Optimierungsaufgabe 5 < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Die Aufgabe muss ohne Taschenrechner gelöst werden.
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hi
Hm, bei dieser Aufgabe bin ich echt verunsichert, da dort steht "an der Stelle (0,0) ein lokales Extremum hat.
- neu -
Ok dann fange ich mal an.
Funktion: [mm] $f(x_1, x_2) =x_1^2+(x_1-n)*x_2+exp(n*x_2)$ $\Rightarrow$ $f(x_1, x_2) =x_1^2+x_1*x_2-n*x_2+exp(n*x_2)$
[/mm]
Gradient bestimmen: [mm] $grad(f)(x_1, x_2)=(2*x_1+x_2\ [/mm] \ \ [mm] \red{,}\ [/mm] \ \ [mm] x_1 [/mm] - [mm] n+exp(n*x_2)*n)$
[/mm]
Nullstellen bestimmen (sog. "Kritische Stellen):
a01. [mm] $2*x_1+x_2$
[/mm]
a02. [mm] $2*x_1+x_2=0$
[/mm]
a03. [mm] $2*x_1=-x_2$
[/mm]
a04. [mm] $x_1=-\bruch{x_2}{2}$
[/mm]
b01. [mm] $x_1 [/mm] - [mm] n+exp(n*x_2)*n)$
[/mm]
b02. [mm] $\red{x_1 - n+exp(n*x_2)*n)=0}$
[/mm]
Muss ich jetzt hier für n = 0 einsetzen, dann weiterauflösen nach [mm] $x_2$ [/mm] wie ich es immer mache?
Danke
Grüße Thomas
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:46 Do 12.07.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
du kannst doch hier ganz normal die Extremstellen berechnen (in Abbhängikeit von n). Dann musst du die n bestimmen, für die die Extremstellen (0,0) sind.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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Hallo Thomas!
Bestimme doch mal zunächst den Gradienten der Funktionsschar [mm] $f_n(x_1,x_2)$ [/mm] und bestimme wie gewohnt die stationären Punkte.
In diesen Werten wird dann jeweils der Parameter $n_$ auftreten. Und für welche $n_$ gilt dann [mm] $x_1 [/mm] \ = \ [mm] x_2 [/mm] \ = \ 0$ ?
Gruß vom
Roadrunner
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Die Aufgabe muss ohne Taschenrechner gelöst werden.
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hi,
danke für die Hilfe, ich bin jetzt soweit gekommen stimmt das?
Funktion: [mm] $f(x_1, x_2) =x_1^2+(x_1-n)*x_2+\exp(n*x_2)$ $\Rightarrow$ $f(x_1, x_2) =x_1^2+x_1*x_2-n*x_2+\exp(n*x_2)$
[/mm]
Gradient bestimmen: [mm] $grad(f)(x_1, x_2)=(2*x_1+x_2\ [/mm] \ \ [mm] \red{,}\ [/mm] \ \ [mm] x_1 [/mm] - [mm] n+\exp(n*x_2)*n)$
[/mm]
Nullstellen bestimmen (sog. "Kritische Stellen):
a01. [mm] $2*x_1+x_2$
[/mm]
a02. [mm] $2*x_1+x_2=0$
[/mm]
a03. [mm] $2*x_1=-x_2$
[/mm]
a04. [mm] $x_1=-\bruch{x_2}{2}$
[/mm]
b01. [mm] $x_1 [/mm] - [mm] n+\exp(n*x_2)*n$
[/mm]
b02. [mm] $\red{x_1 - n+\exp(n*x_2)*n=0}$
[/mm]
Muss ich jetzt hier für n = 0 einsetzen, dann weiterauflösen nach [mm] $x_2$ [/mm] wie ich es immer mache?
Danke
Grüße Thomas
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Hallo Thomas!
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Die $n_$-Werte suchst Du ja ... von daher musst Du nun in die beiden partiellen Ableitungen die Werte [mm] $x_1 [/mm] \ = \ [mm] x_2 [/mm] \ = \ 0$ einsetzen.
Wann entsteht dann jeweils [mm] $f_n'(x_1,x_2) [/mm] \ = \ 0$ ? Ich erhalte da "ziemlich viele" $n_$-Werte  .
