Optik/Abbildungsgleichung < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:25 So 17.01.2016 | | Autor: | QexX |
| Aufgabe | Ein Gegenstand G und ein Schirm S seinen fixiert. Mit einer Linse sei es nun möglich, im Abstand [mm] g_1=25 [/mm] cm und im Abstand [mm] g_2=35 [/mm] cm zwischen Gegenstand und Linse (Gegenstandsweite), ein scharfes Bild des Gegenstandes G auf dem Schirm S abzubilden.
a) Für welches g ist die Bildgröße B größer als die Gegenstandsgröße G?
b) Was ist die Brennweite der Linse? |
Hallo,
zu a) Es gibt ja eine Formel für die Vergrößerung eines Gegenstandes: [mm] \frac{B}{G}=\frac{b}{g}, [/mm] allerdings ist die einzige Größe, die hier gegeben ist das [mm] g_{1,2}. [/mm] Für verschiedene Gegenstandsweiten g, habe ich ja dann auch verschiedene Bildweiten [mm] b_{1,2}. [/mm] Auf welchem Weg soll man mit dieser Formel dann berechnen können wann die Bildgröße größer wird als die Gegenstandsgröße?
b) Für die Abbildung gilt i.A. die Formel [mm] \frac{1}{f}=\frac{1}{b}+\frac{1}{g}, [/mm] aber wieder ist nur g gegeben. 2 Unbekannte für eine Gleichung?
Vielen Dank schonmal für jegliche Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:30 So 17.01.2016 | | Autor: | chrisno |
Du hast zweimal die Gleichung $ [mm] \frac{1}{f}=\frac{1}{b}+\frac{1}{g}, [/mm] $. In beiden Fällen ist nur ein Wert für g bekannt. Bleiben also zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten, f und b.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:35 So 17.01.2016 | | Autor: | QexX |
Aber die Bildweite b verändert sich doch auch, wenn ich meine Gegenstandsweite verändere, da Schirm und Gegenstand gemäß Aufgabenstellung fest sein sollen.
Insofern hätte ich die Gleichungen:
(1) [mm] \frac{1}{f}=\frac{1}{b_1}+\frac{1}{g_1}
[/mm]
(2) [mm] \frac{1}{f}=\frac{1}{b_2}+\frac{1}{g_2}
[/mm]
Wie soll man das lösen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:51 So 17.01.2016 | | Autor: | chrisno |
Da hast Du recht, ich denke nach.....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:52 So 17.01.2016 | | Autor: | chrisno |
DU hast noch, dass b+g konstant ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:02 So 17.01.2016 | | Autor: | QexX |
So könnte ich mit einigem Gerechne evt. Teil b) lösen und die Brennweite f berechnen.
Aber was ist mit Teil a) der Aufgabe, wie ich bestimme, in welchem Fall die Bildgröße B größer als die Gegenstandsgröße G ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:18 So 17.01.2016 | | Autor: | chrisno |
> So könnte ich mit einigem Gerechne evt. Teil b) lösen und
> die Brennweite f berechnen.
> Aber was ist mit Teil a) der Aufgabe, wie ich bestimme, in
> welchem Fall die Bildgröße B größer als die
> Gegenstandsgröße G ist?
dann hast Du alle Größen, b1, g1, b2, g2 und kannst daraus [mm] $\br{b_1}{g_1}$ [/mm] und [mm] $\br{b_2}{g_2}$ [/mm] berechnen.
Die ganze Aufgabe lässt sich viel schneller lösen, wenn Du die Symmetrie erkennst.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:24 So 17.01.2016 | | Autor: | QexX |
Was meinst du mit "Symmetrie erkennen"?
Könntest du bitte einen konkreteren Hinweis geben, wie man die Aufgabe weniger umständlich lösen kann?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:41 So 17.01.2016 | | Autor: | chrisno |
Das möchte ich im Moment nicht. So schlimm ist die Rechnung nun wirklich nicht. Betrachte dann das Ergebnis.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:06 So 17.01.2016 | | Autor: | QexX |
Wenn ich es mal eben lösen könnte, hätte ich wohl kaum die Frage in dieses Forum gepostet. Ich wollte auch keine vollständige Lösung, sondern eine Hilfe, das Problem einfacher zu lösen.
