Optimierung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f(x,y) := [mm] 3x^{4} [/mm] -4 [mm] x^{2} [/mm] y [mm] +y^{2}, [/mm] (x,y) [mm] \in \IR^{2}.
[/mm]
(a) Bestimmen Sie alle stationären Punkte von f.
(b) Zeigen Sie, dass f längs jeder Ursprungsgeraden im [mm] \IR^{2} [/mm] ein lokales Minimum in [mm] (x^{0},y^{0})=(0,0) [/mm] besitzt.
(c) Überprüfen Sie die hinreichende Bedingung [mm] \Delta^{2} [/mm] [ich finde dieses Symbol nicht anders herum...sorry] [mm] f(x^{0},y^{0})>0 [/mm] für ein lokales Minimum von f.
[mm] Ist(x^{0},y^{0}) [/mm] nun ein lokales Minimum der Funktion f in [mm] \IR^{2}? [/mm] |
Hallo...
ich hatte nun meine erste Vorlesung in Optimierung und sitz jetzt am ersten aufgabenblatt und erste Probleme zeigen sich.
Bei a sollen ja die stationären punkte berechnet werden dazu habe ich die 1. Ableitungen bestimmt:
[mm] fx(x,y)=12x^{3}-8xy
[/mm]
und [mm] fy(x,y)=-4x^{2}+2y
[/mm]
Um nun die stationären Punkte zu berechnen muss man diese ja nun 0 setzen also:
[mm] 12x^{3}-8xy=x(12x^{2}-8y)=0
[/mm]
[mm] -4x^{2}+2y=0
[/mm]
Aus der ersten Gleichung erhalte ich ja nun x=0 und wenn ich das in die Ableitung von y einsetze erhalte ich y=0. Also liegt ist P(0/0) ein stationärer Punkt.
Aber wie erhalte ich nun die weiteren stationärern Punkte dieser Funktion?
LG Schmetterfee
|
|
| |
|
> Gegeben ist die Funktion f(x,y) := [mm]3x^{4}[/mm] -4 [mm]x^{2}[/mm] y
> [mm]+y^{2},[/mm] (x,y) [mm]\in \IR^{2}.[/mm]
> (a) Bestimmen Sie alle
> stationären Punkte von f.
> (b) Zeigen Sie, dass f längs jeder Ursprungsgeraden im
> [mm]\IR^{2}[/mm] ein lokales Minimum in [mm](x^{0},y^{0})=(0,0)[/mm]
> besitzt.
> (c) Überprüfen Sie die hinreichende Bedingung [mm]\Delta^{2}[/mm]
> [ich finde dieses Symbol nicht anders herum...sorry]
> [mm]f(x^{0},y^{0})>0[/mm] für ein lokales Minimum von f.
> [mm]Ist(x^{0},y^{0})[/mm] nun ein lokales Minimum der Funktion f in
> [mm]\IR^{2}?[/mm]
> Hallo...
> ich hatte nun meine erste Vorlesung in Optimierung und
> sitz jetzt am ersten aufgabenblatt und erste Probleme
> zeigen sich.
> Bei a sollen ja die stationären punkte berechnet werden
> dazu habe ich die 1. Ableitungen bestimmt:
> [mm]fx(x,y)=12x^{3}-8xy[/mm]
> und [mm]fy(x,y)=-4x^{2}+2y[/mm]
> Um nun die stationären Punkte zu berechnen muss man diese
> ja nun 0 setzen also:
> [mm]12x^{3}-8xy=x(12x^{2}-8y)=0[/mm]
> [mm]-4x^{2}+2y=0[/mm]
> Aus der ersten Gleichung erhalte ich ja nun x=0
Hallo,
nicht nur!
Aus I. erhältst Du 1.x=0 oder 2. [mm] y=3/2x^2.
[/mm]
Jetzt gehst Du damit in die zweite Gleichung:
1.Fall: x=0 ==> y=0, und Du hast den Punkt (0|0), den Du schon errechnet hast.
2. Fall: [mm] y=3/2x^2
[/mm]
Nun weiter.
Gruß v. Angela
und wenn
> ich das in die Ableitung von y einsetze erhalte ich y=0.
> Also liegt ist P(0/0) ein stationärer Punkt.
> Aber wie erhalte ich nun die weiteren stationärern Punkte
> dieser Funktion?
>
> LG Schmetterfee
>
|
|
|
| |
|
> > Gegeben ist die Funktion f(x,y) := [mm]3x^{4}[/mm] -4 [mm]x^{2}[/mm] y
> > [mm]+y^{2},[/mm] (x,y) [mm]\in \IR^{2}.[/mm]
> > (a) Bestimmen Sie alle
> > stationären Punkte von f.
> > (b) Zeigen Sie, dass f längs jeder Ursprungsgeraden im
> > [mm]\IR^{2}[/mm] ein lokales Minimum in [mm](x^{0},y^{0})=(0,0)[/mm]
> > besitzt.
