Ordnung bestimmen < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:12 Fr 14.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Ordnung aller Elemente folgender Gruppen:
a) {z [mm] \in \IC [/mm] | [mm] z^{8} [/mm] = 1} mit der Multiplikation komplexer Zahlen,
b) [mm] \IZ_{8} [/mm] mit der Addition. |
Hallo. Kann mir vllt jemand erklären, wie man die Ordnung einer Gruppe bestimmt. Ist das die Anzahl der Elemente? Dann wäre die Ordnung bei a ja 1. Aber so einfach kann das nicht sein. Danke für jede Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:23 Fr 14.01.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> Hallo. Kann mir vllt jemand erklären, wie man die Ordnung
> einer Gruppe bestimmt. Ist das die Anzahl der Elemente?
> Dann wäre die Ordnung bei a ja 1. Aber so einfach kann das
> nicht sein. Danke für jede Hilfe.
Also, du musst etwas unterscheiden: Die Ordnung einer Gruppe ist die Anzahl ihrer Elemente. Die Ordnung eines Gruppenelements hingegen ist die Zahl, die dir angibt wie häufig du das Element mit sich selbst verknüpfen musst, um das neutrale Element zu erhalten. Sprich die Ordnung von a ist das minimale $n [mm] \in \IN: a^n=e$.
[/mm]
Zur a: die Gruppe besteht nicht nur aus einem Element, z.B. sind 1 und [mm] $e^\frac{2\pi{i}}{8}$ [/mm] in der Gruppe. Es gibt sogar noch weitere Elemente. Was ist das neutrale Element der Gruppe, das musst du dich fragen, bevor du die Ordnung der einzelnen Elemente bestimmen kannst.
LG Lippel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:29 Fr 14.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Hmm..verstehe. Danke erstmal.
Ist das neutrale Element nicht einfach 1 oder sehe ich das zu einfach?
Muss man zusätzlich zeigen oder kann ich das einfach so behaupten?
Dann wäre die Ordnung aber 8?
Wie schreibt man sowas formal auf oder kann ich das so begründen wie ichs grad gemacht habe?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:38 Fr 14.01.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> Ist das neutrale Element nicht einfach 1 oder sehe ich das
> zu einfach?
>
> Muss man zusätzlich zeigen oder kann ich das einfach so
> behaupten?
$1*z=z$ für alle $z [mm] \in \IC$, [/mm] damit ist 1 auch Neutrales Element deiner Untergruppe von [mm] $\IC$
[/mm]
> Dann wäre die Ordnung aber 8?
Von welchem Element ist die Ordnung 8? Oder meinst du die Ordnung der Gruppe?
>
> Wie schreibt man sowas formal auf oder kann ich das so
> begründen wie ichs grad gemacht habe?
Finde erstmal die restlichen Elemente der Gruppe, es sind insgesamt 8.
LG Lippel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:51 Fr 14.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Ok mach ich. Also:
Es gilt:
[mm] z^{8} [/mm] = 1
z [mm] \in {(cos(\bruch{2 PI k}{8}) + i \* (sin(\bruch{2 PI k}{8}) }
[/mm]
= {1; 0,707,...}
Kannst du bitte mal schaun, ob der Ansatz richtig ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:09 Fr 14.01.2011 | | Autor: | Lippel |
> Ok mach ich. Also:
>
> Es gilt:
>
> [mm]z^{8}[/mm] = 1
>
> z [mm]\in {(cos(\bruch{2 PI k}{8}) + i \* (sin(\bruch{2 PI k}{8}) }[/mm]
Genau, jetzt musst du nur noch dazu sagen, was das k sein kann.
Und es ist: [mm] $e^{i\frac{2\pi k}{8}} [/mm] = [mm] cos(\bruch{2 \pi k}{8}) [/mm] + [mm] i\: sin(\bruch{2 \pi k}{8})$. [/mm] Damit kannst du das ganze kompakter schreiben.
Im komplexen gibt es immer n n-te Einheitswurzeln, das heißt in deinem Fall hier acht, nämlich:
[mm] $\{1, e^{i\frac{2\pi}{8}}, e^{2*i\frac{2\pi}{8}}, e^{3*i\frac{2\pi}{8}}, \ldots , e^{7*i\frac{2\pi}{8}}\}$
[/mm]
Damit ist dein k von oben aus der Menge [mm] $\{1,\ldots,7\}$. [/mm] Wenn du für k eine andere ganze Zahl einsetzt, erhälst du immer ein Element, das gleich einem von denen ist, die du schon in der Menge hast.
Dann kannst du anfangen, dir für alle 8 die Ordnung zu suchen. Sie ist ja höchstens 8 für jedes der Elemente, kann aber auch kleiner sein, z.B. ist [mm] $(e^{i\frac{2\pi*4}{8}})^2 [/mm] = 1$, d.h. die Ordnung dieses Elements ist 2.
