{k-np}{\sqrt{np(1-p)}}\right)[/mm]
Dabei bezeichnet [mm] $\Phi$ [/mm] die Verteilungsfunktion der N(0,1)-Verteilung, also der Standardnormalverteilung. Deren Werte kann man auch in einer Tabelle ablesen. Manchmal benutzt man noch eine sogenannte Stetigkeitskorrektur, um die Näherung noch zu verbessern. Dann rechnet man mit
[mm] P(X\le k) \approx \Phi\left(\frac{k+0.5-np}{\sqrt{np(1-p)}}\right)[/mm]
Aber das solltest Du so handhaben wie in Deinem Buch angegeben. Ich habe es leider nicht hier. Sonst hätte ich Dir diese eventuelle Verwirrung erspart.
> d)Wie groß ist die bedingte Wahrscheinlichkeit für einen
> Fehler 1. Art? Kann man diese Größe direkt aus dem Graphen
> der OC-Funktion entnehmen?
> [mm] \alpha=1-F(100;0,5;67)=1-0,9385=0,0615
[/mm]
> Ich denke, man könnte es auch aus der Zeichnung entnehmen,
> (nur wenn sie sehr genau ist). Denn man kann den Abstand
> nach oben, also Abstand zwischen 1 und OC-Funktion,
> messen...
> stimmt das?
Bin völlig einverstanden.
> Worin liegt der Unterschied, wenn man eine OC-Funktion mit
> Hilfe der Binominalverteilung oder mit Hilfe von
> Laplace-Moivre zeichnet?
Das zweite ist eben nur eine Näherung, während das erste die exakten Werte angibt.
Viele Grüße
Brigitte
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:31 Di 01.06.2004 | | Autor: | Conney |
Hi!
Danke für den Hinweis mit der Seite.
Na ja, ich bin jetzt weiter gekommen und trotzdem hänge ich wieder.
Ich habe Folgendes getan:
Habe immer in die Fromel [mm] \phi\left({k-np\br\wurzel{np(1-p)}}\right) [/mm] eingesetzt.
Meine Ergebnisse: p=0,5 [mm] \phi(3,4)=0,9997
[/mm]
p=0,6 [mm] \phi(1,43)=0,9222
[/mm]
p=0,7 [mm] \phi(-0,6555)=1-\phi(0,6555)=1-0,7422=0,2578
[/mm]
p=0,8 [mm] \phi(-3,25)=1-\phi(3,25)=1-0,9994=0,0006
[/mm]
Jetzt mein eigentliches Problem: [mm] \phi(-7,67)=1-\phi(7,67)=??? [/mm] Die Tabelle endet bei 3,49, wie kann ich jetzt trotzdem ein Ergebnis bekommen? (Gibt es da irgendeinen Trick???)
Danke!
MfG
Conney
PS:
Ich muss morgen ein Referat über die OC-Funktion halten, deswegen stell ich die ganze Zeit Fragen.
Kann mir jemand vielleicht sagen, ob meine Ergebnisse richtig sind??? *bitte*
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:48 Di 01.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Conney!
> Danke für den Hinweis mit der Seite.
> Na ja, ich bin jetzt weiter gekommen und trotzdem hänge
> ich wieder.
> Ich habe Folgendes getan:
> Habe immer in die Fromel
> [mm] \phi\left({k-np\br\wurzel{np(1-p)}}\right) [/mm] eingesetzt.
> Meine Ergebnisse: p=0,5 [mm] \phi(3,4)=0,9997
[/mm]
> p=0,6 [mm] \phi(1,43)=0,9222
[/mm]
> p=0,7 [mm] \phi(-0,6555)=1-\phi(0,6555)=1-0,7422=0,2578
[/mm]
> p=0,8 [mm] \phi(-3,25)=1-\phi(3,25)=1-0,9994=0,0006
[/mm]
Das sieht gut aus. Ich habe mal ein Ergebnis stichprobenmäßig überprüft, das war richtig. Dann sollte der Rest auch richtig sein.
> Jetzt mein eigentliches Problem:
> [mm] \phi(-7,67)=1-\phi(7,67)=??? [/mm] Die Tabelle endet bei 3,49,
> wie kann ich jetzt trotzdem ein Ergebnis bekommen? (Gibt es
> da irgendeinen Trick???)
Naja. Das Ergebnis ist extrem nahe an $0$, so dass du beruhigt
[mm] $\phi(-7,67) \approx [/mm] 0$
schreiben darfst. ![[bindafuer]](/images/smileys/bindafuer.gif "[bindafuer]")
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
|
