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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:35 Mi 15.09.2010 | | Autor: | moerni |
Hallo.
Ich kenne für die Operatornorm von einer linearen beschränkten Abbildung T: X [mm] \to [/mm] Y folgende Definition:
[mm] \parallel [/mm] T [mm] \parallel [/mm] := [mm] sup\{\parallel Tx \parallel_Y: \parallel x \parallel_X \le 1\}
[/mm]
Wenn ich in meinem Skript weitergehe, werden folgende Gleichheiten benutzt:
[mm] \parallel [/mm] T [mm] \parallel [/mm] = [mm] sup_{x \in X \backslash \{0\}} \frac{\parallel Tx \parallel_Y}{\parallel x \parallel_X}=inf\{C > 0 : \forall x \in X: \parallel Tx \parallel_Y \le C \parallel x \parallel_X\}
[/mm]
Kann mir jemand zeigen, warum die letzten beiden Gleichungen dasselbe definieren wie die von mir angegebene Definition der Operatornorm?
lg moerni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:53 Mi 15.09.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
Beim einen wurde nur der Vektor x normalisiert
[mm]\sup_{x \in X \backslash \{0\}} \frac{\| Tx \|_Y}{\| x \|_X}=\sup_{x \in X \backslash \{0\}} \left\| T \frac{x}{\| x \|_X} \right\|_Y=\sup_{x \in X \backslash \{0\}, \|x\|=1} \left\| T x \right\|_Y[/mm]
Und beim zweiten schaust Du Dir einfach mal die Ähnlichkeit der Definitionen an:
[mm] $\inf\{C > 0 : \forall x \in X: \| Tx \|_Y \le C \| x \|_X\}=\inf\left\{C > 0 : \forall x \in X\setminus\{0\}: \frac{\| Tx \|_Y}{\| x \|_X} \le C \right\}=\sup_{x \in X \backslash \{0\}} \frac{\| Tx \|_Y}{\| x \|_X}$
[/mm]
Das Supremum ist die *kleinste obere Schranke*, und genau die wird durch das Infimum gefunden.
ciao
Stefan
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