Ordnung eines Gitters < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:02 Fr 23.04.2010 | | Autor: | Arcesius |
| Aufgabe | Let K = [mm] \IQ(\sqrt{-5}) [/mm] and M = [mm] \IZ \oplus \IZ\cdot\frac{1+\sqrt{-5}}{2} \subset [/mm] K
a) Compute the order [mm] \mathcal{O}_{M} [/mm] in K associated with M
b) Show that there does not exist any [mm] \alpha \in K^{\times} [/mm] such that [mm] \mathcal{O}_{M} [/mm] = [mm] \alpha [/mm] M |
Hallo Leute
(Uff, diese Woche brauche ich viel Hilfe.. ^^)
Ich bin gerade bei Teilaufgabe a).. b) muss warten :)
Ich weiss eigentlich nicht viel, ausser [mm] \mathcal{O}_{M} [/mm] = [mm] \{\omega \in K | \omega M \subset M\}
[/mm]
Zusätzlich weiss ich, dass jedes Element darin ganz sein muss (integral elements). Aber ich weiss nicht mit Sicherheit, ob es umgekehrt auch gilt, dass jedes ganze Element in [mm] \mathcal{O}_{M} [/mm] sein muss...
Hätte jemand einen Ansatz, wie ich diese Aufgabe angehen kann?
Danke!
Grüsse, Amaro
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:57 Sa 24.04.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Let K = [mm]\IQ(\sqrt{-5})[/mm] and M = [mm]\IZ \oplus \IZ\cdot\frac{1+\sqrt{-5}}{2} \subset[/mm]
> K
>
> a) Compute the order [mm]\mathcal{O}_{M}[/mm] in K associated with
> M
> b) Show that there does not exist any [mm]\alpha \in K^{\times}[/mm]
> such that [mm]\mathcal{O}_{M}[/mm] = [mm]\alpha[/mm] M
> Hallo Leute
>
> (Uff, diese Woche brauche ich viel Hilfe.. ^^)
>
> Ich bin gerade bei Teilaufgabe a).. b) muss warten :)
>
> Ich weiss eigentlich nicht viel, ausser [mm]\mathcal{O}_{M}[/mm] =
> [mm]\{\omega \in K | \omega M \subset M\}[/mm]
>
> Zusätzlich weiss ich, dass jedes Element darin ganz sein
> muss (integral elements).
Ja.
> Aber ich weiss nicht mit
> Sicherheit, ob es umgekehrt auch gilt, dass jedes ganze
> Element in [mm]\mathcal{O}_{M}[/mm] sein muss...
Hier kann das wohl der Fall sein, aber fuer einen allgemeinen freien [mm] $\IZ$-Modul [/mm] von Rank $n$ in einem allgemeinen Zahlkoerper von Grad $n$ muss das nicht stimmen.
> Hätte jemand einen Ansatz, wie ich diese Aufgabe angehen
> kann?
Fuer ein Element [mm] $\omega \in [/mm] K$ gilt [mm] $\omega [/mm] M [mm] \subseteq [/mm] M$ genau dann, wenn [mm] $\omega, \omega \frac{1 + \sqrt{-5}}{2} \in [/mm] M$. Damit folgt schonmal [mm] $\mathcal{O}_M \subseteq [/mm] M$.
Sei $z = a + b [mm] \frac{1 + \sqrt{-5}}{2} \in [/mm] M$; rechne doch mal $z [mm] \frac{1 + \sqrt{-5}}{2}$ [/mm] aus und ueberleg dir, wann das wieder in $M$ liegt. Damit solltest du schnell herausfinden, wie [mm] $\mathcal{O}_M$ [/mm] aussieht.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:25 Sa 24.04.2010 | | Autor: | Arcesius |
Hallo Felix! Danke wieder einmal für deine Antwort :)
> Fuer ein Element [mm]\omega \in K[/mm] gilt [mm]\omega M \subseteq M[/mm]
> genau dann, wenn [mm]\omega, \omega \frac{1 + \sqrt{-5}}{2} \in M[/mm].
> Damit folgt schonmal [mm]\mathcal{O}_M \subseteq M[/mm].
