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Ordinalzahlen kompakt?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:05 Do 07.09.2006
Autor: Schlorz

Aufgabe
Ist der topologische Raum aller Ordinalzahlen bis einschließlich der ersten überabzählbaren Ordinalzahl, also [mm] [0,\omega_1] [/mm] kompakt?  

Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/84028,0.html
http://at.yorku.ca/cgi-bin/bbqa
Zum zweiten Link ist zu sagen, dass das ein übergeordneter Pfad ist, da das Original irgendwie eben nicht ging...

Die Aufgabe sit gelöst! Die Frage die sich mir nun stellt, ist was passiert nach der ersten überabzählbaren Ordinalzahl [mm] \omega_1? [/mm] Also
1. Wie zählt man nach [mm] \omega_1 [/mm] weiter?
2. Sind größere Räume auch kompakt?


        
Bezug
Ordinalzahlen kompakt?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:24 Fr 08.09.2006
Autor: mathiash

Hallo und guten Morgen,

wenn wir für  [mm] \alpha\in [/mm] On die Menge

[mm] \alpha=\{\beta\in\: On\: |\: \beta <\alpha\} [/mm]

als topologischen Raum (mit der Ordnungstopologie) auffassen, so ist  [mm] \alpha [/mm] kompakt genau dann, wenn [mm] \alpha [/mm] eine
Nachfolger-Ordinalzahl ist, d.h. wenn es [mm] \beta <\alpha [/mm] gibt mit [mm] \beta+1=\alpha. [/mm]

Beweis:
Eine Basis für den topologischen Raum [mm] \alpha\in [/mm] On ist ja gegeben durch die Mengen

[mm] (\beta_1,\beta_2), \beta_1,\beta_2\in\alpha [/mm] und die Mengen [mm] [0,\beta), (\beta,alpha) [/mm] für [mm] \beta\in \alpha. [/mm]

Angenommen [mm] \alpha [/mm] sei keine Nachfolger-Ordinalzahl, also ein Limit. Dann gibt es zu jedem [mm] \beta <\alpha [/mm] ein [mm] \beta [/mm] < [mm] \gamma [/mm] < [mm] \lapha. [/mm]
Wir können also eine unendliche Folge [mm] \beta_1 [/mm] < [mm] \beta_2 [/mm] < [mm] \ldots [/mm] < [mm] \beta_n [/mm] < [mm] \ldots <\alpha [/mm] konstruieren, so dass es zu jedem [mm] \gamma <\alpha [/mm] ein
[mm] i\in\IN [/mm] gibt mit [mm] \gamma <\beta_i. [/mm]

Nehmen wir die Intervalle [mm] [0=:\beta_0,\beta_1) [/mm] und [mm] (beta_i,\beta_{i+2}),i\in\IN_0. [/mm] Sie bilden offenbar eine offenen Überdeckung von [mm] \alpha, [/mm] und man zeigt sofort, dass keine endliche Teilfamilie davon auch [mm] \alpha [/mm] überdeckt.

Angenommen nun, [mm] \alpha [/mm] sei Nachfolger, zB [mm] \alpha =\sigma+1. [/mm]
Wir müssen zeigen, dass [mm] \alpha [/mm] kompakt ist.

Sei  [mm] I_j,j\in [/mm] J eine offene Überdeckung von [mm] \alpha, [/mm] und oE seien alle [mm] I_j [/mm] Intervalle. Zzg: Es gibt eine endliche Teilüberdeckung.

Fall 1: [mm] \sigma [/mm] ist Nachfolger. Dann sehen wir leicht, dass es ein endliches [mm] J_0\subseteq [/mm] J gibt mit [mm] \bigcup_{j\in J_0}I_j=\alpha, [/mm] nicht wahr ?!

Fall 2: [mm] \sigma [/mm] ist Limit.