Gruß vom
Roadrunner
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Funktion: [mm] $f(x_1, x_2) =x_1^2+(x_1-n)*x_2+exp(n*x_2)$ $\Rightarrow$ $f(x_1, x_2) =x_1^2+x_1*x_2-n*x_2+exp(n*x_2)$
[/mm]
Gradient bestimmen: [mm] $grad(f)(x_1, x_2)=(2*x_1+x_2\ [/mm] \ \ [mm] \red{,}\ [/mm] \ \ [mm] x_1 [/mm] - [mm] n+exp(n*x_2)*n)$
[/mm]
Suche n, setze Gradient [mm] $x_1=x_2=0$:
[/mm]
a01. [mm] $n=2*x_1+x_2$
[/mm]
a02. $n=2*0+0$
a03. [mm] $\red{n=0}$
[/mm]
b01. [mm] $n=x_1 [/mm] - [mm] n+exp(n*x_2)*n$
[/mm]
b02. $n=0 - n+exp(n*0)*n$
b03. $n=- n+exp(0)*n$
b04. $n=- n+n$
b05. [mm] $\red{n=0}$
[/mm]
Stimmt das so jetzt?
Danke
Grüße Thomas
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:42 Fr 13.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
du willst n so bestimmen, dass grad =0 da kannnst du doch nicht plötzlich [mm] f_x=n! [/mm] geh mal ne Weile spazieren, damit du wieder klarer denkst!
x1=x2=0 und gradf=0 daraus Bed. für n!
dann noch feststellen ob es wirklich Extrema sind, oder nur stationäre Punkte!
Gruss leduart
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> Hallo
> du willst n so bestimmen, dass grad =0 da kannnst du doch
> nicht plötzlich [mm]f_x=n![/mm] geh mal ne Weile spazieren, damit du
> wieder klarer denkst!
> x1=x2=0 und gradf=0 daraus Bed. für n!
> dann noch feststellen ob es wirklich Extrema sind, oder
> nur stationäre Punkte!
> Gruss leduart
Hi Leduart,
muss ich da nach dann den grad =0 setzen und nach n auflösen?
Grüße Thomas
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:47 Fr 13.07.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
zuerst setzt du den Gradienten =(0,0). Damit rechnest du die kritischen Punkte aus, indenen der Parameter n vorkommen wird. Danach guckst du, in welchen Werten auch wirklich Extrema vorliegen. Danach setzt du die Extremstellen =(0,0) und löst nach n auf. Das sind dann deine gesuchten n.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:32 So 15.07.2007 | | Autor: | KnockDown |
> Hallo,
>
> zuerst setzt du den Gradienten =(0,0). Damit rechnest du
> die kritischen Punkte aus, indenen der Parameter n
> vorkommen wird. Danach guckst du, in welchen Werten auch
> wirklich Extrema vorliegen. Danach setzt du die
> Extremstellen =(0,0) und löst nach n auf. Das sind dann
> deine gesuchten n.
>
> Ich hoffe, es hat dir geholfen.
>
> Gruß
> Hund
Hi,
ich glaube Tipps sind zu wenig. Ich komme bei dieser Aufgabe einfach nicht weiter. Ich habe doch hier schon versucht den Gradient Null zu setzen und die Nullstellen zu errechnen. Doch das klappt so nicht. Ich hatte auch eine solche Aufgabe noch nie!
Könnte mir bitte jemand helfen und das vorrechnen? Es hängt wirklich nicht am Willen, sondern ich komm einfach nicht drauf :(
Danke
Grüße Thomas
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> Die Aufgabe muss ohne Taschenrechner gelöst werden.
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> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
>
>
> Hi
>
> Hm, bei dieser Aufgabe bin ich echt verunsichert, da dort
> steht "an der Stelle (0,0) ein lokales Extremum hat.
Hallo,
Du hast hier eine Funktion [mm] f(x_1,x_2) [/mm] vorliegen, in welcher noch dieses ominöse [mm] n\ge [/mm] 0 vorkommt.
Im Grunde bedeutet das, daß Du hier eine ganze Schar von Funktionen untersuchen sollst, nämlich z.B.