> > (c) Überprüfen Sie die hinreichende Bedingung
> [mm]\Delta^{2}[/mm]
> > [ich finde dieses Symbol nicht anders herum...sorry]
> > [mm]f(x^{0},y^{0})>0[/mm] für ein lokales Minimum von f.
> > [mm]Ist(x^{0},y^{0})[/mm] nun ein lokales Minimum der Funktion f
> in
> > [mm]\IR^{2}?[/mm]
> > Hallo...
> > ich hatte nun meine erste Vorlesung in Optimierung und
> > sitz jetzt am ersten aufgabenblatt und erste Probleme
> > zeigen sich.
> > Bei a sollen ja die stationären punkte berechnet
> werden
> > dazu habe ich die 1. Ableitungen bestimmt:
> > [mm]fx(x,y)=12x^{3}-8xy[/mm]
> > und [mm]fy(x,y)=-4x^{2}+2y[/mm]
> > Um nun die stationären Punkte zu berechnen muss man
> diese
> > ja nun 0 setzen also:
> > [mm]12x^{3}-8xy=x(12x^{2}-8y)=0[/mm]
> > [mm]-4x^{2}+2y=0[/mm]
> > Aus der ersten Gleichung erhalte ich ja nun x=0
>
> Hallo,
>
> nicht nur!
> Aus I. erhältst Du 1.x=0 oder 2. [mm]y=3/2x^2.[/mm]
>
> Jetzt gehst Du damit in die zweite Gleichung:
>
> 1.Fall: x=0 ==> y=0, und Du hast den Punkt (0|0), den Du
> schon errechnet hast.
>
> 2. Fall: [mm]y=3/2x^2[/mm]
> Nun weiter.
>
> Gruß v. Angela
>
>
Dann würde ich beim einsetzen wieder x=0 erhalten also wäre [mm] P_{2}=(0| \bruch{3}{2}x^{2})
[/mm]
bei der Ableitung von y erhalte ich [mm] y=2x^{2} [/mm] und beim einsetzen in die ableitung von x erhalte ich x=0 also [mm] P_{3}=(0|2x^{2})
[/mm]
stimmt das so?...gibt es noch mehr stationäre Punkte oder sind das alle?
LG Schmetterfee
|
|
|
| |
|
> > > Gegeben ist die Funktion f(x,y) := [mm]3x^{4}[/mm] -4 [mm]x^{2}[/mm] y
> > > [mm]+y^{2},[/mm] (x,y) [mm]\in \IR^{2}.[/mm]
> > > (a) Bestimmen Sie
> alle
> > > stationären Punkte von f.
> > > (b) Zeigen Sie, dass f längs jeder Ursprungsgeraden
> im
> > > [mm]\IR^{2}[/mm] ein lokales Minimum in [mm](x^{0},y^{0})=(0,0)[/mm]
> > > besitzt.
> > > (c) Überprüfen Sie die hinreichende Bedingung
> > [mm]\Delta^{2}[/mm]
> > > [ich finde dieses Symbol nicht anders herum...sorry]
> > > [mm]f(x^{0},y^{0})>0[/mm] für ein lokales Minimum von f.
> > > [mm]Ist(x^{0},y^{0})[/mm] nun ein lokales Minimum der
> Funktion f
> > in
> > > [mm]\IR^{2}?[/mm]
> > > Hallo...
> > > ich hatte nun meine erste Vorlesung in Optimierung
> und
> > > sitz jetzt am ersten aufgabenblatt und erste Probleme
> > > zeigen sich.
> > > Bei a sollen ja die stationären punkte berechnet
> > werden
> > > dazu habe ich die 1. Ableitungen bestimmt:
> > > [mm]fx(x,y)=12x^{3}-8xy[/mm]
> > > und [mm]fy(x,y)=-4x^{2}+2y[/mm]
> > > Um nun die stationären Punkte zu berechnen muss man
> > diese
> > > ja nun 0 setzen also:
> > > [mm]12x^{3}-8xy=x(12x^{2}-8y)=0[/mm]
> > > [mm]-4x^{2}+2y=0[/mm]
> > > Aus der ersten Gleichung erhalte ich ja nun x=0
> >
> > Hallo,
> >
> > nicht nur!
> > Aus I. erhältst Du 1.x=0 oder 2. [mm]y=3/2x^2.[/mm]
> >
> > Jetzt gehst Du damit in die zweite Gleichung:
> >
> > 1.Fall: x=0 ==> y=0, und Du hast den Punkt (0|0), den Du
> > schon errechnet hast.
> >
> > 2. Fall: [mm]y=3/2x^2[/mm]
> > Nun weiter.
> >
> > Gruß v. Angela
> >
> >
> Dann würde ich beim einsetzen wieder x=0 erhalten
Hallo,
ja.
Mit diesem x=0 gehst Du dann wieder in die Gleichung [mm] y=3/4x^2 [/mm] und erhältst y=0, also den Dir bereits bekannten Punkt (0|0).
Nun ist das Gleichungssystem gelöst. Es gibt außer dem errechneten keine weiteren stationären Punkte.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
> (b) Zeigen Sie, dass f längs jeder Ursprungsgeraden im
> [mm]\IR^{2}[/mm] ein lokales Minimum in [mm](x^{0},y^{0})=(0,0)[/mm]
> besitzt.