Dann gibt es ein Intervall [mm] I_j,j\in [/mm] J mit [mm] I_j=(\beta,\alpha), \beta <\sigma [/mm] (denn [mm] \sigma [/mm] muss ja überdeckt werden.
Sei

[mm] \beta_{\sigma}:=\min\{\beta\: |\: \beta <\sigma,\: (\beta,\alpha)\in\{I_j,j\in J\}\} [/mm]

Ich würd vielleicht nun erstmal als Hilfslemma versuchen zu zeigen:

Lemma. Sei [mm] \alpha\in [/mm] On eine Limit-Ordinalzahl, und sei [mm] I_i,i\in [/mm] J eine Überdeckung von [mm] \alpha [/mm] mit offenen Intervallen [mm] I_j, [/mm] so dass es
ein [mm] \beta <\alpha [/mm] gibt mit [mm] (\beta, \alpha)\in \{I_j,j\in J\}. [/mm]
Dann besitzt die Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung.

Dieses Lemma könnt man dann verwenden, um die Betrachtung des zweiten Falles fort- und zum Ende zu führen.

Frohes Schaffen wünscht

Mathias

Bezug
                
Bezug
Ordinalzahlen kompakt?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:48 Fr 08.09.2006
Autor: Schlorz


> Hallo und guten Morgen,
>  
> wenn wir für  [mm]\alpha\in[/mm] On die Menge
>
> [mm]\alpha=\{\beta\in\: On\: |\: \beta <\alpha\}[/mm]
>
> als topologischen Raum (mit der Ordnungstopologie)
> auffassen, so ist  [mm]\alpha[/mm] kompakt genau dann, wenn [mm]\alpha[/mm]
> eine
>  Nachfolger-Ordinalzahl ist, d.h. wenn es [mm]\beta <\alpha[/mm]
> gibt mit [mm]\beta+1=\alpha.[/mm]

... ach so... und die abgeschlossenen Mengen setzen sich ja aus solchen Nachfolger-Ordinalzahlen zusammen, richtig?

> Beweis:
> Eine Basis für den topologischen Raum [mm]\alpha\in[/mm] On ist ja
> gegeben durch die Mengen
>
> [mm](\beta_1,\beta_2), \beta_1,\beta_2\in\alpha[/mm] und die Mengen
> [mm][0,\beta), (\beta,alpha)[/mm] für [mm]\beta\in \alpha.[/mm]
>  
> Angenommen [mm]\alpha[/mm] sei keine Nachfolger-Ordinalzahl, also
> ein Limit. Dann gibt es zu jedem [mm]\beta <\alpha[/mm] ein [mm]\beta[/mm] <
> [mm]\gamma[/mm] < [mm]\lapha.[/mm]
>  Wir können also eine unendliche Folge [mm]\beta_1[/mm] < [mm]\beta_2[/mm] <
> [mm]\ldots[/mm] < [mm]\beta_n[/mm] < [mm]\ldots <\alpha[/mm] konstruieren, so dass es
> zu jedem [mm]\gamma <\alpha[/mm] ein
>  [mm]i\in\IN[/mm] gibt mit [mm]\gamma <\beta_i.[/mm]
>  
> Nehmen wir die Intervalle [mm][0=:\beta_0,\beta_1)[/mm] und
> [mm](beta_i,\beta_{i+2}),i\in\IN_0.[/mm] Sie bilden offenbar eine
> offenen Überdeckung von [mm]\alpha,[/mm] und man zeigt sofort, dass
> keine endliche Teilfamilie davon auch [mm]\alpha[/mm] überdeckt.

so weit, so gut.
  

> Angenommen nun, [mm]\alpha[/mm] sei Nachfolger, zB [mm]\alpha =\sigma+1.[/mm]
>  
> Wir müssen zeigen, dass [mm]\alpha[/mm] kompakt ist.
>  
> Sei  [mm]I_j,j\in[/mm] J eine offene Überdeckung von [mm]\alpha,[/mm] und oE
> seien alle [mm]I_j[/mm] Intervalle. Zzg: Es gibt eine endliche
> Teilüberdeckung.
>  
> Fall 1: [mm]\sigma[/mm] ist Nachfolger. Dann sehen wir leicht, dass
> es ein endliches [mm]J_0\subseteq[/mm] J gibt mit [mm]\bigcup_{j\in J_0}I_j=\alpha,[/mm]
> nicht wahr ?!

