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Optimierungsprobleme: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:27 So 08.02.2015
Autor: NinaAK13

Aufgabe
Ein oben offener Karton mit quadratischer Grundfläche soll so hergestellt werden, dass bei einem Rauminhalt von [mm] 10dm^3 [/mm] die Oberfläche minimal ist. Welche Maße muss der Karton haben?

Mein Ansatz:

1. Berechnung des Oberflächeninhalts eines Quaders:

Volumen: [mm] a^3 [/mm] (da Grundfläche quadratisch)
[mm] 10dm^3=a^3 [/mm]
2,15=a

Oberflächeninhalt:
O=2 (a*b+a*c+b*c)
O=2 (2,15*2,15+2,15*2,15+2,15*2,15)
0=27,735

Mit welcher Funktion muss ich denn nun weiterrechnen (wenn es bis hier hin überhaupt stimmt) um das Minimum zu bestimmen (1. Ableitung =0)



        
Bezug
Optimierungsprobleme: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:39 So 08.02.2015
Autor: MathePower

Hallo NinaAK13,

> Ein oben offener Karton mit quadratischer Grundfläche soll
> so hergestellt werden, dass bei einem Rauminhalt von [mm]10dm^3[/mm]
> die Oberfläche minimal ist. Welche Maße muss der Karton
> haben?
>  Mein Ansatz:
>  
> 1. Berechnung des Oberflächeninhalts eines Quaders:
>  
> Volumen: [mm]a^3[/mm] (da Grundfläche quadratisch)
>  [mm]10dm^3=a^3[/mm]
>  2,15=a
>  

Über die Höhe h des Kartons ist nichts bekannt,
daher

[mm]V=a^{2}*h=10[/mm]


> Oberflächeninhalt:
>  O=2 (a*b+a*c+b*c)
>  O=2 (2,15*2,15+2,15*2,15+2,15*2,15)
>  0=27,735
>


Die Oberfläche eines oben offenen Kartons hat nur 5 Seiten.


> Mit welcher Funktion muss ich denn nun weiterrechnen (wenn
> es bis hier hin überhaupt stimmt) um das Minimum zu
> bestimmen (1. Ableitung =0)
>

Mit der Oberflächenfunktion, die Du dann bestimmt hast.


Gruss
MathePower  

Bezug
                
Bezug
Optimierungsprobleme: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:22 So 08.02.2015
Autor: NinaAK13

Wenn die Volumenformel dann [mm] V=a^2*h [/mm] lautet, wie komm ich dann mit nur einer Angabe [mm] 10dm^3 [/mm] auf a und h??

Berrechne ich die Oberfläche dann einfach, in dem ich alle Rechtecke zusammenzähle?

Bezug
                        
Bezug
Optimierungsprobleme: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:44 So 08.02.2015
Autor: Steffi21

Hallo, für die Oberfläche gilt, ein Quadrat und vier Rechtecke

(1) [mm] O(a,h)=a^2+4*a*h [/mm]

weiterhin ist ja bekannt

(2) [mm] V=10dm^3=a^2*h [/mm]

umgestellt nach h

[mm] h=\bruch{10}{a^2} [/mm] ohne Einheit geschrieben

einsetzen in (1)

[mm] O(a)=a^2+4*a*\bruch{10}{a^2} [/mm]

jetzt ist die Oberfläche nur noch abhängig von a

Steffi





Bezug
                                
Bezug
Optimierungsprobleme: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:54 So 08.02.2015
Autor: NinaAK13

Ahh, super! Vielen Dank!

Wenn ich dann O'(a) Null setze, komme ich auf a=2,15

Und h ist dann 2,16

Wäre dann die Antwort, dass der Karton 2,15×2,15x2,16 sein muss?

Bezug
                                        
Bezug
Optimierungsprobleme: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:04 So 08.02.2015
Autor: abakus

Also wenn ich die erste Ableitung (2a-40/a²) Null setze, komme ich auf was anderes.

Bezug
                                                
Bezug
Optimierungsprobleme: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:22 So 08.02.2015
Autor: NinaAK13

Habe falsch abgeleitet...

Komme aber dann auf [mm] 2a-(40/a^4) [/mm] da die erste Ableitung doch ist:

f'(x)=(u'(x)*v (x)-u (x)*v'(x))/((v [mm] (x)))^2 [/mm]

Also muss [mm] a^2 [/mm] noch quadriert werden was wiederum [mm] a^4 [/mm] ergibt? Und damit komme ich am ende auf a=1,82

Bezug
                                        
Bezug
Optimierungsprobleme: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:04 So 08.02.2015
Autor: chrisno

Du musst mal nachrechnen, was Steffi21 Dir geschrieben hat. Da hast Du etwas übersehen. Deine Funktion O(h) stimmt nicht. Dann neu ableiten ....

Bezug
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