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Operationscharakeristik: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:12 Mo 31.05.2004
Autor: Conney

Hallo! :-)

Ich hab ein paar Probleme bei der folgenden Aufgabe: (Stochastik, Cornelsen, S.149, Nr.18)

Brechne die Werte der Operationscharakteristik für [mm] p\in{0,5;0,6;0,7;0,8;0,9;1} [/mm] des folgenden Tests mit der Stichprobe n=100, der Nullhypothese [mm] H_0: [/mm] p=0,5, der Alternativhypothese [mm] H_1: [/mm] p>0,5 und der Prüfgröße X: Die Entscheidung für [mm] H_0 [/mm] soll bei [mm] X\le67 [/mm] erfolgen, andernfalls entscheide man sich  für [mm] H_1. [/mm]

a) Rechne mit Hilfe der exakten Binominalverteilung.
Ich denke das geht so: F(100;p;67)
F(100;0,5;67)=0,9998   F(100;0,6;67)=0,9385   F(100;0,7;67)=0,2893   F(100;0,8;67)=0,0446   F(100;0,9;67)=0,0001  
F(100;1;67)=0
stimmen diese Ergebnisse?

b)Rechne mit Hilfe der Näherung nach Laplace-Moivre.
Was bedeutet das??? (Wo ist der Unterschied zu a)?)  [verwirrt]

d)Wie groß ist die bedingte Wahrscheinlichkeit  für einen Fehler 1. Art? Kann man diese Größe direkt aus dem Graphen der OC-Funktion entnehmen?
[mm] \alpha=1-F(100;0,5;67)=1-0,9385=0,0615 [/mm]
Ich denke, man könnte es auch aus der Zeichnung entnehmen, (nur wenn sie sehr genau ist). Denn man kann den Abstand nach oben, also Abstand zwischen 1 und OC-Funktion, messen...
stimmt das?

Worin liegt der Unterschied, wenn man eine OC-Funktion mit Hilfe der Binominalverteilung oder mit Hilfe von Laplace-Moivre zeichnet?[keineahnung]

Danke! [anbet]

Conney

        
Bezug
Operationscharakeristik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:25 Di 01.06.2004
Autor: Brigitte

Hallo mal wieder!

> Ich hab ein paar Probleme bei der folgenden Aufgabe:
> (Stochastik, Cornelsen, S.149, Nr.18)
>
> Brechne die Werte der Operationscharakteristik für
> [mm] p\in{0,5;0,6;0,7;0,8;0,9;1} [/mm] des folgenden Tests mit der
> Stichprobe n=100, der Nullhypothese [mm] H_0: [/mm] p=0,5, der
> Alternativhypothese [mm] H_1: [/mm] p>0,5 und der Prüfgröße X: Die
> Entscheidung für [mm] H_0 [/mm] soll bei [mm] X\le67 [/mm] erfolgen, andernfalls
> entscheide man sich  für [mm] H_1. [/mm]
>  
> a) Rechne mit Hilfe der exakten Binominalverteilung.
>  Ich denke das geht so: F(100;p;67)
> F(100;0,5;67)=0,9998   F(100;0,6;67)=0,9385  
> F(100;0,7;67)=0,2893   F(100;0,8;67)=0,0446  
> F(100;0,9;67)=0,0001  
> F(100;1;67)=0
>  stimmen diese Ergebnisse?

Sieht gut aus. Aber ich prüfe jetzt nicht alle Werte nach. Ich vertraue Deinen Künsten, aus Tabellen abzulesen ;-)

> b)Rechne mit Hilfe der Näherung nach Laplace-Moivre.
>  Was bedeutet das??? (Wo ist der Unterschied zu a)?)  

Hast Du dazu denn nichts in eurem Buch gefunden? Die Näherung mit Laplace-Moivre bedeutet, dass Du statt der Binomialverteilung die Normalverteilung benutzt (nach dem zentralen Grenzwertsatz sind ja große Summen von unabhängigen Zufallsvariablen näherungsweise standardnormalverteilt). Für eine binomialverteilte Zufallsvariable mit Parametern $n$ und $p$ gilt deshalb:

[mm] P(X\le k) \approx \Phi\left(\frac{k-np}{\sqrt{np(1-p)}}\right)[/mm]
  
Dabei bezeichnet [mm] $\Phi$ [/mm] die Verteilungsfunktion der N(0,1)-Verteilung, also der Standardnormalverteilung. Deren Werte kann man auch in einer Tabelle ablesen. Manchmal benutzt man noch eine sogenannte Stetigkeitskorrektur, um die Näherung noch zu verbessern. Dann rechnet man mit

[mm] P(X\le k) \approx \Phi\left(\frac{k+0.5-np}{\sqrt{np(1-p)}}\right)[/mm]

Aber das solltest Du so handhaben wie in Deinem Buch angegeben. Ich habe es leider nicht hier. Sonst hätte ich Dir diese eventuelle Verwirrung erspart.