[mm]\bigcup_{j\in J_0}I_j=\sigma[/mm]? oder tatsächlich [mm]\alpha[/mm]?

> Fall 2: [mm]\sigma[/mm] ist Limit.
>
> Dann gibt es ein Intervall [mm]I_j,j\in[/mm] J mit
> [mm]I_j=(\beta,\alpha), \beta <\sigma[/mm] (denn [mm]\sigma[/mm] muss ja
> überdeckt werden.
>  Sei
>  
> [mm]\beta_{\sigma}:=\min\{\beta\: |\: \beta <\sigma,\: (\beta,\alpha)\in\{I_j,j\in J\}\}[/mm]
>  
> Ich würd vielleicht nun erstmal als Hilfslemma versuchen zu
> zeigen:
>  
> Lemma. Sei [mm]\alpha\in[/mm] On eine Limit-Ordinalzahl, und sei
> [mm]I_i,i\in[/mm] J eine Überdeckung von [mm]\alpha[/mm] mit offenen
> Intervallen [mm]I_j,[/mm] so dass es
>  ein [mm]\beta <\alpha[/mm] gibt mit [mm](\beta, \alpha)\in \{I_j,j\in J\}.[/mm]
>  
> Dann besitzt die Überdeckung eine endliche
> Teilüberdeckung.
>  
> Dieses Lemma könnt man dann verwenden, um die Betrachtung
> des zweiten Falles fort- und zum Ende zu führen.

könnte man auch so verfahren?: Das habe ich gestern abend gefunden, da ging es ursprünglich "nur" um [mm][0,\omega_1][/mm], wobei [mm]\omega_1[/mm] die erste überabzählbare Ordinalzahl ist... jetzt frage ich mich, ob das auch allgemeiner funktioniert:

Sei [mm](U_i|i∈I)[/mm] eine offene Überdeckung von [mm][0, \alpha][/mm]. Definiere eine Abbildung
[mm]\phi :[0 , \alpha] \to [0, \alpha][/mm] mit:
[mm](1) \phi(0) = 0[/mm]
[mm](2) \phi(\beta) < \beta[/mm] für alle [mm]\beta \not= 0[/mm] und es existiert ein [mm]i_{\beta} \in I [/mm] mit [mm]]\phi(\beta), \beta] \in U_i_{\beta}[/mm].
Induktiv konstruiere man nun eine Folge:
[mm]\beta_0 : = \alpha; \beta_1 := \phi(\alpha) = \phi(\beta_0), \beta_n := \phi(\beta_{n-1}), n \le 2[/mm].
Dann gilt:
[mm][mm] \beta_0 [/mm] > [mm] \beta_1 [/mm] > [mm] \beta_2 [/mm] > .. .
Dann gibt es ein [mm]n \in N[/mm] (N die natürlichen Zahlen...) mit [mm]\beta_i = \beta_n[/mm] für alle [mm]i \geq n[/mm].
Da der obige Prozeß also nicht fortgesetzt werden kann, muß [mm]\beta_n = 0[/mm] gelten. Also ist
[mm]]0, \alpha] \subset \bigcup_{i=1,...,n}]\beta_i, \beta_{i-1}] \subset U_{i_{\beta_0}} \cup . . . \cup U_{i_{\beta_{n-1}}}[/mm]
Wähle ein [mm]i_0 \in I[/mm] mit [mm]0 \in U_{i_0}[/mm]. Dann bilden [mm]U_{i_0}, U_{i_{\beta_0}}, . . . , U_{i_{\beta_{n-1}}}[/mm]
eine endliche Teilüberdeckung von [mm][0, \alpha][/mm].

> Frohes Schaffen wünscht
>  
> Mathias

Danke dir. :)

Bezug
                        
Bezug
Ordinalzahlen kompakt?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:54 Fr 08.09.2006
Autor: mathiash

Sei nochmals gegrüßt !

