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Operator Exponent < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Operator Exponent: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 17:40 Mo 17.10.2016
Autor: Jellal

Guten Abend,

ich frage mich gerade, wie ich eine bestimmte Sache rechnen kann:

Seien A und B Operatoren und v ein Vektor:
Wenn gilt A*v=a*v und B*v=b*v (v ist Eigenwert von beiden Operatoren zu a,b [mm] \in \IC). [/mm]
Dann gilt doch [mm] e^{A+B}*v=e^{a+b}*v. [/mm] Das folgt unmittelbar aus der Reihendarstellung der e-Funktion.

Was aber passiert, wenn v kein Eigenvektor von beiden ist?
Selbst, wenn A und B kommutieren, das heißt, wenn gilt [mm] e^{A+B}=e^{A}*e^{B}, [/mm] dann passiert doch etwas ziemlich chaotisches, oder?

Gruß

Jellal

        
Bezug
Operator Exponent: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:22 Mo 17.10.2016
Autor: hippias

Ich vermute Du liegst richtig, dass im allgemeinen Fall vermutlich wenig zu sagen ist. Aber ich vermute auch, dass es sich um eine Fragestellung aus der Quantenmechanik handelt, sodass die Operatoren hermitisch sind, also diagonalisierbar, und in dem Fall, dass sie kommutieren, gemeinsam diagonalisierbar. Daher ist die von Dir beschriebene Situation für diese Anwendung die Regel.

Bezug
                
Bezug
Operator Exponent: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:28 Mo 17.10.2016
Autor: Jellal

Hallo hippias,

du hast Recht, es kommt aus der Quantenmechanik, genauer Quantenoptik.

A und B sind jeweils nicht hermitesch, aber A+B dagegen schon.

Bezug
                        
Bezug
Operator Exponent: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:44 Di 18.10.2016
Autor: hippias

Ich glaube, dass ich Dir nicht weiterhelfen kann - wobei mir aber auch nicht klar ist, worin das Problem genau besteht. Wenn also $A$, $B$ kommutierende Operatoren sind, sodass $C= A+B$ hermitisch ist, so besitzt $C$ einen Eigenvektor $v$ mit z.B. $Cv= [mm] \lambda [/mm] v$. Dann gilt [mm] $e^{B}v= e^{\lambda}e^{-A}v$. [/mm]

Jedoch ist $A$ mehr oder weniger willkürlich, denn die Situation lässt sich im Grunde allgemein so modellieren: Sei $A$ ein beliebiger Operator und [mm] $\lambda\in \IR$. [/mm] Setze $B= [mm] \lambda-A$ [/mm] und $C= A+B$.

Bezug
        
Bezug
Operator Exponent: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:31 Mi 19.10.2016
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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