$ [mm] f_0(x_1, x_2) =x_1^2+(x_1-0)\cdot{}x_2+exp(0\cdot{}x_2) [/mm] $ und
$ [mm] f_{\wurzel{3}}(x_1, x_2) =x_1^2+(x_1-\wurzel{3})\cdot{}x_2+exp(\wurzel{3}\cdot{}x_2) [/mm] $ und
$ [mm] f_{4}(x_1, x_2) =x_1^2+(x_1-4)\cdot{}x_2+exp(4\cdot{}x_2) [/mm] $ und noch ganz viele weitere.
Damit Du nicht so viel Mühe hast und zu Lebzeiten fertig wirst, steht dort "n".
Die Frage ist nun: welche der vielen, vielen Funktionen, die zu untersuchen wären, hat an der Stelle (0,0) einen Extremwert?
Nun muß man sich sammeln. Wenn es bei (0,0) einen Extremwert gibt, ist der Gradient an dieser Stelle =0.
Zu tun: berechne den Gradienten, und schau nach, für welche n er an der Stelle (0,0) =0 wird.
(Nur die entsprechenden Funktionen kommen dann für "Extremwert bei (0,0) infrage.)
Nun mußt Du noch nachschauen, ob die Funktionen, bei denen es prinzipiell möglich ist, daß sie dort einen Extremwert haben, bei denen der Gradient also =0 ist, hier wirklich einen haben. Dazu bildest Du die Hessematrix dieser Funktionen im Punkt (0,0) und untersuchst die Definitheit.
> Ok dann fange ich mal an.
>
> Funktion: [mm]f(x_1, x_2) =x_1^2+(x_1-n)*x_2+exp(n*x_2)[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]f(x_1, x_2) =x_1^2+x_1*x_2-n*x_2+exp(n*x_2)[/mm]
>
> Gradient bestimmen: [mm]grad(f)(x_1, x_2)=(2*x_1+x_2\ \ \ \red{,}\ \ \ x_1 - n+exp(n*x_2)*n)[/mm]
Wie oben geschildert, interessiert hier der Gradient im Punkt (0,0), weil das die Stelle ist, die Du untersuchen sollst.
Du setzt nun in den Gradienten (0,0) ein und schaust nach, für welche n er Null werden kann:
grad(f)(0, 0)=(2*0+0\ \ \ [mm] \red{,}\ [/mm] \ \ 0 - n+n*exp(n*0))=(0,0).
So. Für welches n kann denn der Gradient ungleich Null werden? Für n=5 z.B. ganz sicher nicht...
Wenn Du das herausgefunden hast, mach' weiter wie oben erklärt.
Gruß v. Angela
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Hi Angela,
ich bekomme die Aufgabe einfach nicht hin :-(
Könntest du mir sie ein Stück weiter rechnen? Bitte.
Wäre echt nett.
:-(
Grüße thomas
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:37 Do 26.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. gradf=0 bei (0,0) grad (f(0,0)=(2*0+0, [mm] -n+n*e^0)^T=(0,0) [/mm] für alle n .
jetzt musst du aber noch untersuchen, ob das wirklich lokale Extrema sind oder nur stationäre Stellen! Weisst du wie das geht?
(angela hat in ihrem post am Ende nen Fehler.)
Gruss leduart
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> (angela hat in ihrem post am Ende nen Fehler.)
Oh -
ist korrigiert.
Danke!
Gruß v. Angela
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Hi Angela,
vielen Dank für die lange Antwort.
Ich habe das jetzt nochmal "nachgerechnet" und mir dazu gedanken gemacht:
Funktion: [mm] $f(x_1, x_2) =x_1^2+x_1*x_2-n*x_2+exp(n*x_2)$
[/mm]
Gradient bestimmen (ableiten): [mm] $grad(f)(x_1, x_2)=(2*x_1+x_2\ [/mm] \ \ [mm] \red{,}\ [/mm] \ \ [mm] x_1 [/mm] - [mm] n+exp(n*x_2)*n)$
[/mm]
Wenn ich jetzt den Gradient (0,0) setze warum kommt das heraus: $grad(f)(0, 0)=(2*0+0\ \ \ [mm] \red{,}\ [/mm] \ \ 0 - n+exp(n*0)*n)$
und nicht $grad(f)(0, [mm] 0)=(2*0+x_2\ [/mm] \ \ [mm] \red{,}\ [/mm] \ \ [mm] x_1 [/mm] - n+exp(n*0)*n)$. Also warum werden jeweils beide Variablen in jedem der beiden Teile 0?