> > Hallo und guten Morgen,
>  >  
> > wenn wir für  [mm]\alpha\in[/mm] On die Menge
> >
> > [mm]\alpha=\{\beta\in\: On\: |\: \beta <\alpha\}[/mm]
> >
> > als topologischen Raum (mit der Ordnungstopologie)
> > auffassen, so ist  [mm]\alpha[/mm] kompakt genau dann, wenn [mm]\alpha[/mm]
> > eine
>  >  Nachfolger-Ordinalzahl ist, d.h. wenn es [mm]\beta <\alpha[/mm]
> > gibt mit [mm]\beta+1=\alpha.[/mm]
>  
> ... ach so... und die abgeschlossenen Mengen setzen sich ja
> aus solchen Nachfolger-Ordinalzahlen zusammen, richtig?
>

Abgeschlossene Mengen setzen sich aus abgeschlossenen Intervallen zusammen.

> > Beweis:
> > Eine Basis für den topologischen Raum [mm]\alpha\in[/mm] On ist ja
> > gegeben durch die Mengen
> >
> > [mm](\beta_1,\beta_2), \beta_1,\beta_2\in\alpha[/mm] und die Mengen
> > [mm][0,\beta), (\beta,alpha)[/mm] für [mm]\beta\in \alpha.[/mm]
>  >  
> > Angenommen [mm]\alpha[/mm] sei keine Nachfolger-Ordinalzahl, also
> > ein Limit. Dann gibt es zu jedem [mm]\beta <\alpha[/mm] ein [mm]\beta[/mm] <
> > [mm]\gamma[/mm] < [mm]\lapha.[/mm]
>  >  Wir können also eine unendliche Folge [mm]\beta_1[/mm] < [mm]\beta_2[/mm]
> <
> > [mm]\ldots[/mm] < [mm]\beta_n[/mm] < [mm]\ldots <\alpha[/mm] konstruieren, so dass es
> > zu jedem [mm]\gamma <\alpha[/mm] ein
>  >  [mm]i\in\IN[/mm] gibt mit [mm]\gamma <\beta_i.[/mm]
>  >  
> > Nehmen wir die Intervalle [mm][0=:\beta_0,\beta_1)[/mm] und
> > [mm](beta_i,\beta_{i+2}),i\in\IN_0.[/mm] Sie bilden offenbar eine
> > offenen Überdeckung von [mm]\alpha,[/mm] und man zeigt sofort, dass
> > keine endliche Teilfamilie davon auch [mm]\alpha[/mm] überdeckt.
>  
> so weit, so gut.
>    
> > Angenommen nun, [mm]\alpha[/mm] sei Nachfolger, zB [mm]\alpha =\sigma+1.[/mm]
>  
> >  

> > Wir müssen zeigen, dass [mm]\alpha[/mm] kompakt ist.
>  >  
> > Sei  [mm]I_j,j\in[/mm] J eine offene Überdeckung von [mm]\alpha,[/mm] und oE
> > seien alle [mm]I_j[/mm] Intervalle. Zzg: Es gibt eine endliche
> > Teilüberdeckung.
>  >  
> > Fall 1: [mm]\sigma[/mm] ist Nachfolger. Dann sehen wir leicht, dass
> > es ein endliches [mm]J_0\subseteq[/mm] J gibt mit [mm]\bigcup_{j\in J_0}I_j=\alpha,[/mm]
> > nicht wahr ?!
>  
> [mm]\bigcup_{j\in J_0}I_j=\sigma[/mm]? oder tatsächlich [mm]\alpha[/mm]?
>  

Es ist [mm] \alpha [/mm] gemeint, und zwar als Menge [mm] \alpha=\{\beta\in On\: |\: \beta <\alpha\}. [/mm]
Genauer gesagt handelt sich es hierbei um ein induktives Argument.


