Operatornorm des Ableitungsoperators < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:29 Fr 18.06.2004 | | Autor: | Matti |
Hallo,
ich habe auf dem Vektorraum [mm]\Pi_n[/mm] der Polynome [mm]p(x) = \sum_{k=0}^n a_k x^k[/mm] auf [0,1] vom Höchstgrad n mit reellen Koeffizienten den Ableitungsoperator [mm]T: \Pi_n \to \Pi_{n-1}, p \mapsto p'[/mm] gegeben und versuche, dessen Operatornorm [mm]||T|| := \sup \frac{||p'||}{||p||}, p \neq 0[/mm] zu bestimmen, und zwar (1) bzgl. der Supremumsnorm [mm]||p||_{L_\infty} := \sup_{x \in [0,1]} |p(x)|[/mm] in [mm]\Pi_n[/mm] und [mm]\Pi_{n-1}[/mm] und (2) bzgl. der Norm [mm]||p||_{C^1} := ||p||_{L_\infty} + ||p'||_{L_\infty}[/mm] in [mm]\Pi_n[/mm] und der Supremumsnorm in [mm]\Pi_{n-1}[/mm].
Zu (1) vermute ich mal, dass die Norm n beträgt. Es ist ja [mm]\frac{||nx^{n-1}||}{||x^n||} = n[/mm], also [mm]||T|| \geq n[/mm]. Ich will jetzt noch [mm]||p'||[/mm] nach oben durch [mm]n||p||[/mm] abschätzen. Mein Ansatz war: [mm]\left|\sum_{k=1}^n ka_kx^{k-1}\right| \leq \sum_{k=0}^n k|a_k|x^{k-1} \leq n \sum_{k=0}^n |a_k|[/mm], also [mm]||p'|| \leq n \sum_{k=0}^n |a_k|[/mm]. Hier komme ich allerdings nicht weiter. Sind z. B. alle [mm]a_k \geq 0[/mm], so kann man das ganze ja durch [mm]np(1) \leq n||p||[/mm] abschätzen, aber wie geht das allgemein?
Zu (2): Hier sieht man sofort, dass [mm]||p'|| \leq ||p||[/mm] ist, also vielleicht [mm]||T|| = 1[/mm]. Allerdings kann es ja kein [mm]p \neq 0[/mm] geben mit [mm]||p'|| = ||p||[/mm], denn dann wäre [mm]||p|| = 0[/mm]. Wie kann ich hier die Operatornorm nach unten abschätzen?
Wahrscheinlich sieht man es ganz schnell, aber ich komme irgendwie nicht weiter. Wäre also nett, wenn jemand helfen könnte.
Danke,
Matthias.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:09 Sa 19.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Matthias!
Peinlicherweise sehe ich die Lösung auch gerade nicht.
Ich weiß nur, dass nicht beide deine Vermutungen wahr sein können.
Gilt nämlich deine erste Vermutung, bei a), so folgt für b) aufgrund der Monotonie der Funktion
$f : [mm] \begin{array}{ccc} \IR^+ & \to [0,1] \\[5pt] x & \mapsto & \frac{x}{1+x} \end{array}$:
[/mm]
[mm] $\Vert [/mm] T [mm] \Vert [/mm] = [mm] \sup\limits_{p \ne 0} \frac{\Vert p' \Vert}{\Vert p\Vert + \Vert p' \Vert} [/mm] = [mm] \sup\limits_{p \ne 0} \frac{ \frac{\Vert p'\Vert}{\Vert p \Vert}}{1 + \frac{\Vert p' \Vert}{\Vert p \Vert}} [/mm] = [mm] \frac{n}{1+n}$.
[/mm]
Aber ich weiß noch nicht, ob a) wahr ist. ![[heul]](/images/smileys/heul.gif "[heul]")
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:17 Sa 19.06.2004 | | Autor: | Matti |
Hallo,
erstmal danke für die Hilfe. Ich weiß jetzt, dass bereits meine erste Vermutung falsch ist. Man betrachte in [mm] $\Pi_2$ [/mm] das Polynom $p(x) = [mm] x^2 [/mm] - x$. Hier ist [mm] $\frac{||2x-1||}{||x^2-x||} [/mm] = [mm] \frac{1}{\frac{1}{4}} [/mm] = 4 > 2$. Aber wie kann man sehen, wie groß [mm] $\frac{||p'||}{||p||}$ [/mm] allgemein werden kann? Ich sollte vielleicht noch sagen, dass ich den Hinweis bekommen habe, dass einer der beiden gesuchten Werte von $n$ abhängt und der andere nicht.
Gruß,
Matthias.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:49 Mo 21.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Matthias!
Ich habe jetzt wirklich (am Wochenende) schon stundenlang über die Aufgabe nachgedacht und komme auf keine adäquate Lösung. (Offensichtlich aber auch kein anderer.)
Mich würde die Lösung aber interessieren. Könntest du sie uns bitte mitteilen, sobald du sie erfährst?
Danke! 
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:05 Mo 21.06.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Stefan, hallo matti
mir geht es ganz genau gleich. Dabei hatte ich vorwiegend folgende Idee: für das Supremum von $p$ kommen jeweils 3 Kandidaten in Frage: bei $x=0$, $x=1$ und an der Stelle, wo $p'=0$ ist.
Ich kam aber auch nicht weiter, und brenne eigentlich auch darauf, die Lösung zu erfahren!
Mit lieben Grüssen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:54 Mo 21.06.2004 | | Autor: | Matti |
Hallo Stefan, hallo Paulus,
ich teile euch natürlich die Lösung mit, sobald ich sie habe (voraussichtlich Mittwoch).
Gruß,
Matthias.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:09 Mi 23.06.2004 | | Autor: | Matti |
Hallo,
wir haben heute im Tutorium die Aufgabe besprochen. Leider stellte sich heraus, dass es ein Missverständnis bei der Aufgabenstellung gegeben hatte. Obwohl von einer Berechnung der Operatornorm die Rede war, sollte in Fall (1) die Norm nur nach unten abgeschätzt werden (Beispiel [mm] $\frac{||2nx^{n-1}||}{||2x^n-1||} [/mm] = [mm] \frac{2n}{1} [/mm] = 2n$, also $||T|| [mm] \geq [/mm] 2n$) und in Fall (2) nach oben ($||T|| [mm] \leq [/mm] 1$, wie bereits gezeigt). Mein Tutor wollte nicht mehr auf die konkrete Berechnung eingehen.
Sinn der Aufgabe war es, zu erkennen, dass $T: [mm] (C^1[a,b], ||\cdot||_{C^1}) \to [/mm] (C[a,b], [mm] ||\cdot||_{L_\infty})$ [/mm] immer noch stetig ist, während $T: [mm] (C^1[a,b], ||\cdot||_{L_\infty}) \to [/mm] (C[a,b], [mm] ||\cdot||_{L_\infty})$ [/mm] unstetig ist.
Wenn jemand noch etwas herausbekommen sollte, ich bin immer noch interessiert.
Viele Grüße,
Matthias.
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