Vielen Dank für die "Hilfe", ist wohl zu viel verlangt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:22 Di 19.01.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:45 Mo 18.01.2016 | | Autor: | chrisno |
(1) $ [mm] \frac{1}{f}=\frac{1}{b_1}+\frac{1}{g_1} [/mm] $
(2) $ [mm] \frac{1}{f}=\frac{1}{b_2}+\frac{1}{g_2} [/mm] $
mit, a, dem Abstand zwischen Gegenstand und Bild
$a = [mm] b_1 [/mm] + [mm] g_1 [/mm] = [mm] b_2 [/mm] + [mm] g_2$ [/mm] folgt [mm] $b_1 [/mm] = a - [mm] g_1$ [/mm] und [mm] $b_2 [/mm] = a - [mm] g_2$
[/mm]
Das kannst Du in (1) und (2) einsetzen.
Dann kannst Du (1) und (2) gleichsetzen und Du hast ein Gleichung für a.
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Hallöchen, ich gehe gerqade das Forum durch und suche Nach Aufgaben , die ich mal durchrechnen bzw. Nachrechnen kann.
Jetzt habe ich befolgt was Chrisno vorgeschlagen hatte:
[mm] a-g_{1}+g_{1} [/mm] = [mm] a-g_{2}+g_{2}
[/mm]
a [mm] (-g_{1}+g_{2}) [/mm] = [mm] g_{2} [/mm] - [mm] g_{1}
[/mm]
a= [mm] \bruch{g_{2} - g_{1}}{-g_{1}+g_{2}}
[/mm]
Werte einsetzen ergibt als Lösung a = 1
Für welches g ist die Bildgröße B größer als die Gegenstandsgröße G, war die Frage a) ...
Was bringt mich das jetzt weiter ?
$ [mm] \frac{B}{G}=\frac{b}{g}, [/mm] $ war die Formel und ich habe jetzt die Gegenstandsweite, a, berechnet.. stehe auf dem Schlauch und deshalb wollte ich mal diese alte Aufgabe hochkramen :)
MfG euer Hannes
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:09 Do 11.02.2016 | | Autor: | chrisno |
> Hallöchen, ich gehe gerqade das Forum durch und suche Nach
> Aufgaben , die ich mal durchrechnen bzw. Nachrechnen kann.
>
> Jetzt habe ich befolgt was Chrisno vorgeschlagen hatte:
>
> [mm]a-g_{1}+g_{1}[/mm] = [mm]a-g_{2}+g_{2}[/mm]
Das hat nichts mit dem zu tun, was ich geschrieben habe.
>
> a [mm](-g_{1}+g_{2})[/mm] = [mm]g_{2}[/mm] - [mm]g_{1}[/mm]
Voodoo, aber nicht Mathematik
>
> a= [mm]\bruch{g_{2} - g_{1}}{-g_{1}+g_{2}}[/mm]
>
> Werte einsetzen ergibt als Lösung a = 1
Ich zitiere meinen Vorschlag:
(1) $ [mm] \frac{1}{f}=\frac{1}{b_1}+\frac{1}{g_1} [/mm] $
(2) $ [mm] \frac{1}{f}=\frac{1}{b_2}+\frac{1}{g_2} [/mm] $
mit, a, dem Abstand zwischen Gegenstand und Bild
$ a = [mm] b_1 [/mm] + [mm] g_1 [/mm] = [mm] b_2 [/mm] + [mm] g_2 [/mm] $ folgt $ [mm] b_1 [/mm] = a - [mm] g_1 [/mm] $ und $ [mm] b_2 [/mm] = a - [mm] g_2 [/mm] $
Das kannst Du in (1) und (2) einsetzen.
Dann kannst Du (1) und (2) gleichsetzen und Du hast ein Gleichung für a.
In der Gleichung (1) soll also $ [mm] b_1$ [/mm] durch $ a - [mm] g_1 [/mm] $ und
in der Gleichung (2) $ [mm] b_2$ [/mm] durch $ a - [mm] g_2 [/mm] $ ersetzt werden.
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[mm] \bruch{1}{f} [/mm] = [mm] \bruch{1}{a-g_{1}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{g_{1}}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{f} [/mm] = [mm] \bruch{1}{a-g_{2}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{g_{2}}
[/mm]
Gleichsetzen:
[mm] \bruch{1}{a-g_{1}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{g_{1}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{a-g_{2}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{g_{2}}
[/mm]
Ich hatte jetzt einfach den kerhwert gebildet, damit a im Zähler steht... ansonsten wird das ja ziemlich hässlich nach a aufzulösen , oder gibt es dabei einen mathematischen Trick wie das alles einfacher geht.