Wie tue ich dies schreib ich hier ein formalen beweis oder mache ich einfach die zweite Ableitung und zeige, dass die >0 ist...aber das muss ich doch eigentlich erst bei dem Aufgabenbereich c tun oder seh ich das falsch?
Lg Schmetterfee
|
|
|
| |
|
>
> > (b) Zeigen Sie, dass f längs jeder Ursprungsgeraden im
> > [mm]\IR^{2}[/mm] ein lokales Minimum in [mm](x^{0},y^{0})=(0,0)[/mm]
> > besitzt.
>
> Wie tue ich dies schreib ich hier ein formalen beweis
Hallo,
ja, natürlich.
Überlege Dir, wie die Gleichung einer Ursprungsgeraden lautet.
Wie sehen die Punkte aus, die darauf liegen?
Mit dieser Erkenntnis dann kannst Du f(x,y) schreiben als Funktion, die nur von x abhängt.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
> >
> > > (b) Zeigen Sie, dass f längs jeder Ursprungsgeraden im
> > > [mm]\IR^{2}[/mm] ein lokales Minimum in [mm](x^{0},y^{0})=(0,0)[/mm]
> > > besitzt.
> >
> > Wie tue ich dies schreib ich hier ein formalen beweis
>
> Hallo,
>
> ja, natürlich.
>
> Überlege Dir, wie die Gleichung einer Ursprungsgeraden
> lautet.
>
> Wie sehen die Punkte aus, die darauf liegen?
>
> Mit dieser Erkenntnis dann kannst Du f(x,y) schreiben als
> Funktion, die nur von x abhängt.
>
Also ich habe jetzt y=mx genommen und so
f(x,y) = [mm] 3x^{4}-4mx^{3}+m^{2}x^{2} [/mm] erhalten
davon die Ableitung ist f': [mm] 12x^{3}-12mx^{2}+2m^{2}x=x(12x^{2}-12mx+2m^{2})
[/mm]
Da sieht man dann wenn man es 0 setz das x=0 eine Nulstelle ist und wenn man das denn in y=mx einsetzt erhält man y=0.
Also den Punkt P(0/0) somit ist dies ein lokales Minimum ener jeden ursprungsgerade...
mehr muss doch nicht gezeigt werden oder?
LG Schmetterfee
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:24 Mi 26.05.2010 | | Autor: | abakus |
> > >
> > > > (b) Zeigen Sie, dass f längs jeder Ursprungsgeraden im
> > > > [mm]\IR^{2}[/mm] ein lokales Minimum in [mm](x^{0},y^{0})=(0,0)[/mm]
> > > > besitzt.
> > >
> > > Wie tue ich dies schreib ich hier ein formalen beweis
> >
> > Hallo,
> >
> > ja, natürlich.
> >
> > Überlege Dir, wie die Gleichung einer Ursprungsgeraden
> > lautet.
> >
> > Wie sehen die Punkte aus, die darauf liegen?
> >
> > Mit dieser Erkenntnis dann kannst Du f(x,y) schreiben als
> > Funktion, die nur von x abhängt.
> >
> Also ich habe jetzt y=mx genommen und so
> f(x,y) = [mm]3x^{4}-4mx^{3}+m^{2}x^{2}[/mm] erhalten
> davon die Ableitung ist f':
> [mm]12x^{3}-12mx^{2}+2m^{2}x=x(12x^{2}-12mx+2m^{2})[/mm]
> Da sieht man dann wenn man es 0 setz das x=0 eine
> Nulstelle ist und wenn man das denn in y=mx einsetzt
> erhält man y=0.
> Also den Punkt P(0/0) somit ist dies ein lokales Minimum
Nö. Bis jetzt ist es eine Stelle, an der MÖGLICHERWEISE ein Hoch- oder Tiefpunkt zu finden ist.
Als Test für Minimum benötigst du
- zweite Ableitung positriv
oder Vorzeichenwechsel der 1. Ableitung von - nach + , falls x aus dem negativen Bereich in den positiven Bereich wechselt.
Ach so, und der Ansatz y=mx funktioniert für EINE spezielle Ursprungsgerade nicht.
Gruß Abakus
> ener jeden ursprungsgerade...
> mehr muss doch nicht gezeigt werden oder?
>
> LG Schmetterfee
|
|
|
| |
|
> > > >
> > > > > (b) Zeigen Sie, dass f längs jeder Ursprungsgeraden im
> > > > > [mm]\IR^{2}[/mm] ein lokales Minimum in [mm](x^{0},y^{0})=(0,0)[/mm]
> > > > > besitzt.
> > > >
> > > > Wie tue ich dies schreib ich hier ein formalen beweis
> > >
> > > Hallo,
> > >
> > > ja, natürlich.
> > >
> > > Überlege Dir, wie die Gleichung einer Ursprungsgeraden
> > > lautet.
> > >
> > > Wie sehen die Punkte aus, die darauf liegen?