>
> Sei [mm]z = a + b \frac{1 + \sqrt{-5}}{2} \in M[/mm]; rechne doch
> mal [mm]z \frac{1 + \sqrt{-5}}{2}[/mm] aus und ueberleg dir, wann
> das wieder in [mm]M[/mm] liegt. Damit solltest du schnell
> herausfinden, wie [mm]\mathcal{O}_M[/mm] aussieht.
>
Das habe ich nun gemacht.. setze also z = a + [mm] b(\frac{1+\sqrt{-5}}{2}). [/mm]
Dann ist z [mm] \frac{1+\sqrt{-5}}{2} [/mm] = [mm] a(\frac{1+\sqrt{-5}}{2})+b(\frac{\sqrt{-5}-2}{2}) [/mm] = [mm] a(\frac{1+\sqrt{-5}}{2}) [/mm] + [mm] b(\frac{1+\sqrt{-5}}{2}) [/mm] - [mm] \frac{3}{2}b [/mm] = [mm] -\frac{3}{2}b [/mm] + [mm] (a+b)(\frac{1+\sqrt{-5}}{2})
[/mm]
Das muss nun in M sein. Da a,b [mm] \in \IZ, [/mm] muss ich nur den ersten Teil anschauen.. also [mm] -\frac{3}{2}b \in \IZ \forall [/mm] b [mm] \in 2\IZ
[/mm]
Somit ist [mm] \mathcal{O}_{M} [/mm] = [mm] \{\omega \in K | \omega = a + b(\frac{1+\sqrt{-5}}{2}), a \in \IZ, b \in 2\IZ\}
[/mm]
Doch irgendwie denke ich nicht, dass das schon fertig ist.. ich meine, ich bin jetzt von einem Element in M ausgegangen und diesen mit einem Basiselement von K multipliziert.. aber das reicht ja noch nicht, oder?
Ich muss jetzt alles abhängig von den Koeffizienten von [mm] \omega [/mm] anschauen, oder nicht?
> LG Felix
>
Grüsse, Amaro
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:00 So 25.04.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo Amaro!
> > Fuer ein Element [mm]\omega \in K[/mm] gilt [mm]\omega M \subseteq M[/mm]
> > genau dann, wenn [mm]\omega, \omega \frac{1 + \sqrt{-5}}{2} \in M[/mm].
> > Damit folgt schonmal [mm]\mathcal{O}_M \subseteq M[/mm].
> >
> > Sei [mm]z = a + b \frac{1 + \sqrt{-5}}{2} \in M[/mm]; rechne doch
> > mal [mm]z \frac{1 + \sqrt{-5}}{2}[/mm] aus und ueberleg dir, wann
> > das wieder in [mm]M[/mm] liegt. Damit solltest du schnell
> > herausfinden, wie [mm]\mathcal{O}_M[/mm] aussieht.
> >
>
> Das habe ich nun gemacht.. setze also z = a +
> [mm]b(\frac{1+\sqrt{-5}}{2}).[/mm]
>
> Dann ist z [mm]\frac{1+\sqrt{-5}}{2}[/mm] =
> [mm]a(\frac{1+\sqrt{-5}}{2})+b(\frac{\sqrt{-5}-2}{2})[/mm] =
> [mm]a(\frac{1+\sqrt{-5}}{2})[/mm] + [mm]b(\frac{1+\sqrt{-5}}{2})[/mm] -
> [mm]\frac{3}{2}b[/mm] = [mm]-\frac{3}{2}b[/mm] +
> [mm](a+b)(\frac{1+\sqrt{-5}}{2})[/mm]
>
>
> Das muss nun in M sein. Da a,b [mm]\in \IZ,[/mm] muss ich nur den
> ersten Teil anschauen.. also [mm]-\frac{3}{2}b \in \IZ \forall[/mm]
> b [mm]\in 2\IZ[/mm]
>
> Somit ist [mm]\mathcal{O}_{M}[/mm] = [mm]\{\omega \in K | \omega = a + b(\frac{1+\sqrt{-5}}{2}), a \in \IZ, b \in 2\IZ\}[/mm]
Genau. Oder auch: [mm] $\mathcal{O}_M [/mm] = [mm] \{ a + b (1 + \sqrt{-5}) \mid a, b \in \IZ \} [/mm] = [mm] \IZ[1 [/mm] + [mm] \sqrt{-5}] [/mm] = [mm] \IZ[\sqrt{-5}]$.
