Ordnungen der Elemente in Z18 < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:56 Mi 05.01.2011 | | Autor: | Parkan |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie die Ordnungen der einzelnen Elemente in ([mm]Z_{18}[/mm]*, [mm]*[/mm] ) |
Hier fehlt mir die Lektüre, ich weis nicht was überhaupt gemeint ist.
Kann jemand ein Beispliel für ein bestimmtes Element geben?
Wäre sehr für eine gute Erklärung dankbar
Janina
|
|
| |
|
Hallo Janina,
> Bestimmen Sie die Ordnungen der einzelnen Elemente in
> ([mm]Z_{18}[/mm]*, [mm]*[/mm] )
>
> Hier fehlt mir die Lektüre, ich weis nicht was überhaupt
> gemeint ist.
Das ist aber schwer zu glauben...
Habt ihr den Begriff "Ordnung" eines Gruppenelementes denn nicht definiert in der Vorlesung?
Ansonsten bietet sich als Anlaufstelle immer wikipedia an ...
Dass dir also Lektüre fehlt bei funktionierendem Internetanschluss ist naja ...
> Kann jemand ein Beispliel für ein bestimmtes Element
> geben?
Nun, beginne damit, die Elemente von [mm]\IZ^{\ast}_{18}[/mm] mal aufzuschreiben.
So viele sind es nicht.
Dann solltest du wissen, dass nach dem Satz von Lagrange die Ordnung eines Elementes die Gruppenordnung teilt.
Bestimme die Gruppenordnung, dann siehst du, dass gar nicht so viele Teiler in Frage kommen ...
Nehmen wir mal das Gruppenelement 5
Gesucht ist die kleinste natürliche Zahl [mm]m[/mm] mit [mm]5^{m}=\underbrace{5\cdot{}5\cdot{}\ldots\cdot{}5}_{m-mal}=1[/mm].
Mit etwas Probieren rechnet man nach, dass [mm]5^6=15625=15624+1\equiv 1 \ \operatorname{mod}(18)[/mm] ist.
Und 6 ist die kleinste nat. Zahl, die es tut.
Außerdem teilt 6 die Gruppenordnung von [mm](\IZ^{\ast}_{18},\cdot{})[/mm]
Damit sollstest du anfangen können ...
> Wäre sehr für eine gute Erklärung dankbar
>
> Janina
>
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:24 Mi 05.01.2011 | | Autor: | Parkan |
Für das Element 7 müsste es dann 3 sein?
Weil [mm]7^3 \equiv 1 (mod 18)[/mm] und 3 teiler von 18 ist?
Update:
1 - 1
5 - 6
7 - 3
11 - 6
13 - 3
17 - 2
Korrekt so ?
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Für das Element 7 müsste es dann 3 sein?
>
> Weil [mm]7^3 \equiv 1 (mod 18)[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") und 3 teiler von 18 ist?
Die Gruppenordnung von [mm] $(\IZ^{\ast}_{18},\cdot{})$ [/mm] ist doch 6, das hast du doch unten auch, es gibt 6 Elemente ...
>
> Update:
> 1 - 1
> 5 - 6
> 7 - 3
> 11 - 6
> 13 - 3
> 17 - 2
>
> Korrekt so ?
Ja, sieht gut aus!
Gruß
schachuzipus
|
|
|
|