> > >
> > > Mit dieser Erkenntnis dann kannst Du f(x,y) schreiben als
> > > Funktion, die nur von x abhängt.
> > >
> > Also ich habe jetzt y=mx genommen und so
> > f(x,y) = [mm]3x^{4}-4mx^{3}+m^{2}x^{2}[/mm] erhalten
> > davon die Ableitung ist f':
> > [mm]12x^{3}-12mx^{2}+2m^{2}x=x(12x^{2}-12mx+2m^{2})[/mm]
> > Da sieht man dann wenn man es 0 setz das x=0 eine
> > Nulstelle ist und wenn man das denn in y=mx einsetzt
> > erhält man y=0.
> > Also den Punkt P(0/0) somit ist dies ein lokales
> Minimum
> Nö. Bis jetzt ist es eine Stelle, an der MÖGLICHERWEISE
> ein Hoch- oder Tiefpunkt zu finden ist.
> Als Test für Minimum benötigst du
> - zweite Ableitung positriv
> oder Vorzeichenwechsel der 1. Ableitung von - nach + ,
> falls x aus dem negativen Bereich in den positiven Bereich
> wechselt.
Naja [mm] f'':36x^{2}-24mx+2m^{2}
[/mm]
für x=0 ist [mm] f''=2m^{2} [/mm] also positiv und damit liegt ein minimum vor...
> Ach so, und der Ansatz y=mx funktioniert für EINE
> spezielle Ursprungsgerade nicht.
Für welche denn nicht?...für die y- Achse klappt das doch auch und für die x achse auch...
muss ich denn da noch was besonderes zeigen?
LG Schmetterfee
> Gruß Abakus
> > ener jeden ursprungsgerade...
> > mehr muss doch nicht gezeigt werden oder?
> >
> > LG Schmetterfee
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:44 Mi 26.05.2010 | | Autor: | abakus |
> > > > >
> > > > > > (b) Zeigen Sie, dass f längs jeder Ursprungsgeraden im
> > > > > > [mm]\IR^{2}[/mm] ein lokales Minimum in [mm](x^{0},y^{0})=(0,0)[/mm]
> > > > > > besitzt.
> > > > >
> > > > > Wie tue ich dies schreib ich hier ein formalen beweis
> > > >
> > > > Hallo,
> > > >
> > > > ja, natürlich.
> > > >
> > > > Überlege Dir, wie die Gleichung einer Ursprungsgeraden
> > > > lautet.
> > > >
> > > > Wie sehen die Punkte aus, die darauf liegen?
> > > >
> > > > Mit dieser Erkenntnis dann kannst Du f(x,y) schreiben als
> > > > Funktion, die nur von x abhängt.
> > > >
> > > Also ich habe jetzt y=mx genommen und so
> > > f(x,y) = [mm]3x^{4}-4mx^{3}+m^{2}x^{2}[/mm] erhalten
> > > davon die Ableitung ist f':
> > > [mm]12x^{3}-12mx^{2}+2m^{2}x=x(12x^{2}-12mx+2m^{2})[/mm]
> > > Da sieht man dann wenn man es 0 setz das x=0 eine
> > > Nulstelle ist und wenn man das denn in y=mx einsetzt
> > > erhält man y=0.
> > > Also den Punkt P(0/0) somit ist dies ein lokales
> > Minimum
> > Nö. Bis jetzt ist es eine Stelle, an der MÖGLICHERWEISE
> > ein Hoch- oder Tiefpunkt zu finden ist.
> > Als Test für Minimum benötigst du
> > - zweite Ableitung positriv
> > oder Vorzeichenwechsel der 1. Ableitung von - nach + ,
> > falls x aus dem negativen Bereich in den positiven Bereich
> > wechselt.
> Naja [mm]f'':36x^{2}-24mx+2m^{2}[/mm]
> für x=0 ist [mm]f''=2m^{2}[/mm] also positiv und damit liegt ein
> minimum vor...
> > Ach so, und der Ansatz y=mx funktioniert für EINE
> > spezielle Ursprungsgerade nicht.
> Für welche denn nicht?...für die y- Achse klappt das
Ja, sicher gibt es auch auf der y-Achse ein lok. Minimum bei (0;0). Aber du kannst die y-Achse nicht in der Form y=mx beschreiben. Also muss dieser Fall separat betrachtet werden.
> doch auch und für die x achse auch...
> muss ich denn da noch was besonderes zeigen?
>
> LG Schmetterfee
> > Gruß Abakus
> > > ener jeden ursprungsgerade...
> > > mehr muss doch nicht gezeigt werden oder?
> > >
> > > LG Schmetterfee
> >
>
|
|
|
| |
|
> > > Ach so, und der Ansatz y=mx funktioniert für EINE
> > > spezielle Ursprungsgerade nicht.
> > Für welche denn nicht?...für die y- Achse klappt das
> Ja, sicher gibt es auch auf der y-Achse ein lok. Minimum
> bei (0;0). Aber du kannst die y-Achse nicht in der Form
> y=mx beschreiben. Also muss dieser Fall separat betrachtet
> werden.
aber was schreib ich denn da?...die y- Achse ist ja einfach die gerade X=0 und somit ist sie anjeder stelle null also f'=0 und f''=0 also handelt es sich um ein minimum.aber was kann ich da denn noch speziell zeigen?