Ansonsten habe ich da jetzt stehen: Nachdem ich mit beiden nennern, wo der Therm a Aufritt multipliziert habe:
[mm] \bruch{1}{a-g_{1}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{g_{1}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{a-g_{2}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{g_{2}} [/mm]
[mm] \bruch{1}{a-g_{1}}-\bruch{1}{a-g_{2}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{g_{2}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{g_{1}}
[/mm]
[mm] a-{g_{2}} [/mm] - a [mm] -{g_{1}} [/mm] = [mm] \bruch{(a-{g_{1}})*(a-{g_{2}})}{g_{2}} [/mm] - [mm] \bruch{(a-{g_{1}})*(a-{g_{2}})}{g_{1}} [/mm]
nacch dem Auflösen der Klammern kommt dabei ein sehr langer Therm raus , mit [mm] a^{2} [/mm] ... geht das auch irgendwie leichter mit einem trick?
Wenn ich jetzt a berechnet habe, wie geht es danach weiter? Mir geht es eigentlich nicht so sehr daraum a zu bestimmen, ich würde gerne die Aufgabe verstehen, wie ich mit a weiterrechne...
MfG
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Während ich auf eure Antwort warte, habe ich mal weitergerechnet und stelle euch mein Ergebnis für a vor : ( es dauert ziemlich lange, die ganzen zahlen in den Formeleditor zu packen, wenn man keine Übung drinne hat :) )
$ [mm] a-{g_{2}} [/mm] $ - a $ [mm] -{g_{1}} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{(a-{g_{1}})\cdot{}(a-{g_{2}})}{g_{2}} [/mm] $ - $ [mm] \bruch{(a-{g_{1}})\cdot{}(a-{g_{2}})}{g_{1}} [/mm] $
[mm] -{g_{2}}-{g_{1}} [/mm] = [mm] \bruch{a^{2}-a{g_{1}}+{g_{1}}*{g_{2}}}{{g_{2}}}-\bruch{a^{2}-a{g_{1}}+{g_{1}}*{g_{2}}}{{g_{1}}}
[/mm]
öhhh ja...und jetzt häng ich fest ...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:02 Do 11.02.2016 | | Autor: | chrisno |
> [mm]\bruch{1}{f}[/mm] = [mm]\bruch{1}{a-g_{1}}[/mm] + [mm]\bruch{1}{g_{1}}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{f}[/mm] = [mm]\bruch{1}{a-g_{2}}[/mm] + [mm]\bruch{1}{g_{2}}[/mm]
>
> Gleichsetzen:
>
> [mm]\bruch{1}{a-g_{1}}[/mm] + [mm]\bruch{1}{g_{1}}[/mm] = [mm]\bruch{1}{a-g_{2}}[/mm] + [mm]\bruch{1}{g_{2}}[/mm]
>
> Ich hatte jetzt einfach den kerhwert gebildet, damit a im
> Zähler steht... ansonsten wird das ja ziemlich hässlich
> nach a aufzulösen , oder gibt es dabei einen
> mathematischen Trick wie das alles einfacher geht.
Kehrwert bilden ist schon eine Idee, aber "einfach" halte ich für eine Sache der persönlichen Einschätzung.
Ein Trick ist es nicht, aber ein Hinsehen mit Intuition.
>
> Ansonsten habe ich da jetzt stehen: Nachdem ich mit beiden
> nennern, wo der Therm a Aufritt multipliziert habe:
>
> [mm]\bruch{1}{a-g_{1}}[/mm] + [mm]\bruch{1}{g_{1}}[/mm] = [mm]\bruch{1}{a-g_{2}}[/mm] + [mm]\bruch{1}{g_{2}}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{a-g_{1}}-\bruch{1}{a-g_{2}}[/mm] = [mm]\bruch{1}{g_{2}}[/mm] - [mm]\bruch{1}{g_{1}}[/mm]
>
>
> [mm]a-{g_{2}}[/mm] - a [mm]-{g_{1}}[/mm] = [mm]\bruch{(a-{g_{1}})*(a-{g_{2}})}{g_{2}}[/mm] - [mm]\bruch{(a-{g_{1}})*(a-{g_{2}})}{g_{1}}[/mm]
>
> nacch dem Auflösen der Klammern kommt dabei ein sehr
> langer Therm raus , mit [mm]a^{2}[/mm] ... geht das auch irgendwie
> leichter mit einem trick?
links vom Gleichheitszeichen fehlt eine Klammer, außerdem kann da ein wenig aufgeräumt werden.