[/mm]
> Doch irgendwie denke ich nicht, dass das schon fertig ist..
Doch, bist du.
> ich meine, ich bin jetzt von einem Element in M ausgegangen
> und diesen mit einem Basiselement von K multipliziert..
> aber das reicht ja noch nicht, oder?
Doch. Da $M$ der von $1$ und [mm] $\frac{1 + \sqrt{-5}}{2}$ [/mm] erzeugte [mm] $\IZ$-Modul [/mm] ist, reicht es, wenn du ein Element mit diesen beiden multiplizierst und dann guckst, ob das Ergebnis in $M$ liegt. Da 1 ein Basiselement ist, muss somit jedes solche Element bereits in $M$ liegen.
Also musst du gucken, welche [mm] $\omega \in [/mm] M$ erfuellen, dass [mm] $\omega \frac{1 + \sqrt{-5}}{2} \in [/mm] M$ liegt. Und das hast du getan, und somit herausbekommen, dass [mm] $\mathcal{O}_M [/mm] = [mm] \IZ[\sqrt{-5}]$ [/mm] ist.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:48 So 25.04.2010 | | Autor: | Arcesius |
| Aufgabe | | b) Show that there does not exist any [mm] \alpha \in K^{\times} [/mm] such that [mm] \mathcal{O}_{M} [/mm] = [mm] \alpha [/mm] M |
Hallo!
Zuerst einmal danke für die bisherige Hilfe.. es wird immer alles so gut erklärt hier, kompliment dafür :)
Jetzt komme ich zur zweiten Teilaufgabe. Ich habe mir folgendes überlegt (und nachgerechnet):
M = [mm] \IZ \oplus \frac{1+\sqrt{-5}}{2}\IZ [/mm] = [mm] \{a+b\left(\frac{1+\sqrt{-5}}{2}\right) | a,b \in \IZ\}
[/mm]
[mm] \mathcal{O}_{M} [/mm] = [mm] \IZ\left[\sqrt{-5}\right] [/mm] = [mm] \{a + b(1+\sqrt{-5}) | a,b \in \IZ\}
[/mm]
K = [mm] \{x + y\sqrt{-5} | x,y \in \IQ\}
[/mm]
Jetzt habe ich also ein [mm] \alpha \in K^{\times} [/mm] der Form [mm] \alpha [/mm] = x + [mm] y\sqrt{-5} [/mm] mit Koeffs in [mm] \IQ, [/mm] s.d (x,y) [mm] \neq [/mm] (0,0). Ich rechne also nach, wie [mm] \alpha\cdot [/mm] M aussieht:
[mm] \underbrace{(x+y\sqrt{-5})}_{\in K^{\times}}\underbrace{(a+b\frac{1+\sqrt{-5}}{2})}_{\in M} [/mm] = ax + [mm] bx\left(\frac{1+\sqrt{-5}}{2}\right)+ay\sqrt{-5}+by\left(\frac{\sqrt{-5}-5}{2}\right)
[/mm]
Ich forme die Terme um, fasse zusammen und erhalte:
[mm] (x+y\sqrt{-5})(a+b\left(\frac{1+\sqrt{-5}}{2}\right)) [/mm] = (ax - 3by - ay) + [mm] (\frac{bx}{2}+\frac{by}{2} [/mm] + [mm] ay)(1+\sqrt{-5})
[/mm]
Und nun werde ich das Gefühl nicht los, dass das ganze umsonst war.. denn dieses Element kann ja durchaus in [mm] \mathcal{O}_{M} [/mm] liegen.. oder nicht? (Natürlich heisst das dann nicht automatisch, dass [mm] \alpha [/mm] M = [mm] \mathcal{O}_{M}, [/mm] aber trotzdem komm ich so nicht weiter).
Meine zweite überlegung war, da man bei einer Gleichheit X = Y ja zeigen muss, dass X [mm] \subset [/mm] Y und Y [mm] \subset [/mm] X gilt, hier versuchen zu zeigen, dass eine der beiden Richtungen gestört ist.. komme ich da eher auf ein Ergebnis?