LG Schmetterfee
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:05 Mi 26.05.2010 | | Autor: | abakus |
> > > > Ach so, und der Ansatz y=mx funktioniert für EINE
> > > > spezielle Ursprungsgerade nicht.
> > > Für welche denn nicht?...für die y- Achse klappt
> das
> > Ja, sicher gibt es auch auf der y-Achse ein lok. Minimum
> > bei (0;0). Aber du kannst die y-Achse nicht in der Form
> > y=mx beschreiben. Also muss dieser Fall separat betrachtet
> > werden.
> aber was schreib ich denn da?...die y- Achse ist ja
> einfach die gerade X=0 und somit ist sie anjeder stelle
> null also f'=0 und f''=0
Hallo?? Du kannst doch nicht eine nicht definierte Funktion ableiten!
Die y-Achse hätte die "Gleichung" [mm] y=\infty*x
[/mm]
> also handelt es sich um ein
> minimum.aber was kann ich da denn noch speziell zeigen?
>
> LG Schmetterfee
Geh nochmal zurück in die Ausgangsfunktion (dein allererster Beitrag in diesem Thread) und setze dort für x Null ein.
Übrig bleibt f(0,y)=...
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
> > > > > Ach so, und der Ansatz y=mx funktioniert für EINE
> > > > > spezielle Ursprungsgerade nicht.
> > > > Für welche denn nicht?...für die y- Achse
> klappt
> > das
> > > Ja, sicher gibt es auch auf der y-Achse ein lok. Minimum
> > > bei (0;0). Aber du kannst die y-Achse nicht in der Form
> > > y=mx beschreiben. Also muss dieser Fall separat betrachtet
> > > werden.
> > aber was schreib ich denn da?...die y- Achse ist ja
> > einfach die gerade X=0 und somit ist sie anjeder stelle
> > null also f'=0 und f''=0
> Hallo?? Du kannst doch nicht eine nicht definierte Funktion
> ableiten!
> Die y-Achse hätte die "Gleichung" [mm]y=\infty*x[/mm]
> > also handelt es sich um ein
> > minimum.aber was kann ich da denn noch speziell zeigen?
> >
> > LG Schmetterfee
> Geh nochmal zurück in die Ausgangsfunktion (dein
> allererster Beitrag in diesem Thread) und setze dort für x
> Null ein.
> Übrig bleibt f(0,y)=...
also ist [mm] f(0,y)=y^{2}
[/mm]
erste Ableitung f'=2y daraus folgt P(0/0)
zweite Ableitung ist f''=2 also größer 0 und daraus folgt auch für die y-achse das p(0/0) ein lokales Minimum ist oder?
LG Schmetterfee
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:13 Mi 26.05.2010 | | Autor: | abakus |
> > > > > > Ach so, und der Ansatz y=mx funktioniert für EINE
> > > > > > spezielle Ursprungsgerade nicht.
> > > > > Für welche denn nicht?...für die y- Achse
> > klappt
> > > das
> > > > Ja, sicher gibt es auch auf der y-Achse ein lok. Minimum
> > > > bei (0;0). Aber du kannst die y-Achse nicht in der Form
> > > > y=mx beschreiben. Also muss dieser Fall separat betrachtet
> > > > werden.
> > > aber was schreib ich denn da?...die y- Achse ist ja
> > > einfach die gerade X=0 und somit ist sie anjeder stelle
> > > null also f'=0 und f''=0
> > Hallo?? Du kannst doch nicht eine nicht definierte Funktion
> > ableiten!
> > Die y-Achse hätte die "Gleichung" [mm]y=\infty*x[/mm]
> > > also handelt es sich um ein
> > > minimum.aber was kann ich da denn noch speziell zeigen?
> > >
> > > LG Schmetterfee
> > Geh nochmal zurück in die Ausgangsfunktion (dein
> > allererster Beitrag in diesem Thread) und setze dort für x
> > Null ein.
> > Übrig bleibt f(0,y)=...
> also ist [mm]f(0,y)=y^{2}[/mm]
> erste Ableitung f'=2y daraus folgt P(0/0)
> zweite Ableitung ist f''=2 also größer 0 und daraus
> folgt auch für die y-achse das p(0/0) ein lokales Minimum
> ist oder?
Ja.
Noch einfacher: Wir wissen, dass [mm] f(y)=y^2 [/mm] eine nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt als tiefstem Punkt ist.
>
> LG Schmetterfee
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:46 Di 25.05.2010 | | Autor: | abakus |
> Gegeben ist die Funktion f(x,y) := [mm]3x^{4}[/mm] -4 [mm]x^{2}[/mm] y
> [mm]+y^{2},[/mm] (x,y) [mm]\in \IR^{2}.[/mm]
> (a) Bestimmen Sie alle
> stationären Punkte von f.