LG Lippel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:24 Fr 14.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Geht das dann so?
Also 1 hat die Ordnung 1, da 1 * 1 = 1
[mm] e^{3 i \bruch{2PI}{8}} [/mm] Ord. 3
[mm] e^{4 i \bruch{2PI}{8}} [/mm] Ord. 2
[mm] e^{5 i \bruch{2PI}{8}} [/mm] Ord. 8
[mm] e^{6 i \bruch{2PI}{8}} [/mm] Ord. 3
[mm] e^{7 i \bruch{2PI}{8}} [/mm] keine Ordnung ??? Gibts das?
Kannst du vllt ein oder zwei nachprüfen, am besten das mit der 8 und die letzte. Da bin ich mir nämlich ziemlich unsicher.
Bei der b: Das sind die Elemente doch einfach {0,1,2,3,4,5,6,7}? Und das neutrale Element 0
z.B. wäre dann bei 2:
2+2+2+2= 8 mod8 = 0
Also hätte 2 die Ordnung 4?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:34 Fr 14.01.2011 | | Autor: | Lippel |
> Geht das dann so?
>
> Also 1 hat die Ordnung 1, da 1 * 1 = 1
>
> [mm]e^{3 i \bruch{2PI}{8}}[/mm] Ord. 3
Nein, [mm](e^{3 i \bruch{2PI}{8}})^3 = (e^{9 i \bruch{2PI}{8}}) \not=8 [/mm]
>
> [mm]e^{4 i \bruch{2PI}{8}}[/mm] Ord. 2
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]e^{5 i \bruch{2PI}{8}}[/mm] Ord. 8
>
> [mm]e^{6 i \bruch{2PI}{8}}[/mm] Ord. 3
Nein.
>
> [mm]e^{7 i \bruch{2PI}{8}}[/mm] keine Ordnung ??? Gibts das?
Man spricht dann von unendlicher Ordnung, das ist aber hier nicht der Fall, denn:
[mm](e^{7 i \bruch{2PI}{8}})^8 = e^{7 i *2PI} = 1[/mm]
>
> Kannst du vllt ein oder zwei nachprüfen, am besten das mit
> der 8 und die letzte. Da bin ich mir nämlich ziemlich
> unsicher.
>
> Bei der b: Das sind die Elemente doch einfach
> {0,1,2,3,4,5,6,7}? Und das neutrale Element 0
Genau.
> z.B. wäre dann bei 2:
>
> 2+2+2+2= 8 mod8 = 0
>
> Also hätte 2 die Ordnung 4?
Richtig.
LG Lippel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:42 Fr 14.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Danke nochmal. Die b hab ich ja dann anscheinend richtig xD Ist aber irgendwie leichter als die a. Kann man das + denn wie folgt definieren (in der Vorlesung wurd das mal erwähnt). Ist ja nicht das übliche +.
[mm] +_{\IZ_{8}} [/mm] := ... mod 8
Sry, wenn ich so blöd frage, aber kennst du vllt die Defintion? Deswegen die drei Punkte, weil ichs nicht mehr genau weiß und das in der Vorl. nur angesprochen wurde. Ich würds aber schon gerne wissen.
Die Fehler in den Ordnungen hab ich aber gesehn, danke.
Ach ja. Gibt es auch die Ordnung in Ringen? Geht das da genauso. Oder gibt es den Begriff der Ordnung nur für Gruppen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:03 Fr 14.01.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> Danke nochmal. Die b hab ich ja dann anscheinend richtig xD
> Ist aber irgendwie leichter als die a. Kann man das + denn
> wie folgt definieren (in der Vorlesung wurd das mal
> erwähnt). Ist ja nicht das übliche +.
>
> [mm]+_{\IZ_{8}}[/mm] := ... mod 8
[mm]+_{\IZ_{8}}: \IZ_{8} \times \IZ_{8} \to \IZ_{8}, x \: mod \: 8 +_{\IZ_{8}} y \: mod \: 8 = (x+y) \: mod \: 8 [/mm]
>
> Ach ja. Gibt es auch die Ordnung in Ringen? Geht das da
> genauso. Oder gibt es den Begriff der Ordnung nur für
> Gruppen?
Ein Ring ist immer auch Gruppe bzgl. der Addition, da gibt es also auf jeden Fall Ordnungen.
LG Lippel
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:21 So 16.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Hab doch noch eine Frage dazu.
Ich hab das jetzt mal für alle Elemente gemacht.
Das scheint symmetrisch zu sein. Ist das Zufall oder gibts da ein mathematisches Gesetz oder sowas in der Art?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Di 18.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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