Danke schonmal für jeden Tipp!
Schönen Sonntag, liebe Grüsse, Amaro
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:29 So 25.04.2010 | | Autor: | MaoK |
Kann sein, dass ich mich irre, aber:
Ein solches [mm] \alpha [/mm] = x + y [mm] \wurzel{-5} [/mm] kann nicht ganz sein, weil sonst
[mm] O_M [/mm] = [mm] \alpha [/mm] M [mm] \subset O_M [/mm] M = M, was ja nicht der fall ist.
Dass heißt, a oder b besitzt einen Nenner.
Du hast ja bereits [mm] \alpha [/mm] m ausgerechnet für ein m [mm] \in [/mm] M.
Wenn du jetzt m so wählen kannst, dass [mm] \alpha [/mm] m nicht in [mm] O_M [/mm] liegt, bist du fertig. Aber mit der Formel die du hast, dürfte das ja nicht so schwer sein.
Gruß, Thomas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:05 So 25.04.2010 | | Autor: | Arcesius |
Hey
> Kann sein, dass ich mich irre, aber:
> Ein solches [mm]\alpha[/mm] = x + y [mm]\wurzel{-5}[/mm] kann nicht ganz
> sein, weil sonst
> [mm]O_M[/mm] = [mm]\alpha[/mm] M [mm]\subset O_M[/mm] M = M, was ja nicht der fall
> ist.
> Dass heißt, a oder b besitzt einen Nenner.
> Du hast ja bereits [mm]\alpha[/mm] m ausgerechnet für ein m [mm]\in[/mm] M.
> Wenn du jetzt m so wählen kannst, dass [mm]\alpha[/mm] m nicht in
> [mm]O_M[/mm] liegt, bist du fertig. Aber mit der Formel die du hast,
> dürfte das ja nicht so schwer sein.
Ich versteh nicht ganz.. ich kann für ein gewisses [mm] \alpha [/mm] mein m ja manipulieren, damit es nicht drin liegt.. aber das muss ja für jedes [mm] \alpha [/mm] gelten.. somit soll ich ein m [mm] \in [/mm] M finden, so dass [mm] \forall \alpha \in K^{\times}, m\cdot \alpha \notin \mathcal{O}_{M}, [/mm] verstehe ich das richtig?
>
> Gruß, Thomas
Grüsse, Amaro
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:39 So 25.04.2010 | | Autor: | MaoK |
> Hey
>
> > Kann sein, dass ich mich irre, aber:
> > Ein solches [mm]\alpha[/mm] = x + y [mm]\wurzel{-5}[/mm] kann nicht ganz
> > sein, weil sonst
> > [mm]O_M[/mm] = [mm]\alpha[/mm] M [mm]\subset O_M[/mm] M = M, was ja nicht der fall
> > ist.
> > Dass heißt, a oder b besitzt einen Nenner.
> > Du hast ja bereits [mm]\alpha[/mm] m ausgerechnet für ein m [mm]\in[/mm]
> M.
> > Wenn du jetzt m so wählen kannst, dass [mm]\alpha[/mm] m nicht in
> > [mm]O_M[/mm] liegt, bist du fertig. Aber mit der Formel die du hast,
> > dürfte das ja nicht so schwer sein.
>
> Ich versteh nicht ganz.. ich kann für ein gewisses [mm]\alpha[/mm]
> mein m ja manipulieren, damit es nicht drin liegt.. aber
> das muss ja für jedes [mm]\alpha[/mm] gelten.. somit soll ich ein m
> [mm]\in[/mm] M finden, so dass [mm]\forall \alpha \in K^{\times}, m\cdot \alpha \notin \mathcal{O}_{M},[/mm]
> verstehe ich das richtig?
Naja eigentlich zeigst du [mm] \forall \alpha \in [/mm] K [mm] \exists [/mm] m : [mm] m\cdot \alpha \notin \matcal{O}_M [/mm] .
(Du nimmst an, es gäbe ein solches alpha mit [mm] \alpha [/mm] M = [mm] O_M [/mm] und zeigst dann, dass für ein m [mm] \in [/mm] M gilt: [mm] \alpha [/mm] m [mm] \notin O_M)
[/mm]
>
> >
> > Gruß, Thomas
>
> Grüsse, Amaro
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:06 So 25.04.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo Amaro!