> (b) Zeigen Sie, dass f längs jeder Ursprungsgeraden im
> [mm]\IR^{2}[/mm] ein lokales Minimum in [mm](x^{0},y^{0})=(0,0)[/mm]
> besitzt.
Hallo, für jede Ursprungsgerade gilt y=mx, also auch
[mm] 3x^4-4x^2y+y^2=3x^4-4mx^3+m^2x^2.
[/mm]
Für den rechten Term kannst du eine "gewöhnliche" eindimensionale Extremwertberechnung ausführen.
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
> (c) Überprüfen Sie die hinreichende Bedingung [mm]\Delta^{2}[/mm]
> [ich finde dieses Symbol nicht anders herum...sorry]
> [mm]f(x^{0},y^{0})>0[/mm] für ein lokales Minimum von f.
> [mm]Ist(x^{0},y^{0})[/mm] nun ein lokales Minimum der Funktion f in
> [mm]\IR^{2}?[/mm]
Muss ich bei diesen Aufgabenteil wieder zwei Ableitungen machen also einmal über x und einmal über y?,..oder muss ich das wie bei b mit der Formel für Ursprungsgeraden machen aber ads steht hier ja nicht wenn ich für
[mm] fy(x,y)=-4x^{2}+2y
[/mm]
fyy(x,y)=2 und das ist ja größer 0 muss ich das nun nur noch für x machen oder ist das ne ganz falsche Denkrichtung?
LG Schmetterfee
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:02 Mi 26.05.2010 | | Autor: | Schmetterfee |
oder muss ich das hier ganz allgemein über die Matrix machen?
LG Schmetterfee
|
|
|
| |
|
> > (c) Überprüfen Sie die hinreichende Bedingung [mm]\Delta^{2}[/mm]
> > [ich finde dieses Symbol nicht anders herum...sorry]
> > [mm]f(x^{0},y^{0})>0[/mm] für ein lokales Minimum von f.
> > [mm]Ist(x^{0},y^{0})[/mm] nun ein lokales Minimum der Funktion f
> in
> > [mm]\IR^{2}?[/mm]
>
> Muss ich bei diesen Aufgabenteil wieder zwei Ableitungen
> machen also einmal über x und einmal über y?,..oder muss
> ich das wie bei b mit der Formel für Ursprungsgeraden
> machen aber ads steht hier ja nicht wenn ich für
> [mm]fy(x,y)=-4x^{2}+2y[/mm]
> fyy(x,y)=2 und das ist ja größer 0 muss ich das nun nur
> noch für x machen oder ist das ne ganz falsche
> Denkrichtung?
Hallo,
die Entwicklung eines Plans wird Dir besser gelingen, wenn Du erstmal feststellst, was die hinreichende Bedingung ist bzw. was mit [mm] \Nabla^2f(x_0, y_0)>0 [/mm] gemeint ist. Ich denke doch, daß hier von der Hessematrix die Rede ist, oder?
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
> > > (c) Überprüfen Sie die hinreichende Bedingung [mm]\Delta^{2}[/mm]
> > > [ich finde dieses Symbol nicht anders herum...sorry]
> > > [mm]f(x^{0},y^{0})>0[/mm] für ein lokales Minimum von f.
> > > [mm]Ist(x^{0},y^{0})[/mm] nun ein lokales Minimum der
> Funktion f
> > in
> > > [mm]\IR^{2}?[/mm]
> >
> > Muss ich bei diesen Aufgabenteil wieder zwei Ableitungen
> > machen also einmal über x und einmal über y?,..oder muss
> > ich das wie bei b mit der Formel für Ursprungsgeraden
> > machen aber ads steht hier ja nicht wenn ich für
> > [mm]fy(x,y)=-4x^{2}+2y[/mm]
> > fyy(x,y)=2 und das ist ja größer 0 muss ich das nun
> nur
> > noch für x machen oder ist das ne ganz falsche
> > Denkrichtung?
>
> Hallo,
>
> die Entwicklung eines Plans wird Dir besser gelingen, wenn
> Du erstmal feststellst, was die hinreichende Bedingung ist
> bzw. was mit [mm]\Nabla^2f(x_0, y_0)>0[/mm] gemeint ist. Ich denke
> doch, daß hier von der Hessematrix die Rede ist, oder?
>
Ja ich habe das auch versucht...schritttweise...also
f(x,y)= [mm] (x^{2},y)*\pmat{ 3 & -2 \\ -2 & 1 }*\vektor{x^{2} \\ y}
[/mm]
[mm] \nable [/mm] [ich bekomm das delta dreieck nicht auf dem Kopf hin...was muss ich dafür schreiben?] f(x,y) = [mm] \pmat{ 12x^{3} & -8xy \\ -4xy & 2y }
[/mm]
[mm] \nable^{2} [/mm] f(x,y)= [mm] \pmat{ 36x^{2} & -8y \\ -4x^{2} & 2 }
[/mm]
aber hier dran kann ich doch nun gar nicht abschätzen ob das größer als 0 ist oder?
