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Optionspreis -zero-coupon bond: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:38 Mi 26.10.2022
Autor: Jellal

Guten Abend,

ich versuche gerade mein erstes Paper im Bereich Mathematical Finance zu verdauen. Eine entsprechende Vorlesung habe ich nie gehoert, und daher scheitert es schon an den Basics.

Ich benutze die englischen Begriffe:
Sei [mm] C_{t}(T,K) [/mm] der Preis einer Call-Option, wobei t die Zeit, T der Stichtag und K der Strike ist. Der Preis der zugrunde liegenden Asset sei [mm] S_{t}. [/mm]

Es wird nun gesagt, dass man oft vom "Martingal-Approach" ausgeht, bei welchem der Preis [mm] C_{t} [/mm] geschrieben werden kann als
[mm] C_{t}(T,K) [/mm] = [mm] D_{t}(T) E_{Q}((S_{t}-K)^{+}|\mathcal{F}_{t}). [/mm]
Den Erwartungswert (bzgl. eines Maßes Q) verstehe ich. Dass der Preis der Call-Option proportional zum erwarteten Gewinn ist, macht Sinn. Aber was ist mit dem Vorfaktor?

Im Paper steht, " [mm] D_{t}(T) [/mm] is the time t price of the zero-coupon bond expiring at time T".
Ich verstehe nicht, was damit gemeint ist. Ich weiß, was ein zero-coupon-bond ist. Eine Anleihe, die keine Zinsen zahlt. Man bekommt den Nominal-Wert am Zeitpunkt T zurueck. Wenn man die Anleihe fuer weniger als den Nominalwert erworben hat, macht mach also Gewinn.
Aber was hat das mit der Call-Option zu tun?

vG.
Jellal

        
Bezug
Optionspreis -zero-coupon bond: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:03 Mi 26.10.2022
Autor: Staffan

Hallo,

eine Antwort ist leider nicht mit wenigen Worten möglich, aber ich will versuchen, einen Ansatz zu geben, möchte aber auf die Literatur - siehe unten - verweisen.
Ein Martingale ist ein stochastischer Prozeß, dessen Ergebnisse nicht voneinander abhängen, heißt, der Wert heute hat nichts mit dem gestern zu tun wie auch der Wert morgen, es gibt allerdings die generelle Annahme, die zukünftigen Werte seien gleich dem heutigen.

Man stellt von diesem Ansatz her die Preisentwicklung einer Call-Option in einen Zusammenhang mit anderen Werten am Markt, hier eben einem Zerobond, bei dem, da Anfangs- und Endwert bekannt sind,  keine Arbitrage möglich ist. Der Optionspreis wird somit in einer Abhängigkeit zu einem Zerobond ausgedrückt.
In der Literatur wird das als Abhängigkeit von einem numeraire  bezeichnet.
Man könnte dafür auch andere Größen nehmen, z.B. den Geldmarkt oder Swaps.
Ob diese Überlegungen in der Praxis bei der tatsächlichen Preisfestellung berücksichtigt werden, kann ich nicht sagen.

Eine umfassendere Darstellung findet man etwa bei

John C. Hull Options, Futures, and Other Derivatives
(in der mir vorliegenden achten Auflage in Kapitel 27)

Gruß
Staffan

Bezug
                
Bezug
Optionspreis -zero-coupon bond: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:15 Mi 26.10.2022
Autor: Jellal

Hallo Staffan,

danke dir fuer die Antwort!

Auf welchen Nominalwert waere denn der zerobond ausgelegt? Kann man da irgendwas zu sagen? Der Erwartungswert gibt mir ja den mittleren Gewinn zur Zeit t. Kann man das D(T) einfach als Konstante ansehen, die mathematisch nicht so wichtig ist?

Bezug
                        
Bezug
Optionspreis -zero-coupon bond: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:06 Mi 26.10.2022
Autor: Staffan

Hallo,

wenn man einen Zerobond erwirbt, zahlt man den aktuellen Barwert, d.h. anfangs den Preis ohne jeglichen Zinszuwachs. Dieser erhöht sich aber während der Laufzeit, um am Ende dem Nominalwert zu entsprechen. Er gibt so als ein Faktor einen steigenden Teil bei dem Preis der Calloption an, wenn man so will, einen relativ sicheren, wenn die Bonität des Emittenten einwandfrei ist. Deshalb sollte man ihn nicht im Sinne einer Konstante verstehen.
Die gesamte hier zitierte Darstellung ist nach meinem Verständnis letztlich ein Modell, das man mit den wenigen gemachten Angaben sicher nicht auf einen echten Call anwenden sollte.


Gruß

Staffan

Bezug
                                
Bezug
Optionspreis -zero-coupon bond: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:59 Do 27.10.2022
Autor: Jellal

Ich verstehe, danke Staffan!

Bezug
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