Optimierungsaufgabe 4 < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Die Aufgabe muss ohne Taschenrechner gelöst werden.
| Aufgabe | [Dateianhang nicht öffentlich]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") := bereits korrigiert/nachgesehen/kontrolliert
Ich mache das deshalb, da ich diesen Thread immer wieder erweitere wenn ich ein Problem gelöst habe. Sonst verteilt sich die Lösung auf so viele Beiträge!
Ich markiere nachdem ich weitergerechnet/verbessert habe den Thread wieder als "unbeantwortet", so dass alles in einem Thread bleibt. Falls das aus irgendeinem Grund stört oder irgendwelche "Nachteile" für jemand mit sich bringt, dann bitte melden und ich lasse es.
Funktion: $f:\IR^2 \to \IR$; $f(x_1, x_2)=x_1^3+3 x_1 x_2 - x_2^3$
Positiven Gradient bestimmen: $grad(f)(x_1, x_2)=(3*x_1^2 + 3*x_2\ \ \ \red{;}\ \ \ 3*x_1 - 3*x_2^2)$
Nullstellen des Gradienten bestimmen:
a01: $3*x_1^2 + 3*x_2$
a02: $3*x_1^2 + 3*x_2=0$
a03: $3*x_2=-3*x_1^2$
a04: $x_2=-\bruch{3*x_1^2}{3}$
a05: $x_2=-x_1^2$ Einsetzen von "b08" und "b09"
a06: $x_2=-0^2$
a07: $\red{x_{2_1}=0}$
a08: $x_2=-x_1^2$ Einsetzen von "b09"
a09: $x_2=-1^2$
a10: $\red{x_{2_2}=-1}$
b01: $3*x_1 - 3*x_2^2$
b02: $3*x_1 - 3*x_2^2=0$
b03: $3*x_1 =3*x_2^2$
b03: $x_1 =\bruch{3*x_2^2}{3}$
b04: $x_1 =x_2^2$ Einsetzen von "a05"
b05: $x_1 =(-x_1)^2$
b06: $x_1 =(-x_1)^2$
b07: $x_1 =x_1^2$
b08: $\red{x_{1_1} =0}$
b09: $\red{x_{1_2} =1}$
"Kritische Stellen" (Nullstellen) sind:
$\red{x_{1_1} =0}$ & $\red{x_{1_2} =1}$
$\red{x_{2_1}=0}$ & $\red{x_{2_2}=-1}$
Bestimmung der Hesse-Matrix:
$grad(f)(x_1, x_2)=(3*x_1^2 + 3*x_2\ \ \ \red{;}\ \ \ 3*x_1 - 3*x_2^2)$
$H=\pmat{ 6*x_1 & 3 \\ 3 & - 6*x_2 }$
Bestimmung der Hesse-Matrix mit $\red{x_{1_1} =0}$ & $\red{x_{2_1}=0}$:
$H_1=\pmat{ 6*0 & 3 \\ 3 & - 6*0 }$
$H_1=\pmat{ 0 & 3 \\ 3 & 0 }$
$det(0)=0$
$det(\pmat{ 0 & 3 \\ 3 & 0 })=0*0-3*3=0-9=-9$
$H_1$ Ist indefinit
Bestimmung der Hesse-Matrix mit $\red{x_{1_2} =1$ & $\red{x_{2_2}=-1}$:
$H_2=\pmat{ 6*1 & 3 \\ 3 & - 6*(-1) }$
$H_2=\pmat{ 6 & 3 \\ 3 & 6 }$
$det(6)=\ 6$
$det(\pmat{ 6 & 3 \\ 3 & 6})=6*6-3*3=36-9=27$
$H_2$ Ist positiv definit -> lokales Minimum
Danke
Grüße Thomas
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:43 Do 12.07.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
ich kenne nur einen Gradienten, den den du auch aufgeschrieben hast. Aber warum soll er denn positiv sein. Und was ist ein negativer Gradient? Ansonsten sieht das beim schnellen Drüberschauen für mich richtig aus.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:26 Do 12.07.2007 | | Autor: | KnockDown |
Hi,
danke fürs beantworten, aber ich hab noch die Frage "Ab hier müsste ich meine "Kritischen Stellen" einsetzen, jedoch sind das 4 Stück. Ich weiß nicht, wie ich das jetzt einsetzen soll. Muss ich die kombinieren?
Also muss ich es wie folgt nacheinander seinsetzen und jeweils auf Definitheit prüfen: "
die noch unbeantwortet ist.
Grüße Thomas
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 05:13 Fr 13.07.2007 | | Autor: | Fulla |
Hi KnockDown!
Den Gradienten hast du richtig bestimmt! Aber - Hund hat das schon erwähnt - es gibt nur einen Gradienten! Und das ist das, was du aufgeschrieben hast. (Siehe dazu ![[]](/images/popup.gif) hier)
Also [mm] $\text{grad}f=\triangledown f=\pmat{3x_1^2+3x_2\ ,&3x_1-3x_2^2}$. [/mm] (Eigentlich schreibt man den Gradient als "stehenden" Vektor, aber das ist nicht so wichtig...)
Aber es reicht nicht, wenn nur eine Komponente Null ist - sondern es müssen beide Null sein:
[mm] $\pmat{3x_1^2+3x_2\ ,&3x_1-3x_2^2}\overset{!}{=}\pmat{0\ ,&0}\quad\gdw\quad \pmat{x_1^2+x_2\ ,&x_1-x_2^2}=\pmat{0\ ,&0}\quad\gdw\quad\begin{cases}x_1=0 \wedge x_2=0 \\ x_1=1\wedge x_2=-1\end{cases}$
[/mm]
Also gibt es zwei mögliche Punkte für die Extrema: [mm] $P_1=\pmat{0\ ,&0}$ [/mm] und [mm] $P_2=\pmat{1\ ,&-1}$ [/mm] - so weit so gut...
Die Hesse-Matrix hast du auch richtig bestimmt:
[mm] $H=\pmat{6x&3\\3&-6x_2}$
[/mm]
Hier setzt du jetzt die Punkte [mm] P_1 [/mm] und [mm] P_2 [/mm] ein, oder besser: du setzt von einem Punkt [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] ein und dann vom anderen Punkt:
[mm] $H_1=\pmat{0&3\\3&0}$ [/mm] bzw [mm] $H_2=\pmat{6&3\\3&6}$
[/mm]
Jetzt musst du die Definitheit der Matrizen bestimmen, um sagen zu können, um welche Art von Extremum es sich handelt.
Das machst du am besten über die Eigenwerte:
[mm] H_1 [/mm] hat die Eigenwerte [mm] \lambda_1=3 [/mm] und [mm] \lambda_2=-3
[/mm]
[mm] H_2 [/mm] hat die Eigenwerte [mm] \lambda_1=3 [/mm] und [mm] \lambda_2=9
[/mm]
[mm] H_1 [/mm] ist indefinit, weil die Eigenwerte verschiedene Vorzeichen haben und [mm] H_2 [/mm] ist positiv definit, weil beide Eigenwerte positiv sind.
[mm] \Rightarrow [/mm] bei [mm] P_1 [/mm] befindet sich ein Sattelpunkt und bei [mm] P_2 [/mm] ein lokales Minimum.
Ich habe mir die Funktion hier zeichnen lassen und kann das Minimum leider nicht wirklich entdecken.... Entweder es ist ein sehr "flaches" Minimum, oder ich hab mich verrechnet... :-/
Aber ich denke mal, der Lösungsweg hilft dir auf jeden Fall weiter...
Lieben Gruß,
Fulla
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