LG Schmetterfee
|
|
|
| |
|
> [mm]\nabla^{2}[/mm] f(x,y)= [mm]\pmat{ 36x^{2} & -8y \\ -4x^{2} & 2 }[/mm]
>
> aber hier dran kann ich doch nun gar nicht abschätzen ob
> das größer als 0 ist oder?
Hallo,
es geht hier nicht um "größer als 0", sondern darum, ob die Matrix positiv definit ist am stionären Punkt.
Vielleicht sagst Du auch schonmal, welches die hinreichende Bedingung für das Vorliegen eines Minimums ist.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
>
> > [mm]\nabla^{2}[/mm] f(x,y)= [mm]\pmat{ 36x^{2} & -8y \\ -4x^{2} & 2 }[/mm]
>
> >
> > aber hier dran kann ich doch nun gar nicht abschätzen ob
> > das größer als 0 ist oder?
>
> Hallo,
>
> es geht hier nicht um "größer als 0", sondern darum, ob
> die Matrix positiv definit ist am stionären Punkt.
>
Naja am stationären Punkt P(0/0) wird das ja :
[mm] \nabla^{2} [/mm] f(x,y)= [mm][mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 2 }= [/mm] 2
also wäre es ja positiv definit, weil EW=2
> Vielleicht sagst Du auch schonmal, welches die hinreichende
> Bedingung für das Vorliegen eines Minimums ist.
Naja hinreichende Bedingugn ist das [mm] \nabla^{2} [/mm] f(x,y) positiv semidefinit ist d.h. EW [mm] \ge [/mm] 0
>
da das der fall ist wäre ja nun auch gezeigt, dass [mm] (x^{0},y^{0}) [/mm] ein lokales Minimum der Funktion ist oder?
LG Schmetterfee
|
|
|
| |
|
> >
> > > [mm]\nabla^{2}[/mm] f(x,y)= [mm]\pmat{ 36x^{2} & -8y \\ -4x^{2} & 2 }[/mm]
>
> >
> > >
> > > aber hier dran kann ich doch nun gar nicht abschätzen ob
> > > das größer als 0 ist oder?
> >
> > Hallo,
> >
> > es geht hier nicht um "größer als 0", sondern darum, ob
> > die Matrix positiv definit ist am stionären Punkt.
> >
> Naja am stationären Punkt P(0/0) wird das ja :
> [mm]\nabla^{2}[/mm] f(0,0))= [mm][mm][mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 2 }\red{=2}
[/mm]
> also wäre es ja positiv definit, weil EW=2
Hallo,
die Hessematrix im Punkt P(0|0) stimmt.
Das markierte "=0" ist allerdings der größte Unfug aller Zeiten. Es sieht doch wohl jeder, daß die Matrix nicht eine Zahl ist. (?)
Was soll das bedeuten?
Eine symmetrische Matrix ist positiv definit, wenn alle Eigenwerte positiv sind.
Welches sind die Eigenwerte Deiner Matrix?
> > Vielleicht sagst Du auch schonmal, welches die hinreichende
> > Bedingung für das Vorliegen eines Minimums ist.
> Naja hinreichende Bedingugn ist das [mm]\nabla^{2}[/mm] f(x,y) positiv semidefinit ist d.h. EW [mm]\ge[/mm] 0
Nein. Du solltest den entsprechenden Teil Deines Skriptes nochmal genau studieren.
Und in der Aufgabenstellung steht sie auch.
(EDIT: Mir fällt gerade ein, daß Du möglicherweise eine andere Bedingung meinst als ich. Vielleicht formulierst Du Deine Bedingung nochmal im exakten Wortlaut. Hier sollst Du aber der angegebenen Bedingung auf den grund gehen.)
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
naja von [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 2 } [/mm] die EW sind: [mm] (\lambda-0)(\lambda [/mm] -2)-0
und daraus folgt [mm] \lambda_{1}=0 [/mm] und [mm] \lambda_{2}=2 [/mm] somit ist der Eigenwert immer [mm] \ge [/mm] 0. Somit ist die hesse matrix positiv semidefinit.
Die in der Aufgabenstellung geforderte Bedingung [mm] \nabla^{2}f [/mm] >0 wäre aber eine Bedingung für ein striktes lokales Minimum.
Somit kann ich doch sagen das an dem Punkt kein striktes lokales Minimum vorliegt sondern nur ein lokales oder?
LG Schmetterfee
|
|
|
| |
|
> naja von [mm]\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 2 }[/mm] die EW sind das charakteristische Polynom ist:
[mm] \chi (\lambda)=
[/mm]
> [mm](\lambda-0)(\lambda[/mm] -2)-0,
> und daraus folgt [mm]\lambda_{1}=0[/mm] und [mm]\lambda_{2}=2[/mm] somit ist
> der Eigenwert immer [mm]\ge[/mm] 0. Somit ist die hesse matrix
> positiv semidefinit.
Hallo,
ja, das stimmt. Die Hessematrix an der Stelle (0,0) ist positiv semidefinit.
> Die in der Aufgabenstellung geforderte Bedingung
> [mm]\nabla^{2}f[/mm] >0 wäre aber eine Bedingung für ein striktes
> lokales Minimum.