Wenn ich von der richtigen Lösung ausgehe: $grad(f)(0, 0)=(2*0+0\ \ \ [mm] \red{,}\ [/mm] \ \ 0 - n+exp(n*0)*n)$
diese vereinfache $grad(f)(0, 0)=(0\ \ \ [mm] \red{,}\ [/mm] \ \ - n+exp(0)*n)$
daraus ergibt sich $grad(f)(0, 0)=(0\ \ \ [mm] \red{,}\ [/mm] \ \ - n+n)$
daraus ergibt sich dann $grad(f)(0, 0)=(0\ \ \ [mm] \red{,}\ [/mm] \ \ n- n)$
und nun kann man sehen, dass es kein n gibt für den er Gradient ungleich Null ist.
Stimmt das jetzt soweit?
Wenn ja, muss ich jetzt als nächstes die Hesse-Matrixd aufstellen und die Definitheit prüfen. Stimmts?
Danke
Grüße Thomas
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Hallo Thomas!
> Wenn ich jetzt den Gradient (0,0) setze warum kommt das
> heraus: [mm]grad(f)(0, 0)=(2*0+0\ \ \ \red{,}\ \ \ 0 - n+exp(n*0)*n)[/mm]
> und nicht [mm]grad(f)(0, 0)=(2*0+x_2\ \ \ \red{,}\ \ \ x_1 - n+exp(n*0)*n)[/mm].
> Also warum werden jeweils beide Variablen in jedem der
> beiden Teile 0?
Das ist doch gefordert gemäß Aufgabenstellung. Da soll doch die Stelle [mm] $\left( \ \red{x_1} \ ; \ \blue{x_2} \ \right) [/mm] \ = \ [mm] \left( \ \red{0} \ ; \ \blue{0} \ \right)$ [/mm] untersucht werden. Das heißt doch, wir setzen hier jeweils [mm] $\red{x_1 \ = \ 0}$ [/mm] sowie [mm] $\blue{x_2 \ = \ 0}$ [/mm] in den Gradienten ein.
> daraus ergibt sich dann [mm]grad(f)(0, 0)=(0\ \ \ \red{,}\ \ \ n- n)[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Es gilt also: $grad f(0;0) \ = \ (0;0)$
> und nun kann man sehen, dass es kein n gibt für den er
> Gradient ungleich Null ist.
Genau! Oder umgekehrt formuliert: für jedes $n \ [mm] \ge [/mm] \ 0$ ist [mm] $(x_1;x_2) [/mm] \ = \ (0;0)$ ein stationärer Punkt.
> Wenn ja, muss ich jetzt als nächstes die Hesse-Matrixd
> aufstellen und die Definitheit prüfen. Stimmts?
Wenn man superkorrekt ist, sollte man das machen. Wobei ich mir hier nicht sicher bin, dass dies im Sinne der Aufgabenstellung erforderlich ist.
Gruß vom
Roadrunner
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> Wenn ja, muss ich jetzt als nächstes die Hesse-Matrixd
> aufstellen und die Definitheit prüfen. Stimmts?
Hallo,
ich bin wie Roadrunner der Meinung, daß man, wenn man die Aufgabenstellung wörtlich nimmt - was man i.d.R. tun sollte - noch die Hessematrix benötigt.
Aber das ist ja kein großer Act mehr.
Der Gradient war $ [mm] grad(f)(x_1, x_2)=(2\cdot{}x_1+x_2\ [/mm] \ \ [mm] \red{,}\ [/mm] \ \ [mm] x_1 [/mm] - [mm] n+n*exp(n\cdot{}x_2)) [/mm] $
Nun stellst Du die Hessematrix auf [mm] H_f(x,y)=....
[/mm]
Anschließend setzt Du (0,0) ein, denn um diesen Punkt geht es ja, und betrachtest die Definitheit.
Das geht schnell.
Gruß v. Angela
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