Hier noch eine andere Moeglichkeit, das zu loesen; ich weiss aber nicht ob die hier funktioniert.
> b) Show that there does not exist any [mm]\alpha \in K^{\times}[/mm]
> such that [mm]\mathcal{O}_{M}[/mm] = [mm]\alpha[/mm] M
Es gibt ja eine Matrix $A [mm] \in \IQ^{2 \times 2}$ [/mm] bzgl. $K = [mm] \IQ \oplus \sqrt{-5} \IQ$, [/mm] welche eine [mm] $\IZ$-Basis [/mm] von $M$ in eine von [mm] $\mathcal{O}_M$ [/mm] ueberfuehrt.
Wenn es ein solches [mm] $\alpha$ [/mm] gibt, muss diese Matrix $A$ -- bis auf unimodulare Transformationen auf beiden Seiten -- gleich der Matrix "Multiplikation mit [mm] $\alpha" [/mm] sein. Insbesondere muss also die Determinante von $A$ (bis evtl. auf's Vorzeichen) mit der Norm von [mm] $\alpha$ [/mm] uebereinstimmen.
Wenn jetzt die Determinante von $A$ (bis auf's Vorzeichen) keine Norm eines Elementes aus [mm] $\IQ(\sqrt{-5})$ [/mm] sein kann, bist du fertig.
Ob das klappt, ist aber eine andere Frage 
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:25 Mo 26.04.2010 | | Autor: | Arcesius |
Hallo
Ich habe gerade ein bisschen ein Durcheinander.. mir ist gerade was aufgefallen:
> Doch. Da [mm]M[/mm] der von [mm]1[/mm] und [mm]\frac{1 + \sqrt{-5}}{2}[/mm] erzeugte
> [mm]\IZ[/mm]-Modul ist, reicht es, wenn du ein Element mit diesen
> beiden multiplizierst und dann guckst, ob das Ergebnis in [mm]M[/mm]
> liegt. Da 1 ein Basiselement ist, muss somit jedes solche
> Element bereits in [mm]M[/mm] liegen.
>
> Also musst du gucken, welche [mm]\omega \in M[/mm] erfuellen, dass
> [mm]\omega \frac{1 + \sqrt{-5}}{2} \in M[/mm] liegt. Und das hast du
> getan, und somit herausbekommen, dass [mm]\mathcal{O}_M = \IZ[\sqrt{-5}][/mm]
> ist.
Warum muss hier [mm] \omega \in [/mm] M sein? Ich muss doch ein [mm] \omega \in [/mm] K nehmen, [mm] \omega\cdot [/mm] M ausrechnen und entscheiden, wann das wieder in M liegt...
Ich habe jetzt aber immer [mm] \omega [/mm] = [mm] a+b\left(\frac{1+\sqrt{-5}}{2}\right) [/mm] mit [mm] \left(\frac{1+\sqrt{-5}}{2}\right) [/mm] (Basiselement von M) multipliziert um auf das Ergebnis von [mm] \mathcal{O}_{M} [/mm] = [mm] \mathbb{Z}\left[\sqrt{-5}\right] [/mm] zu kommen.
Stimmt das nun so, oder habe ich einen Fehler gemacht? Meiner Meinung nach müsste ich doch [mm] \omega [/mm] = a + [mm] b\sqrt{-5} \in [/mm] K, a,b [mm] \in \mathbb{Q} [/mm] wählen und damit rechnen, oder nicht? (Beziehungsweise, a,b [mm] \in \mathbb{Z}, [/mm] da die [mm] \omega [/mm] 's alle ganz sein müssen, um überhaupt in [mm] \mathcal{O}_{M} [/mm] liegen zu können..).
