Operatornorm < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:15 Mi 17.11.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Habe gerade bei den Übungsaufgaben festgestellt, dass ich gar nicht weiß, was eine Operatornorm ist.
Also Normen kenne ich ja, eine Abbildung, für die gewisse Eigenschaften gelten...
Und Operatornorm dachte ich, ist z. B. eine Matrixnorm, oder? Aber was genau unterscheidet denn eine Operatornorm von einer "ganz normalen" Norm? (Ich soll nämlich zeigen, dass die Schurnorm keine Operatornorm ist. - Das nur, falls es jemanden interessiert, ich wollte aber versuchen, das dann selber zu beweisen.)
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:37 Mi 17.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Es wäre wirklich sinnvoll, wenn du die Fragen demnächst etwas früher stellen könntest und nicht mit so kurzer Fälligkeit. Am besten du stellst sie sofort, wenn du den neuen Zettel bekommst. Dann bleibt auch noch Zeit zum Diskutieren. Okay? 
So, jetzt zu deiner Frage:
Die reellen $(m [mm] \times [/mm] n)$-Matrizen bilden ja einen reellen Vektorraum, auf dem man natürlich ganz normal Normen einführen kann, sogenannte Matrixnormen. Wir wollen uns jetzt aber mit ganz speziellen Matrixnormen beschäftigen, den sogenannten natürlichen Matrixnormen (auch: induzierte Matrixnormen, Operatornormen).
Diese werden durch bereits bestehende Vektornormen induziert.
Genauer: Eine $(m [mm] \times [/mm] n)$-Matrix beschreibt ja via
[mm] $\begin{array}{ccc} \IR^n & \to & \IR^m \\[5pt] x & \mapsto & Ax \end{array}$
[/mm]
eine lineare Abildung vom [mm] $\IR^n$ [/mm] in den [mm] $\IR^m$. [/mm] Wir nehmen nun an, dass auf dem [mm] $\IR^n$ [/mm] eine Norm [mm] $\Vert \cdot \Vert_1$ [/mm] und auf dem [mm] $\IR^m$ [/mm] eine Norm [mm] $\Vert \cdot \Vert_2$ [/mm] gegeben ist.
Dann definieren wir uns:
[mm] $\Vert [/mm] A [mm] \Vert_{1,2}:= \sup\limits_{x \in \IR^n \setminus \{0\}} \frac{\Vert Ax \Vert_2}{\Vert x \Vert_1} [/mm] = [mm] \max\limits_{\Vert x \Vert_1=1} \Vert [/mm] Ax [mm] \Vert_2$.
[/mm]
Dies ist eine reelle Zahl, da die stetige Funktion $x [mm] \to \Vert Ax\Vert_2$ [/mm] auf dem Kompaktum [mm] $\{x \in \IR^n\, : \, \Vert x \Vert_1 = 1\}$ [/mm] ihr Maximum annimmt. Aus der Definition folgt unmittelbar:
[mm] $\Vert [/mm] Ax [mm] \Vert_2 \le \Vert [/mm] A [mm] \Vert_{1,2} \cdot \Vert [/mm] x [mm] \Vert_1$.
[/mm]
Man überzeugt sich weiterhin leicht davon, dass dies tatsächlich eine (Matrix-)Norm ist, sprich: dass die drei Normeigenschaften gelten.
Wir betrachten jetzt speziell quadratische Matrizen, also $n [mm] \times [/mm] n$-Matrizen und eine Norm [mm] $\Vert \cdot \Vert$ [/mm] auf dem [mm] $\IR^n$. [/mm] Dann müssen für die zugehörige Operatornorm zwangsläufig die folgenden Bedingungen gelten:
(1) [mm] $\Vert [/mm] A [mm] \cdot [/mm] B [mm] \Vert \le \Vert [/mm] A [mm] \Vert \cdot \Vert [/mm] B [mm] \Vert$ [/mm] (Submultiplikativität),
(2) [mm] $\Vert E_n \Vert=1$ [/mm] (Normiertheit),
wobei [mm] $E_n$ [/mm] die $(n [mm] \times [/mm] n)$-Einheitsmatrix ist.
Beweis zu (2):
[mm] $\Vert E_n \Vert:= \sup\limits_{x \in \IR^n \setminus \{0\}} \frac{\Vert E_nx \Vert}{\Vert x \Vert} [/mm] = [mm] \sup\limits_{x \in \IR^n \setminus \{0\}} \frac{\Vert x \Vert}{\Vert x \Vert} [/mm] = [mm] \sup\limits_{x \in \IR^n \setminus \{0\}} [/mm] 1 = 1$.
Wenn du also von einer beliebig vorgegebenen Matrixnorm auf einem Vektorraum quadratischer Matrizen zeigen willst, dass diese keine Operatornorm ist, ist es meistens hilfreich (und einfach) zu zeigen, dass (1) oder (2) nicht gelten.
Versuche das doch mal für dein Beispiel!
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
|
![[]](/images/popup.gif){kind=small}
http://www.infomia.com/wiki,index,goto,L1-Norm.html#Operatornormen