Dann solltest Du alles mit [mm] $g_1$ [/mm] und $ [mm] g_2$ [/mm] durchmuiltiplizieren, um die Nenner loszuwerden.
Wieder aufräumen, gemeinsame Faktoren rausteilen und dann den niedlichen Rest anschauen.
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[mm]a-g_{1}+g_{1}[/mm] = [mm]a-g_{2}+g_{2}[/mm]
Das hat nichts mit dem zu tun, was ich geschrieben habe.
>
> a [mm](-g_{1}+g_{2})[/mm] = [mm]g_{2}[/mm] - [mm]g_{1}[/mm]
Voodoo, aber nicht Mathematik
>
> a= [mm]\bruch{g_{2} - g_{1}}{-g_{1}+g_{2}}[/mm]
>
> Werte einsetzen ergibt als Lösung a = 1
Moment mal, ich habe jetzt nochmal ganz langsam , Schritt für Schritt gerechnet und mein Ergebnis für a müsste doch stimmen oder ?
$ [mm] \frac{1}{f}=\frac{1}{b_1}+\frac{1}{g_1} [/mm] $
$ [mm] \frac{1}{f}=\frac{1}{b_2}+\frac{1}{g_2} [/mm] $
wird zu :
$ [mm] \bruch{1}{f} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{1}{a-g_{1}} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{1}{g_{1}} [/mm] $
$ [mm] \bruch{1}{f} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{1}{a-g_{2}} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{1}{g_{2}} [/mm] $
Jetzt stelle ich die beiden Gleichungen erstmal um , so dass f im Zähler steht: (mit f multiplizieren)
1= [mm] \bruch{f}{a-g_{1}} [/mm] + [mm] \bruch{f}{g_{1}} [/mm]
1= [mm] \bruch{f}{a-g_{2}} [/mm] + [mm] \bruch{f}{g_{2}} [/mm]
f ausklammern:
1= f ( [mm] \bruch{1}{a-g_{1}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{g_{1}} [/mm] )
1= f ( [mm] \bruch{1}{a-g_{2}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{g_{2}} [/mm] )
Jetzt teile ich durch den Klammerausdruck:
f = [mm] \bruch{1}{\bruch{1}{a-g_{1}} + \bruch{1}{g_{1}}}
[/mm]
f = [mm] \bruch{1}{\bruch{1}{a-g_{2}} + \bruch{1}{g_{2}}}
[/mm]
und das führt mich dann zu meiner Lösung, die mit Vodoo nichts zu tun hat :)
f = [mm] a-g_{1}+g_{1} [/mm]
f = [mm] a-g_{2}+g_{2}
[/mm]
Gleichsetzen:
$ [mm] a-g_{1}+g_{1} [/mm] $ = $ [mm] a-g_{2}+g_{2} [/mm] $
a ausklammern:
a $ [mm] (-g_{1}+g_{2}) [/mm] $ = $ [mm] g_{2} [/mm] $ - $ [mm] g_{1} [/mm] $
a alleine stehen lassen indem ich durch $ [mm] (-g_{1}+g_{2}) [/mm] $ teile:
a= [mm] \bruch{g_{2}}{-g_{1}+g_{2}}-\bruch{g_{1}}{-g_{1}+g_{2}} [/mm]
Werte einsetzen , ergibt für a :
a = 3,5 - 2,5 = 1
Also wenn das nicht stimmt, dann fress ichn Besen und würde gerne wissen wo genau der fehler liegt :)
MfG euer Hannes
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[mm] $f=\bruch{1}{\bruch{1}{a-g_{1}} + \bruch{1}{g_{1}}}$
[/mm]
[mm] $f=\bruch{1}{\bruch{1}{a-g_{2}} + \bruch{1}{g_{2}}}$ [/mm]
Das ist doch ein Doppelbruch oder? Und verhält sich doch wie, oder?