Es gilt:
wenn [mm] (x_0, y_0) [/mm] ein stationärer Punkt ist, und wenn die Hessematrix an dieser Stelle positiv definit ist, dann hat man ein lokales Minimum.
> Somit kann ich doch sagen das an dem Punkt kein striktes
> lokales Minimum vorliegt sondern nur ein lokales oder?
Nein. Wenn die Hessematrix am stationären Punkt semidefinit ist, weiß man ohne weitere Untersuchungen nichts.
Es ist die obige Bedingung eben nur eine hinreichende, welche uns in diesem Fall nicht weiterhilft.
(Du kennst dies aus der Schule von Extremwertuntersuchungen von Funktionen, die aus dem [mm] \IR [/mm] in den [mm] \IR [/mm] abbilden.).
|
|
|
| |
|
> > naja von [mm]\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 2 }[/mm] die EW sind das
> charakteristische Polynom ist:
> [mm]\chi (\lambda)=[/mm]
> > [mm](\lambda-0)(\lambda[/mm] -2)-0,
> > und daraus folgt [mm]\lambda_{1}=0[/mm] und [mm]\lambda_{2}=2[/mm] somit
> ist
> > der Eigenwert immer [mm]\ge[/mm] 0. Somit ist die hesse matrix
> > positiv semidefinit.
>
> Hallo,
>
> ja, das stimmt. Die Hessematrix an der Stelle (0,0) ist
> positiv semidefinit.
>
> > Die in der Aufgabenstellung geforderte Bedingung
> > [mm]\nabla^{2}f[/mm] >0 wäre aber eine Bedingung für ein striktes
> > lokales Minimum.
>
> Es gilt:
> wenn [mm](x_0, y_0)[/mm] ein stationärer Punkt ist, und wenn die
> Hessematrix an dieser Stelle positiv definit ist, dann hat
> man ein lokales Minimum.
>
> > Somit kann ich doch sagen das an dem Punkt kein striktes
> > lokales Minimum vorliegt sondern nur ein lokales oder?
>
> Nein. Wenn die Hessematrix am stationären Punkt
> semidefinit ist, weiß man ohne weitere Untersuchungen
> nichts.
> Es ist die obige Bedingung eben nur eine hinreichende,
> welche uns in diesem Fall nicht weiterhilft.
>
> (Du kennst dies aus der Schule von Extremwertuntersuchungen
> von Funktionen, die aus dem [mm]\IR[/mm] in den [mm]\IR[/mm] abbilden.).
Habe meine Hessematrix jetzt verbessert...
[mm] \nabla^{2}f(x,y)=\pmat{ 36x^{2}-8y & -8x \\ -8x & 2 }
[/mm]
aber was prüf ich dann noch weiter um sagen zu können, dass es sich um ein lokales minimum handelt?..mehr definitionen hatten wir net..
LG Schmetterfee
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:24 Do 27.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
überleg mal, was dir der Aufgabenteil davor sagt. nette Aufgaben haben auch immer nen netten Aufbau, also in c sollte man noch an a und b denken.
wenn du b nicht hättest, musst du bei semi nachweisen, dass es ne Umgebung von (0,0) gibt mit f(U)>(f(0,0)
|
|
|
| |
|
> Hallo
> überleg mal, was dir der Aufgabenteil davor sagt. nette
> Aufgaben haben auch immer nen netten Aufbau, also in c
> sollte man noch an a und b denken.
> wenn du b nicht hättest, musst du bei semi nachweisen,
> dass es ne Umgebung von (0,0) gibt mit f(U)>(f(0,0)
Also kann ich einfach sagen, aus Aufgabe b folgt, dass f(0,0) ein lokales Minimum gibt, weil es f(U) gibt die größer sind als f(0,0)?
Habe ich das so richtig verstanden?
LG Schmetterfee
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:43 Do 27.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
so ist das falsch formuliert, es gibt eine Umgebung U von (0,0) so dass für jedes [mm] (x,y)\in [/mm] U folgt f(x,y)>f(0,0)
dass das aus b folgt solltest du noch folgern.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
> Hallo
> so ist das falsch formuliert, es gibt eine Umgebung U von
> (0,0) so dass für jedes [mm](x,y)\in[/mm] U folgt f(x,y)>f(0,0)
> dass das aus b folgt solltest du noch folgern.
kann ich dann einfach schreiben das aus y=mx für x>0 bereits folgt f(x,y)>f(0,0)?
LG Schmetterfee
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Sa 29.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
> [mm]\nabla^{2}[/mm] f(x,y)= [mm]\pmat{ 36x^{2} & -8y \\ -4x^{2} & 2 }[/mm]
Hallo,
ich war vorhin auf anderes fixiert und hab' nicht gesehen, daß Deine Hessematrix falsch ist.
Es ist doch
[mm] \nabla^2f(x,y)=\pmat{f_x_x(x,y)& f_x_y(x,y)\\f_y_x(x,y)&f_y_y(x,y)}.
[/mm]
Beim Einsetzen von (0|0) ist aber zufällig trotzdem das richtige Ergebnis herausgekommen.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