Ich habe das mal gemacht.. und erhalte schliesslich -3b + [mm] (a+b)\frac{1+\sqrt{-5}}{2} \in [/mm] M [mm] \Leftrightarrow [/mm] a,b [mm] \in \mathbb{Z}, [/mm] was mich zum gleichen Ergebnis bringt wie vorher mit dem anderen [mm] \omega.. [/mm]
Danke für die Erklärungsversuche :)
>
> LG Felix
>
Grüsse, Amaro
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:56 Mo 26.04.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ich habe gerade ein bisschen ein Durcheinander.. mir ist
> gerade was aufgefallen:
>
> > Doch. Da [mm]M[/mm] der von [mm]1[/mm] und [mm]\frac{1 + \sqrt{-5}}{2}[/mm] erzeugte
> > [mm]\IZ[/mm]-Modul ist, reicht es, wenn du ein Element mit diesen
> > beiden multiplizierst und dann guckst, ob das Ergebnis in [mm]M[/mm]
> > liegt. Da 1 ein Basiselement ist, muss somit jedes solche
> > Element bereits in [mm]M[/mm] liegen.
> >
> > Also musst du gucken, welche [mm]\omega \in M[/mm] erfuellen, dass
> > [mm]\omega \frac{1 + \sqrt{-5}}{2} \in M[/mm] liegt. Und das hast du
> > getan, und somit herausbekommen, dass [mm]\mathcal{O}_M = \IZ[\sqrt{-5}][/mm]
> > ist.
>
> Warum muss hier [mm]\omega \in[/mm] M sein? Ich muss doch ein [mm]\omega \in[/mm]
> K nehmen, [mm]\omega\cdot[/mm] M ausrechnen und entscheiden, wann
> das wieder in M liegt...
Nun, es gilt fuer [mm] $\omega \in [/mm] K$:
[mm] $\omega [/mm] M [mm] \subseteq [/mm] M$
[mm] $\Longleftrightarrow$ $\omega \cdot [/mm] 1 [mm] \in [/mm] M [mm] \wedge \omega \cdot \frac{1 + \sqrt{-5}}{2} \in [/mm] M$
[mm] $\Longleftrightarrow$ $\omega \in [/mm] M [mm] \wedge \omega \frac{1 + \sqrt{-5}}{2} \in [/mm] M$
> Ich habe jetzt aber immer [mm]\omega[/mm] =
> [mm]a+b\left(\frac{1+\sqrt{-5}}{2}\right)[/mm] mit
> [mm]\left(\frac{1+\sqrt{-5}}{2}\right)[/mm] (Basiselement von M)
> multipliziert um auf das Ergebnis von [mm]\mathcal{O}_{M}[/mm] =
> [mm]\mathbb{Z}\left[\sqrt{-5}\right][/mm] zu kommen.
Genau.
> Stimmt das nun so, oder habe ich einen Fehler gemacht?
> Meiner Meinung nach müsste ich doch [mm]\omega[/mm] = a +
> [mm]b\sqrt{-5} \in[/mm] K, a,b [mm]\in \mathbb{Q}[/mm] wählen und damit
> rechnen, oder nicht? (Beziehungsweise, a,b [mm]\in \mathbb{Z},[/mm]
> da die [mm]\omega[/mm] 's alle ganz sein müssen, um überhaupt in
> [mm]\mathcal{O}_{M}[/mm] liegen zu können..).
Siehe die Aequivalenzen oben :)
> Ich habe das mal gemacht.. und erhalte schliesslich -3b +
> [mm](a+b)\frac{1+\sqrt{-5}}{2} \in[/mm] M [mm]\Leftrightarrow[/mm] a,b [mm]\in \mathbb{Z},[/mm]
> was mich zum gleichen Ergebnis bringt wie vorher mit dem
> anderen [mm]\omega..[/mm]
Kein Wunder
> Danke für die Erklärungsversuche :)
Ich erklaer das jetzt absichtlich nicht genauer, sondern lass oben nur die Aequivalenz stehen. Versuch mal die beiden Aequivalenzen nachzuvollziehen; fuer sich gesehen sind sind beide nicht so schwer.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:46 Di 27.04.2010 | | Autor: | Arcesius |
Hey!
> Ich erklaer das jetzt absichtlich nicht genauer, sondern
> lass oben nur die Aequivalenz stehen. Versuch mal die
> beiden Aequivalenzen nachzuvollziehen; fuer sich gesehen
> sind sind beide nicht so schwer.
>
Das ist sehr gut so, danke dir :) Habs jetzt nachvollziehen können!
> LG Felix
>
Grüsse, Amaro
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