> > Fall 2: [mm]\sigma[/mm] ist Limit.
> >
> > Dann gibt es ein Intervall [mm]I_j,j\in[/mm] J mit
> > [mm]I_j=(\beta,\alpha), \beta <\sigma[/mm] (denn [mm]\sigma[/mm] muss ja
> > überdeckt werden.
>  >  Sei
>  >  
> > [mm]\beta_{\sigma}:=\min\{\beta\: |\: \beta <\sigma,\: (\beta,\alpha)\in\{I_j,j\in J\}\}[/mm]
>  
> >  

> > Ich würd vielleicht nun erstmal als Hilfslemma versuchen zu
> > zeigen:
>  >  
> > Lemma. Sei [mm]\alpha\in[/mm] On eine Limit-Ordinalzahl, und sei
> > [mm]I_i,i\in[/mm] J eine Überdeckung von [mm]\alpha[/mm] mit offenen
> > Intervallen [mm]I_j,[/mm] so dass es
>  >  ein [mm]\beta <\alpha[/mm] gibt mit [mm](\beta, \alpha)\in \{I_j,j\in J\}.[/mm]
>  
> >  

> > Dann besitzt die Überdeckung eine endliche
> > Teilüberdeckung.
>  >  
> > Dieses Lemma könnt man dann verwenden, um die Betrachtung
> > des zweiten Falles fort- und zum Ende zu führen.
>  
> könnte man auch so verfahren?: Das habe ich gestern abend
> gefunden, da ging es ursprünglich "nur" um [mm][0,\omega_1][/mm],
> wobei [mm]\omega_1[/mm] die erste überabzählbare Ordinalzahl ist...
> jetzt frage ich mich, ob das auch allgemeiner
> funktioniert:
>  
> Sei [mm](U_i|i∈I)[/mm] eine offene Überdeckung von [mm][0, \alpha][/mm].
> Definiere eine Abbildung
>  [mm]\phi :[0 , \alpha] \to [0, \alpha][/mm] mit:
>  [mm](1) \phi(0) = 0[/mm]
>  [mm](2) \phi(\beta) < \beta[/mm] für alle [mm]\beta \not= 0[/mm]
> und es existiert ein [mm]i_{\beta} \in I[/mm] mit [mm]]\phi(\beta), \beta] \in U_i_{\beta}[/mm].
>  
> Induktiv konstruiere man nun eine Folge:
>  [mm]\beta_0 : = \alpha; \beta_1 := \phi(\alpha) = \phi(\beta_0), \beta_n := \phi(\beta_{n-1}), n \le 2[/mm].
>  
> Dann gilt:
>  [mm][mm]\beta_0[/mm] > [mm]\beta_1[/mm] > [mm]\beta_2[/mm] > .. .

> Dann gibt es ein [mm]n \in N[/mm] (N die natürlichen Zahlen...) mit [mm]\beta_i = \beta_n[/mm] für alle [mm]i \geq n[/mm].

>Da der obige Prozeß also nicht fortgesetzt werden kann, muß [mm]\beta_n = 0[/mm] gelten. Also ist
>[mm]]0, \alpha] \subset \bigcup_{i=1,...,n}]\beta_i, \beta_{i-1}] \subset U_{i_{\beta_0}} \cup . . . \cup U_{i_{\beta_{n-1}}}[/mm]
>Wähle ein [mm]i_0 \in I[/mm] mit [mm]0 \in U_{i_0}[/mm]. Dann bilden [mm]U_{i_0}, U_{i_{\beta_0}}, . . . , U_{i_{\beta_{n-1}}}[/mm]
>eine endliche Teilüberdeckung von [mm][0, \alpha][/mm].

Das sollte für allgemeine [mm] \alpha\in [/mm] On stimmen. Also ist jede Menge [mm] [0,\alpha], \: \alpha\in [/mm] On kompakt.

Ich hatte in meiner ersten Antwort anstatt [mm] [0,\alpha] [/mm] die Menge [mm] \alpha=[0,\alpha [/mm] ) betrachtet, und
diese ist dann halt kompakt genau dann, wenn [mm] \alpha [/mm] ein Nachfolger ist, oder anders gesagt, wenn [mm] es\beta\in [/mm] On gibt mit

[mm] [0,\beta [/mm] ] [mm] =\alpha. [/mm]

Gruss,

Mathias


Bezug
                                
Bezug
Ordinalzahlen kompakt?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:54 Fr 08.09.2006
Autor: Schlorz

Danke. Du hast mir sehr geholfen, doch nicht verrückt zu werden, was ja angeblich dem einen oder anderem Mathematiker bei der Auseinandersetzung mit derlei Stoff passiert sein soll...

;)
Gruß,

Schlorz

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