[mm] $\bruch{\bruch{a}{b}}{\bruch{c}{d}}= \bruch{a*d}{b*c}$
[/mm]
$f = [mm] \bruch{1}{\bruch{1}{a-g_{1}} + \bruch{1}{g_{1}}}$
[/mm]
$f = [mm] \bruch{1}{\bruch{1}{a-g_{2}} + \bruch{1}{g_{2}}}$
[/mm]
> Als erstes würde ich die beiden Brüche im Nenner
> gleichnamig machen.
Ich mache das mal für den ersten Therm exemplarisch , beim zweiten ändert sich ja dann nur der Indize.
Ich ziehe den bruch auseinander:
[mm] $\bruch{1}{a-g_{1}}+\bruch{1}{g_{1}}=\bruch{1}{a}-\bruch{1}{g_{1}}+\bruch{1}{g_{1}}$
[/mm]
[mm] $\bruch{g_{1}}{a*g_{1}}-\bruch{a}{a*g_{1}}+\bruch{a}{a*g_{1}}$
[/mm]
Hierbei fallen die beiden letzten Brüche weg , weil das eine ein minus und das andere ein plus als Vorzeichen hat und es bleibt übrig:
$f= [mm] \bruch{1}{\bruch{g_{1}}{a*g_{1}}}$
[/mm]
Jetzt folge ich der Doppelbruchregel und ziehe den unteren Therm nach oben, kürze durch [mm] ${g_{1}}$ [/mm] und dann steht da:
$f= a$
richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:00 Fr 12.02.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. falls f=a wäre wäre ja g und b kleiner f, und es gibt kein reelles Bild , wenn g<f
es wird alles einfacher, wenn du von Anfang an in der f
Formel die Brüche beseitigst- dazu multipliziere die Brennpunktgleichung mit f*g*b
dann hast du g*b=f*g+f*b
jetzt einsetzen
einmal g=25 b=a-25
einmal g=35 b=a-25
dann hebt sich einiges raus und du hast 2 sehr einfache Gleichungen mit f und a
es ist einfacher zuerst a zu bestimmen, dann erst f
zur Aufgabe a) wenn g kleiner ist also 25 ist b größer da ja g+b fest also ist dieses Bild größer!
mathematisch [mm] (B_1/G= (a-25)/25>(a-35)/35=B_2/G
[/mm]
also braucht man Teil b) nicht um a zu lösen!
Gruß ledum
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Vielen Dank, ich glaube jetzt verstehe ich es..schreibe morgen nochmal eine ausführliche Lösung wie ich es jetzt verstanden habe ...für die, die noch kommen :)
MfG und gute Nacht
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:31 Fr 12.02.2016 | | Autor: | chrisno |
> .....
> Ich mache das mal für den ersten Therm exemplarisch , beim
> zweiten ändert sich ja dann nur der Indize.
Der Index oder die Indizes
>
> Ich ziehe den bruch auseinander:
>
> [mm]\bruch{1}{a-g_{1}}+\bruch{1}{g_{1}}=\bruch{1}{a}-\bruch{1}{g_{1}}+\bruch{1}{g_{1}}[/mm]
Unfug, wie schon anderswo. Das musst Du Dir abgewöhnen.
Rechne mal ein Beispiel nach, a = 3, [mm] $g_1 [/mm] = 1$
[mm] $\br{1}{a-g_1} [/mm] = [mm] \br{1}{3-1} [/mm] = [mm] \br{1}{2}$
[/mm]
[mm] $\br{1}{a} -\br{1}{g_1} [/mm] = [mm] \br{1}{3} -\br{1}{1} [/mm] = [mm] -\br{2}{3}$
[/mm]
und das ist einfach etwas anderes.
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Hallo!
ich wundere mich doch grade sehr über die Länge der Diskussion und die Komplexität der Lösung.
Wir haben also eine Gegenstandsweite und unbekannte Bildweite, beide unterschiedlich groß.
Man kann in dem Aufbau die Rollen von Gegenstand und Bild vertauschen (die Strahlen in die andere Richtung laufen lassen), ohne den Aufbau zu verändern. Das heißt, was vorher Gegenstandweite war, ist jetzt Bildweite, und umgekehrt.
Heißt: g=25cm; b=35cm oder umgekehrt, damit f=14,58cm.
Und kleinere Gegenstandweite g heißt größere Bildhöhe B...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:16 Fr 19.02.2016 | | Autor: | chrisno |
Wie Du weiter oben lesen kannst, habe ich das absichtlich zurück gehalten.
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