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Hallo
gehe zur Zeit ein Beweis durch und hänge an einer einzigen Stelle, die ich zwar schonmal erklärt bekommen habe, aber immernoch nicht verstanden habe, obwohl das anscheinend trivial ist (außer für mich).
Folgende Situation: X sei ein Banachraum, [mm] $f:X\to \mathbb{C}$ [/mm] linear und stetig.
Es gelte für die Operatornorm von f, dass [mm] $\infty \ge \|f\|=sup_{\|x\|=1}|f(x)|>1$. [/mm] Wieso existiert ein [mm] $v\in [/mm] X$ mit [mm] $\|v\|<1$ [/mm] und $f(v)=1$?
(Die Vollständigkeit von X wird man hier nicht brauchen denke ich, aber ich gebe es trotzdem mal so an)
Ich weiss wirklich nicht, wie ich aus [mm] $\|f\|=sup_{\|x\|=1}|f(x)|>1$ [/mm] so ein v kriege.
Würde mich über Hilfe freuen. Liebe Grüße
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Hallo,
> Hallo
> gehe zur Zeit ein Beweis durch und hänge an einer
> einzigen Stelle, die ich zwar schonmal erklärt bekommen
> habe, aber immernoch nicht verstanden habe, obwohl das
> anscheinend trivial ist (außer für mich).
> Folgende Situation: X sei ein Banachraum, [mm]f:X\to \mathbb{C}[/mm]
> linear und stetig.
> Es gelte für die Operatornorm von f, dass [mm]\infty \ge \|f\|=sup_{\|x\|=1}|f(x)|>1[/mm].
> Wieso existiert ein [mm]v\in X[/mm] mit [mm]\|v\|<1[/mm] und [mm]f(v)=1[/mm]?
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> (Die Vollständigkeit von X wird man hier nicht brauchen
> denke ich, aber ich gebe es trotzdem mal so an)
>
> Ich weiss wirklich nicht, wie ich aus
> [mm]\|f\|=sup_{\|x\|=1}|f(x)|>1[/mm] so ein v kriege.
Aus $ [mm] sup_{\|x\|=1}|f(x)|>1 [/mm] $ folgt, dass es $ c > 1 $ und x' mit $ [mm] \| x'\|=1$ [/mm] so dass $ |f(x')| =c $. (Das ist nur die Def. von Supremum)
Setze nun [mm] $v:=\frac{x'}{c}$.
[/mm]
> Würde mich über Hilfe freuen. Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:56 Mo 04.08.2014 | | Autor: | Schachtel5 |
Hi, danke sehr. Manchmal hakts bei mir im Kopf auf ärgerliche Weise.
Liebe Grüße und schönen Abend noch
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