> d)Wie groß ist die bedingte Wahrscheinlichkeit  für einen
> Fehler 1. Art? Kann man diese Größe direkt aus dem Graphen
> der OC-Funktion entnehmen?
>  [mm] \alpha=1-F(100;0,5;67)=1-0,9385=0,0615 [/mm]
>  Ich denke, man könnte es auch aus der Zeichnung entnehmen,
> (nur wenn sie sehr genau ist). Denn man kann den Abstand
> nach oben, also Abstand zwischen 1 und OC-Funktion,
> messen...
>  stimmt das?

Bin völlig einverstanden.

> Worin liegt der Unterschied, wenn man eine OC-Funktion mit
> Hilfe der Binominalverteilung oder mit Hilfe von
> Laplace-Moivre zeichnet?[keineahnung]

Das zweite ist eben nur eine Näherung, während das erste die exakten Werte angibt.

Viele Grüße
Brigitte

Bezug
        
Bezug
Operationscharakeristik: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:01 Di 01.06.2004
Autor: Stefan

Hallo Conney!

> b)Rechne mit Hilfe der Näherung nach Laplace-Moivre.
>  Was bedeutet das??? (Wo ist der Unterschied zu a)?)  
> [verwirrt]

Schau doch mal auf Seite 108. Dort ist die Näherung, die ja auch Brigitte erwähnt hat, angegeben. Ohne Stetigkeitsausgleich.

Wenn du damit nicht klar kommst, dann melde dich bitte wieder. :-)

Liebe Grüße
Stefan  


Bezug
                
Bezug
Operationscharakeristik: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:31 Di 01.06.2004
Autor: Conney

Hi!
Danke für den Hinweis mit der Seite. :-)
Na ja, ich bin jetzt weiter gekommen und trotzdem hänge ich wieder.
Ich habe Folgendes getan:
Habe immer in die Fromel [mm] \phi\left({k-np\br\wurzel{np(1-p)}}\right) [/mm] eingesetzt.
Meine Ergebnisse: p=0,5 [mm] \phi(3,4)=0,9997 [/mm]
p=0,6 [mm] \phi(1,43)=0,9222 [/mm]
p=0,7 [mm] \phi(-0,6555)=1-\phi(0,6555)=1-0,7422=0,2578 [/mm]
p=0,8 [mm] \phi(-3,25)=1-\phi(3,25)=1-0,9994=0,0006 [/mm]
Jetzt mein eigentliches Problem: [mm] \phi(-7,67)=1-\phi(7,67)=??? [/mm] Die Tabelle endet bei 3,49, wie kann ich jetzt trotzdem ein Ergebnis bekommen? (Gibt es da irgendeinen Trick???) [verwirrt]

Danke! [anbet]

MfG
Conney

PS:
Ich muss morgen ein Referat über die OC-Funktion halten, deswegen stell ich die ganze Zeit Fragen.
Kann mir jemand vielleicht sagen, ob meine Ergebnisse richtig sind??? *bitte*

Bezug
                        
Bezug
Operationscharakeristik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:48 Di 01.06.2004
Autor: Stefan

Hallo Conney!

> Danke für den Hinweis mit der Seite. :-)
>  Na ja, ich bin jetzt weiter gekommen und trotzdem hänge
> ich wieder.
>  Ich habe Folgendes getan:
>  Habe immer in die Fromel
> [mm] \phi\left({k-np\br\wurzel{np(1-p)}}\right) [/mm] eingesetzt.
>  Meine Ergebnisse: p=0,5 [mm] \phi(3,4)=0,9997 [/mm]
>  p=0,6 [mm] \phi(1,43)=0,9222 [/mm]
>  p=0,7 [mm] \phi(-0,6555)=1-\phi(0,6555)=1-0,7422=0,2578 [/mm]
>  p=0,8 [mm] \phi(-3,25)=1-\phi(3,25)=1-0,9994=0,0006 [/mm]

Das sieht gut aus. Ich habe mal ein Ergebnis stichprobenmäßig überprüft, das war richtig. Dann sollte der Rest auch richtig sein. :-)

>  Jetzt mein eigentliches Problem:
> [mm] \phi(-7,67)=1-\phi(7,67)=??? [/mm] Die Tabelle endet bei 3,49,
> wie kann ich jetzt trotzdem ein Ergebnis bekommen? (Gibt es
> da irgendeinen Trick???) [verwirrt]

Naja. Das Ergebnis ist extrem nahe an $0$, so dass du beruhigt

[mm] $\phi(-7,67) \approx [/mm] 0$

schreiben darfst. [bindafuer]

Liebe Grüße
Stefan
  

Bezug
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